1. FRACCIONES
ALGEBRAICAS

2. FRACCIONES ALGEBRAICAS
 FRACCIÓN ALGEBRAICA
 Es el cociente de dos polinomios.
 P(x) / Q(x)
 Para operar con fracciones se siguen las leyes aritméticas, con la diferencia
ahora que el mcm de los denominadores es el mcm de polinomios, no de
números reales.
 FRACCIONES EQUIVALENTES
 Dos fracciones, P(x) / Q(x) y M(x) / N(x) son equivalentes si:
 P(x) M(x)
 ----- = ------ , lo que implica que P(x).N(x) = Q(x).M(x)
 Q(x) N(x)
 Ejemplo
 x2 – 1 x – 1
 ---------------- y --------
 x2 – 2.x + 3 x – 2

3. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES
 Para que una fracción racional P(x) / Q(x) se pueda simplificar debe haber, al
menos un factor común entre P(x) y Q(x).
 Ejemplo 1
 x3 – 8 (x - 2).(x2 + 2.x + 4) x2 + 2.x + 4
 --------  Factorizando  ---------------------------- = -------------------
 x2 – 4 (x + 2).(x – 2) x + 2
 Si un polinomio está dividido por un monomio, dicho monomio divide a todos
y cada uno de los monomios del polinomio. NO SE PUEDE SIMPLIFICAR UN
MONOMIO DEL POLINOMIO CON EL MONOMIO DIVISOR
 x3 + x2 + 2.x + 4
 ------------------------ = x3 + 2.x + 4 MUY MAL OPERADO
 x2

4.  EJEMPLO_2
 Sea P(x) (x – 2).(x – 3).(x + 3)2
 ------ = --------------------------------
 Q(x) (x + 2).(x + 3).(x – 3)3
 Eliminamos de la expresión los factores comunes, quedando:
 P(x) (x – 2).(x + 3)
 ------ = ----------------------
 Q(x) (x + 2).(x – 3)2
 EJEMPLO_3
 Sea P(x) x5 + x4 – 8.x3 – 5.x2 + 25.x – 14
 ------ = ------------------------------------------- , que factorizamos:
 Q(x) x3 – 4.x2 + 5.x – 2
 P(x) (x – 1)2 .(x – 2 ).(x2 + 5.x + 7)
 ------ = ---------------------------------------- = x2 + 5.x + 7
 Q(x) (x – 1)2 .(x – 2 )

5. Común denominador Para multiplicar o dividir fracciones NO se precisa realizar el m.c.m. o
común denominador de los denominadores.
 Para sumar o restar fracciones es obligatorio realizar el m.c.m. o común
denominador de los denominadores.
 Para sumar o restar fracciones el común denominador de los denominadores
puede ser el producto de los mismos (no el m.c.m.). Pero no es nada
recomendable.
 Para sumar o restar fracciones el común denominador debe ser el
m.c.m. de los denominadores.
 Ejemplo
 x – 2 x + 4 (x + 2).(x – 2) + (x – 3).(x + 4)
 ----------- + ------------------- = ----------------------------------------- = ………
 (x – 3)2 (x – 3).(x+2) (x – 3)2 .(x+2)

6. Mínimo común múltiplo: MCM
 MINIMO COMUN MULTIPLO de dos o más polinomios, es el menor
de los polinomios múltiplos comunes.
 Se forma tomando los factores comunes y no comunes a todos
los polinomios con el mayor exponente que presenten.
 Ejemplo_1
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)3
 Q(x) = (x – 3)3 .(x + 2). (x + 1)
 MCM = (x – 3)3 .(x + 2)3 .(x + 1)

7.  Ejemplo_2
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)2 .(x + 2)
 Q(x) = (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1)
 MCM = (x – 3)2 .(x + 2). (x + 3)3 .(x – 2). (x + 1)
 Ejemplo_3
 Hallar el MCM de los polinomios:
 P(x) = (x – 3)5
 Q(x) = (x – 3) . (x + 1)
 MCD = (x – 3)5 (x + 1)

8. Operaciones con fracciones
 Ejemplo_1
 x 4 - x x + 4 - x 4
 ------- + -------------- = --------------- = ----------
 x – 3 x – 3 x – 3 x – 3
 Ejemplo_2
 1 x + 2 1 x + 2
 ------- + ------------------ = ----------- + ------------------- =
 x – 3 x2 – 9 (x – 3) (x + 3).(x – 3)
 x + 3 x + 2 2.x + 5 2.x + 5
 ------------------- + ------------------ = -------------------- = ---------------
 (x – 3).(x + 3) (x – 3).(x + 3) (x + 3).(x – 3) x2 – 9

9.  Ejemplo_3
 x 7.x - 9 x 7.x - 9
 ------- -- ------------------ = ----------- -- -------------------- =
 x – 3 x2 – 2x – 3 x – 3 (x – 3).(x + 1)
 M.c.m. =(x – 3).(x + 1)
 x. (x+1) - (7.x – 9 ) x2 + x – 7.x + 9 x2 - 6.x + 9
 = ---------------------------- = ------------------------ = ------------------- =
 (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1) (x – 3).(x + 1)
 Se factoriza el numerador siempre que sea posible:
 (x – 3).( x – 3) x – 3
 = --------------------- = ---------- , que es la solución simplificada.
 (x – 3).(x + 1) x + 1

10.  Ejemplo_4
 x x2 – 9 x.(x2 – 9) x.(x + 3).(x – 3) x.(x + 3)
 ------- . ----------- = ------------------ = --------------------- = -------------
--
 x – 3 x + 1 (x – 3).(x +1) (x – 3).(x +1) x + 1
 Ejemplo_5
 x2 – 4 x2 – 9 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3)
 --------- . ----------- = --------------------------------------- = (x – 2).(x – 3)
 x + 3 x + 2 (x + 3).(x +2)
 Ejemplo_6

 x – 4 9 – y2 (x – 4).(3 + y).(3 – y) 3 – y
 -------- . ------------ = ------------------------------ = ----------
 y + 3 x2 – 16 (y + 3).(x + 4).(x – 4) x + 4


11.  Ejemplo_7
 x – 1 x + 3 (x – 1).(x + 1) x2 – 1
 ------- : ----------- = ------------------ = ----------
 x – 3 x + 1 (x – 3).(x + 3) x2 – 9
 Ejemplo_8
 x2 – 4 x – 2 (x + 2).(x – 2).(x + 3).(x – 3)
 --------- : ----------- = --------------------------------------- = (x + 2).(x +
3)
 x – 3 x2 – 9 (x – 3).(x – 2)
 Ejemplo_9

 x – y x2 – y2 (x – y).(x + y) 1
 ---------- : ----------- = ------------------------------------ = -----------------
-
 y2 – x2 x + y (y + x).(y – x).(x + y).(x – y) (y + x).(y – x)