2. • Ya se ha visto en cursos anteriores que los puntos del plano se pueden representar en coordenadas
cartesianas mediante dos números (abscisa, ordenada). En este tema veremos que los puntos del plano
también se pueden representar usando otro sistema de referencia, que denominamoscoordenadas
polares.
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• En esta unidad se introducen las coordenadas polares y algunos ejemplos que ilustran su utilidad para
representar, mediante ecuaciones con dichas coordenadas, algunas curvas clásicas como la Cardioide, la
Lemniscata de Bernoulli, los Lazos, las Cónicas y algunas espirales, entre otras.
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• Como se podrá observar en algunos ejemplos de representación de las curvas en coordenadas polares,
sólo es preciso definir las mismas de cada punto:r (distancia al polo) y t (ángulo con el eje polar), en
función de las coordenadas cartesianas x e y.
• En este tipo de representación los puntos del plano tienen asociados dos coordenadas: su distancia al
polo y el ángulo con el eje polar. A la distancia se le suele llamar radio y se designa por la letra r o la letra
griega r (rho), al ángulo se le suele designar por la letra griega q (theta).
• Sistema de Coordenadas
• Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que permiten definir unívocamente la posición
de cualquier punto de un espacio geométricorespecto de un punto denominado origen. El conjunto de
ejes, puntos o planos que confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las coordenadas de
cualquier punto, constituyen lo que se denomina sistema de referencia.
• Sistema de Coordenadas Polares
• Sistema de referencia constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la
distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la
recta que pasa por ambos puntos.
3. Las coordenadas polares son un sistema que definen la
posición de un punto en un espacio bidimensional consistente
en un ángulo y una distancia.
En muchos casos es útil utilizar las coordenadas cartesianas
para definir una función en el plano o en el espacio. Aunque en
muchos otros, definir ciertas funciones en dichas coordenadas
puede resultar muy tedioso y complicado. En dichos casos,
hacer uso de las coordenadas polares o esféricas puede
simplificarnos la vida.
Un sistema de coordenadas es un conjunto de valores que
permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto
de un espacio geométrico respecto de un punto
denominado origen. El conjunto de ejes, puntos o planos que
confluyen en el origen y a partir de los cuales se calculan las
coordenadas de cualquier punto constituyen lo que se
denomina sistema de referencia.
Hasta aquí hemos usado siempre coordenadas cartesianas.
En ocasiones es conveniente usar otros sistemas de las
mismas. Por ejemplo, en el plano podemos usar las
coordenadas polares, que permiten expresar ciertas curvas en
forma mucho más simple que las ecuaciones que ligan sus
coordenadas cartesianas. En el espacio, en lugar de usar las
cartesianas, podemos usar las coordenadas cilíndricas
o esféricas.
4. • En general, es posible definir muchos sistemas de coordenadas en el plano y en el espacio. Más adelante
veremos como relacionar una curva o superficie expresada en las cartesianas, con el mismo objeto expresado en
otro sistema de las mismas. A esto lo llamamos transformación de coordenadas.
• Formado por dos ejes en el plano, tres en el espacio, mutuamente perpendiculares que se cortan en el
origen. Las coordenadas de un punto cualquiera vendrán dadas por las proyecciones de la distancia entre el
punto y el origen sobre cada uno de los ejes.
• Este sistema de referencia está constituido por un eje que pasa por el origen. La primera coordenada es la
distancia existente entre el origen y el punto, mientras que la segunda es el ángulo que forman el eje y la recta
que pasa por ambos puntos.
• Por conveniencia, comencemos con un sistema dado de coordenadas xy, tomemos después el origen como
polo y el semieje no negativo de las x como eje polar. Dado el polo O y el eje polar, el punto P cuyas
coordenadas polares so r y q , escritas como par ordenado ( r, q ), se localiza como sigue.
• Encuentre el lado terminal del ángulo q, dado en radianes, medido en sentido contrario de las manecillas del
reloj ( si q > 0 ) a partir del semieje positivo de abscisas ( eje polar) como lado inicial.
• Si r ³ 0 , P estará en el lado terminal a la distancia r del origen.
• Si r < 0, el punto P estará en ei rayo opuesto al lado terminal, a la distancia |r| = - r del polo. Se puede describir
la coordenada radial r como la distancia dirigida de P al polo, sobre el lado terminal del ángulo q.
• Si r es positivo, el punto P estará en el mismo cuadrante que q .
• Si r es negativo, P estará en el cuadrante opuesto.
• Si r = 0, no importa cual sea el ángulo q, las coordenadas polares ( 0, q ) representan al origen cualquiera que
sea la coordenada angular q. Por supuesto, el origen o polo es el único punto para el cual r = 0
• para ejemplos ver el archivo al final de la unidad
• Conversión de Coordenadas
• La representación de un punto en el plano o el espacio, se puede hacer mediante diferentes sistemas de
coordenadas. En estos momentos nos ocupan los sistemas de coordenadas rectangulares y polares.
• Es lógico pensar que existe una equivalencia entre los diferentes sistemas, en este caso nos ocuparemos de la
conversión del rectangular al polar y viceversa.
• En este tópico se incluyen algunas gráficas para mostrar la ubicación de un punto en cada uno de los sistemas
respectivos.
5. Gráficas de Ecuaciones en
Coordenadas Polares
Las calculadoras dibujan gráficas de r = f (θ) al hallar
el valor de f (θ) para numerosos valores de θ a
intervalos espaciados regularmente, y dibujando
luego los puntos resultantes (x,y).
Usted debe ser consciente de que la apariencia de
la gráfica en calculadora depende de la ventana de
graficación especificada x-y, y también del rango de
los valores mostrados de θ.
Cuando se dibujan gráficas en coordenadas
polares, debe identificarse algunos valores mostrados
de θ correspondientes a r = 0 o donde r alcanza un
máximo o un mínimo. Además, debe identificar el
rango de valores de θ que producen una copia de la
curva polar, cuando ésta es apropiada. Se deduce que
muchas curvas familiares tienen ecuaciones polares
sencillas
6. • Gráfica de una Ecuación Polar
• La gráfica de una ecuación polar r = f(θ) es el conjunto de puntos
(x,y) para los cuales x = r cos θ , y = r sen θ y r = f (θ). En otros
términos, la gráfica de una ecuación polar es una gráfica en el plano xy
de todos los puntos cuyas coordenadas polares satisfacen la ecuación
dada.
• Comience por dibujar dos gráficas sencillas ( y familiares). La clave
para dibujar las mismas de una ecuación polar, es mantener siempre
presente que representan las coordenadas polares.
• Con estos conceptos básicos de localización de puntos en el sistema
de coordenadas polares, podemos graficar funciones y no sólo puntos.
En este tipo de funciones la variable independiente es θ y la
dependiente es r, así que las funciones son del tipo r = r(θ). El método
para graficar estas funciones es el siguiente, primero graficamos la
función r = r(θ) en coordenadas rectangulares y a partir de esa gráfica
trazamos la correspondiente en polares. Guiándonos con la
dependencia de r con respecto a θ.
• Recordemos que θ es la variable independiente y generalmente va
de 0 a 2π.
7. Intersección de Gráficas
Ahora que ya conoces las coordenadas polares y
observó una variedad de gráficas de las mismas,
el próximo paso consiste en extender las técnicas
del cálculo al caso de intersección de ecuaciones
en dichas coordenadas polares, con el propósito
de buscar todos los puntos de dicha intersección.
Puesto que un punto puede representarse de
formas diferentes en coordenadas polares, debe
tenerse especial cuidado al determinar los puntos
de intersección de dos gráficas polares, por lo que
se sugiere realizar el dibujo de las ecuaciones,
inclusive cuando más adelante calculemos el área
de una región polar.
De igual forma el problema de hallar los puntos
de intersección de dos gráficas polares con el
de encontrar los puntos de colisión de dos
satélites en órbita alrededor de la tierra, dichos
satélites no entrarían en colisión en tanto lleguen
a los puntos de intersección en tiempos diferentes
(valores de q).
8. Calcular el Área de una Región Plana
en Coordenadas Polares
El desarrollo de una fórmula para el área de una región polar va
paralelo al de zonas en sistema de coordenadas rectangulares, pero
con sectores de un círculo en lugar de rectángulos como elementos
básicos de dicha área. En la figura se observa que la superficie de un
sector circular de radio r viene dada por:
Consideremos la función dada por r= f(q), donde f es
continua y no negativa en el intervalo [ a , b ] . La
región limitada por la gráfica para hallar el área de esta
región, partimos el intervalo [ a , b ] en n subintervalos
iguales a = q < q < q <........< q < q = b
A continuación aproximamos el área de la región por
la suma de las mismas de los n sectores,
Luego de haber notado el teorema anterior,
podemos decir que usar la fórmula para hallar el área
de una región limitada por la gráfica de una función
continua no negativa. Sin embargo, no es
necesariamente válida si f toma valores positivos y
negativos en el intervalo [ a , b ] .
