El método de Gauss-Jordan permite resolver sistemas de ecuaciones lineales mediante la transformación de la matriz ampliada del sistema en una forma escalonada reducida a través de operaciones elementales entre filas. Esto se logra eliminando los elementos debajo de la diagonal principal y convirtiendo los elementos de dicha diagonal en unos. De la matriz resultante se obtienen directamente los valores de las incógnitas que satisfacen el sistema de ecuaciones.

1. Método de
Gauss - Jordan
SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON MATRICES

2. Sistema de Ecuaciones Lineales
Un sistema de ecuaciones lineales puede describirse de la siguiente manera:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮ ⋮
𝑎 𝑚1 𝑥1 + 𝑎 𝑚2 𝑥2 + ⋯ 𝑎 𝑚𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑚
donde todos los 𝒂𝒊𝒋 se denominan coeficientes, los 𝒙𝒊 se denominan incógnitas o variables y los
𝒃𝒋 se llaman términos independientes
m ecuaciones
n incógnitas

3. Método de Gauss - Jordan
Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en determinar los valores
de las incógnitas que satisfacen simultáneamente todas las ecuaciones.
El método de eliminación de Gauss – Jordan da cuenta del uso de las matrices
para hallar estos valores. Para esto, se siguen estos pasos
1. Organizar las ecuaciones y construir la matriz ampliada A | B
2. Convertir esta matriz en su forma escalonada reducida, usando
operaciones elementales entre filas
3. De la matriz resultante, obtener la solución.

4. Vamos con un ejemplo …
Sistema de ecuaciones
2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 8
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
Sistema a
resolver

5. Paso 1.
Sistema de ecuaciones
2𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 8
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = −1
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = −3
Ordenar el
sistema y
construir la matriz
ampliada A|B
Matriz ampliada
2 −2 2
2 1 −1
1 2 −1
8
−1
−3
La matriz ampliada
está formada por
los coeficientes y
los términos
independientes

6. Paso 2.
Convertir esta
matriz en su
forma escalonada
reducida
Matriz ampliada
2 −2 2
2 1 −1
1 2 −1
8
−1
−3
Pero, ¿cómo? ¿usando operaciones
elementales entre filas?

7. Operaciones Elementales entre Filas
Son 3 Intercambiar filas
Multiplicar todos
los elementos de
una fila por una
constante diferente
de cero
Sumar a los
elementos de una
fila los elementos
de otra
multiplicados por
una constante

8. Paso 2. Manos a la obra !!!
2 −2 2
2 1 −1
1 2 −1
8
−1
−3
𝐹1→𝐹1/2
1 −1 1
2 1 −1
1 2 −1
4
−1
−3
Buscamos que el primer elemento de la matriz sea un 1.
A la fila 1 la multiplicamos por ½

9. Paso 2. Manos a la obra !!!
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.
A la fila 2 le restamos 2 veces la fila 1 y a la fila 3 le
restamos la fila 1
1 −1 1
2 1 −1
1 2 −1
4
−1
−3
𝐹2→𝐹2−2𝐹1
𝐹3→𝐹3−𝐹1
1 −1 1
0 3 −3
0 3 −2
4
−9
−7

10. Paso 2. Manos a la obra !!!
𝐹2→1/3𝐹2
1 −1 1
0 3 −3
0 3 −2
4
−9
−7
1 −1 1
0 1 −1
0 3 −2
4
−3
−7
Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.
A la fila 2 la multiplicamos por 1/3

11. Paso 2. Manos a la obra !!!
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.
A la fila 1 le sumamos la fila 2 y a la fila 3 le restamos 3
veces la fila 2
𝐹1→𝐹1+𝐹2
𝐹3→𝐹3−3𝐹2
1 −1 1
0 1 −1
0 3 −2
4
−3
−7
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
1
−3
2

12. Paso 2. Manos a la obra !!!
𝐹3→𝐹3
Buscamos que el elemento seleccionado sea un 1.
Como en este caso ya lo es, no se realiza operación.
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
1
−3
2
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
1
−3
2

13. Paso 2. Manos a la obra !!!
1 0 0
0 1 −1
0 0 1
1
−3
2
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
−1
2
𝐹2→𝐹2+𝐹3
Buscamos convertir en cero las posiciones seleccionadas.
A la fila 2 le sumamos la fila 3.

14. Paso 2.
De la matriz
resultante,
obtener la
solución
Reconstruyendo las
ecuaciones, obtenemos
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1
−1
2
𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜
𝑥 = 1
𝑦 = −1
𝑧 = 2

15. Fácil, cierto?