6. Linealización de sistemas Supongamos que una cierta variable y depende de alguna otra variable x a través de alguna función f(x). Se dice que la relación entre las variables yyx es lineal si la función f(x) es la ecuación de la línea recta y = mx + b . Si la ecuación no cumple con la condición anterior, entonces la ecuación es no lineal. La linealización de una ecuación, alrededor de un punto, utiliza la serie de Taylor y el concepto de estados estacionarios. La serie de Taylor de una función que tiene grado de derivación f (n)y en las proximidades del punto a se define como : donde es n! es el factorial, f (n) es la enésima derivada, y, a el punto en el que se quiere calcular la serie.
7. Linealización de sistemas Linealizar una ecuación no lineal implica “reemplazarla” por una ecuación lineal. Este reemplazo es local, es decir válido en una región próxima a un punto llamado de equilibrio. Gráfico tomado de Documentación de soporte del curso de Análisis Dinámico de Sistemas. Universidad de Oviedo. 2003
8. Linealización de sistemas Se dice que un sistema físico está en estado estacionario cuando las características del mismo no varían con el tiempo. Desde esta perspectiva, un sistema estará en estado estacionario cuando sus variables descriptivas no cambien. Desde la perspectiva matemática, un sistema físico se encuentra en estado estacionario si las derivadas de las variables que lo describen son igual a cero.
11. Transformada y antitransformada de Laplace Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y la derivación se convierten en operaciones de multiplicación y de división. Esto transforma las ecuaciones diferenciales e integrales en pseudo ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
14. Transformada y antitransformada de Laplace Sea F(s) la transformada de Laplace de una función f (t). La transformada inversa de Laplace o antitransformada de F(s), se calcula como: Generalmente no se resuelve esta ecuación, sino que se busca la respuesta utilizando tablas y el método de las fracciones parciales.