1. Curso: Modelos matemáticos y funciones Magister en enseñanza de las ciencias,
Sesión 1: Modelos matemáticos mención matemática
Modelos matemáticos
Población VII Región (Chile)
Año Población 950
1995 872 940
930
1996 881
población
920
1997 889,8 910
1998 898,4 900
890
1999 906,9 880
2000 915,2 870
860
2001 922,8
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
2002 930,3
años
2003 937,7
Actividad: Leer los siguientes comentarios que diversos autores han expresado sobre la temática de la
modelación en matemática. A continuación redactar un párrafo explicando, en sus propias palabras,
lo que entiende por modelo matemático.
¿Cómo podemos explicar La Modelación Matemática es un proceso de
que las matemáticas, elegir características que describen
un producto de la mente humana adecuadamente un problema de origen no
independiente de la experiencia, matemático, para llegar a colocarlo en un
encajen tan bien lenguaje matemático. La Modelación es un
en los objetos proceso iterativo en que una etapa de
y elementos validación frecuentemente lleva a
de la realidad?. diferencias entre las predicciones basadas
Albert Einstein, 1938. en el modelo y la realidad.
Tim O’Shea, John Berry, 1982.
Un modelo matemático es una estructura A Modelación matemática es un proceso
matemática que describe dinámico de busca de modelos adecuados,
aproximadamente las características de que sirvan de prototipos
un fenómeno concreto. de alguna situación. Rodney Bassanezi,
Frank Swetz, 1992. 1994.
Un conjunto de símbolos e relaciones El modelaje es
matemáticas que traducen, de alguna "el arte de aplicar las matemáticas
forma, un fenómeno particular o un a la vida real".
problema de la realidad Mogen Niss, 1991.
Maria Salett Biembengut, 1998.
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Un primer ejemplo: Alumbrado Público
El consejo municipal ha decidido poner un reflector en un pequeño parque triangular de manera
que éste ilumine todo el parque. ¿Dónde debería ubicarse el reflector?
Este problema, de carácter social, se puede resolver siguiendo la estrategia general que aplican los
matemáticos, es decir, a través de la matematización del problema. La matematización consta de
cinco aspectos:
a) Se parte de un problema del mundo real: Establecer la ubicación óptima para un reflector en un
parque.
b) Se formula el problema en términos de conceptos matemáticos: El parque se puede representar
como un triángulo, y la iluminación como un círculo con el reflector en el centro.
c) Gradualmente se abstrae de la realidad a través de procesos tales como hacer supuestos sobre
cuáles aspectos del problema son importantes, la generalización del problema y su
formalización (estos permiten transformar el problema real en un problema matemático que
representa la situación en forma fehaciente). El problema se convierte en ubicar el centro de un
círculo que circunscriba el triángulo.
d) Se resuelve el problema matemático: basándose en el hecho de que el centro de un círculo que
circunscribe un triángulo yace en el punto de intersección de los bisectores perpendiculares de
los lados del triángulo, construir los bisectores perpendiculares de dos de los lados del triángulo.
El punto de intersección de los bisectores es el centro del círculo.
e) Se hace conciencia de la solución matemática en términos de la situación real.
Relacionar este hallazgo con el parque real. Reflexionar sobre la solución y reconocer, por
ejemplo, que si una de las tres esquinas del parque fuera un ángulo obtuso, está solución no
funcionaría, pues el reflector quedaría por fuera del parque. Reconocer que la localización y
tamaño de los árboles del parque son otros factores que afectan la utilidad de la solución
matemática.
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Un ejemplo clásico: Ley de enfriamiento de Newton
La expresión general de la función que modela la “Ley de enfriamiento de Newton” es
T = A + (T0 − A)e − kt
siendo:
T=T(t) temperatura (en grados) como función del tiempo t (en minutos).
A= temperatura del medio ambiente
T0= temperatura inicial del elemento que se enfría (agua en este caso).
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Esquema general del proceso de modelización
Problema
SITUACIÓN DEL MUNDO
(1) Simplificación
Problema simplificado
MODELO DEL MUNDO REAL
(4) Solución
(2) Traducción
matemática
Ecuación, función, sistema, …
MODELO MATEMÁTICO
(3) Aplicación de
métodos matemáticos
Resolver, graficar, …
CONCLUSIONES
(1) Presentación de una situación simplificada del mundo real.
(2) Traducción de la situación en terminología matemática y obtención del modelo.
(3) Trabajar sobre el modelo y resolución del problema.
(4) Presentación de la solución (en términos no matemáticos).
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Ejemplos de modelos
a) Crecimiento de poblaciones
En el año 1980 la población de una ciudad era de 2500 y en 1990 de 3350. Suponiendo que la
población crece a un ritmo constante proporcional a la población existente en cada momento,
estimar la población para el año 2010.
Modelo del problema: Si N=N(t) es la función que representa el tamaño de la población en el
instante t, entonces la relación matemática que modela esta situación es:
dN
= kN
dt .
Contenido matemático: ecuaciones diferenciales.
b) El Problema del Carpintero
Durante un par de sesiones de tormenta de ideas con un carpintero (nuestro cliente), éste nos
comunica que sólo fabrica mesas y sillas y que vende todas las mesas y las sillas que fabrica en un
mercado. Sin embargo, no tiene un ingreso estable y desea optimizar esta situación.
El objetivo es determinar cuántas mesas y sillas debería fabricar para maximizar sus ingresos netos.
Comenzamos concentrándonos en un horizonte de tiempo, es decir, un plazo de planificación, para
revisar nuestra solución semanalmente, si fuera necesario. Para saber más acerca de este problema,
debemos ir al negocio del carpintero y observar lo que sucede y medir lo que necesitamos para
formular (para crear un modelo de) su problema. Debemos confirmar que su objetivo es maximizar
sus ingresos netos. Debemos comunicarnos con el cliente.
El problema del carpintero se trata de determinar cuántas mesas y sillas debe fabricar por semana;
pero primero se debe establecer una función objetivo.
La función objetivo es: 5X1 + 3 X2, donde X1 y X2 representan la cantidad de mesas y sillas; y 5 y
3 representan los ingresos netos (por ejemplo, en pesos o cientos de pesos) de la venta de una mesa
y una silla, respectivamente. Los factores limitantes, que normalmente provienen del exterior, son
las limitaciones de la mano de obra (esta limitación proviene de la familia del carpintero) y los
recursos de materia prima (esta limitación proviene de la entrega programada). Se miden los
tiempos de producción requeridos para una mesa y una silla en distintos momentos del día y se
calculan en 2 horas y 1 hora, respectivamente. Las horas laborales totales por semana son sólo 40.
La materia prima requerida para una mesa y una silla es de 1 y 2 unidades, respectivamente. El
abastecimiento total de materia prima es de 50 unidades por semana. En consecuencia, esta
situación viene modelada por:
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Maximizar 5 X1 + 3 X2
Sujeta a: 2 X1 + X2 ≤ 40
X1 + 2 X2 ≤ 50
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Contenido matemático: programación lineal.
c) Un modelo para mezclas
Un farmacéutico debe preparar 15ml de gotas especiales para un paciente con glaucoma. La
solución debe tener 2% de ingrediente activo, pero sólo tiene disponibles soluciones al 10% y al
1%. ¿Qué cantidad de cada solución debe usar para completar la receta?
Para ayudar a entender el problema, se traza un esquema, como el siguiente.
Sea x = cantidad de ml de la solución al 10%
A B C
Cantidad de ml en cada caso x 15-x 15
Cantidad de ingrediente activo 0.1x 0.01(15-x) 0.02 ⋅ 15
en cada caso
Luego, la situación presentada queda modelada por:
0.1x + (15 − x ) = 0.02 ⋅ 15
Contenido matemático: ecuaciones lineales.
d) Problema de los 7 puentes de Koenigsberg
"En la ciudad de Koenigsberg, en Prusia, hay una isla A, llamada Kneiphof, rodeada por los dos
brazos del río Pregel. Hay siete puentes, a, b, c, d, e, f y g, que cruzan los dos brazos del río. La
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cuestión consiste en determinar si una persona puede realizar un paseo de tal forma que cruce cada
uno de estos puentes una sola vez".
Contenido matemático: Teoría de grafos1.
e) Un problema de distribución
Una compañía maderera tiene un contrato con una distribuidora local para proveerles de madera de
tres variedades: A (lodgepole pine), B (spruce) y C (Douglas fir). Mensualmente debe entregar, de
la primera variedad 1000m3, de la segunda 800m3 y de la última 600m3. La compañía maderera
dispone de tres regiones plantadas con las variedades de maderas solicitadas. En la siguiente tabla
se detalla, por región, los porcentajes disponibles de cada variedad (densidad), junto al volumen
total de madera disponible por hectárea.
Región Vol/Há(en m3) A (en %) B (en %) C (en %)
Oeste 330 70 20 10
Norte 390 10 60 30
Este 290 5 20 75
¿Cuántas hectáreas se deben cortar en cada región para entregar exactamente el volumen requerido
de cada variedad de madera?
Sean: x= Número de hectáreas aserradas en la región Oeste.
y= Número de hectáreas aserradas en la región Norte.
z= Número de hectáreas aserradas en la región Este.
Luego el problema queda modelado por:
0.7x+0.1y+0.05z=1000
0.2x+0.6y+0.2z =800
0.1x+0.3y+0.75z=600
Contenido matemático: Sistema de ecuaciones lineales.
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Este tema será desarrollado en el curso: Matemática discreta.
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