Geometría I

1. Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM)
Facultad de Estudios Superiores Cuautitlán (FESC)
Licenciatura en Diseño y Comunicación Visual (DCV)
Geometría I
Hernández Domínguez Rebeca Alejandra
Unidad 4, Tema 2, Actividad de Aprendizaje 2
Número de ejercicio o ejercicios: Monteas: mono planar,
biplanar, triplanar y del espacio, cuadrantes y planos.
Fecha de entrega: 18 de Febrero de 2015

2. Proyección ortogonal
Cuando tenemos tres planos perpendiculares
entre sí, nos damos cuenta de que las líneas
que definen a cada uno de los planos son
también las que marcan la intersección entre
los mismos, y que cada línea, por ser la
intersección de dos planos, siempre pertenece
simultáneamente a ambos. A estas líneas, con
el fin de facilitar la definición del sistema, las
denominaremos ejes y a cada uno de estos le
asignaremos una letra y una punta de flecha al
extremo, para distinguirlo de todas las demás
posibles líneas. El eje formado por la
intersección del plano horizontal con el lateral
lo denominaremos X; el formado por la
intersección del horizontal con el frontal se
denomina Y; y el que resulta de la intersección
de los planos frontal y lateral se denomina Z;
además, la intersección entre los tres ejes es
un punto llamado origen. Estos ejes resultan
ser líneas perpendiculares entre sí y, por lo
tanto, cada una de ellas es perpendicular a uno
de los planos respectivamente; luego entonces,
cualquier línea que sea paralela a la línea que
es perpendicular a un plano, la paralela
también será perpendicular al plano.
Entonces, para realizar las proyecciones
ortogonales utilizaremos líneas de proyección,
que son líneas moduladas (guion espacio de
aproximadamente ½ mm), siempre paralelas a
la perpendicular al plano en donde se hace la
proyección.

3. No olvides que los puntos en el
espacio siempre los
denominaremos con letras
mayúsculas; las proyecciones de
estos en el plano horizontal con la
misma letra minúscula; en el plano
frontal con minúsculas primas; y
las del plano lateral con
minúsculas biprimas; luego
entonces, todo punto en el espacio
contará con tres proyecciones
ortogonales saber: para un punto
A su proyección horizontal a, su
proyección frontal a´ y su
proyección lateral a”.
Las anteriores proyecciones
también pueden ser llevadas
mediante líneas perpendiculares a
los ejes, y si dividimos estos en
unidades, como los números
naturales, en los tres ejes,
podremos calcular las coordenadas
cartesianas que resultan de gran
importancia, ya que te permiten
calcular bases de datos que
pueden ser cargados con exactitud
inmejorable en la memoria de las
computadoras en programas 3D

5. Boceto Hoja albanene

6. Montea mono plana i sistema acotado
El plano de dibujo es pi. La forma de
conseguir la proyección de la figura
del espacio consiste en obtener de ella
una proyección cilíndrica ortogonal
sobre dicho plano, la cual, sintetizada
en el punto A, nos proporciona a
como pie de la perpendicular trazada
desde A al plano; y para atender a la
condición de reversibilidad de que
antes hablamos, anotaremos al lado
de a el número H, que indica la altura
del punto A al plano de proyección, o
sea su cota H, la cual tendrá signo
positivo o negativo, según se halle en
una región o en otra, con relación al
plano de proyección, el cual divide al
espacio en dos partes, de las que una
de ellas se afectará de cotas positivas y
la otra de cotas negativas, aunque
para el espacio geométrico que
interesa en el diseño y la
comunicación visual es mejor trabajar
únicamente con números naturales
(N+1) y no con números reales (los
números enteros positivos y
negativos)

8. Boceto
Hoja albanene

9. Montea biplanar, diédrico o de Monge.
Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la
unión en el espacio de varios puntos situados sobre la
misma proyectante, tal como vienen representados en el
sistema acotado, se recurre a una segunda proyección que
nos evite el afectar el mismo punto proyección de varias
cotas.
Para tal fin se dispone de un conjunto formado por dos
planos ortogonales entre sí, que se colocarán, uno de ellos
horizontal y el otro, por tanto, vertical, adoptando esta
denominación en lo sucesivo: plano horizontal de
proyección H y plano vertical de proyección V.
La operación en el espacio se consigue de la siguiente
forma:
• Se proyecta ortogonalmente el punto A sobre el plano
horizontal H, dando lugar a su proyección horizontal
a.
• Se proyecta la vertical, es decir, ortogonalmente al
plano V, obteniendo así a’.
• Como operaremos sobre el plano del dibujo, haremos
que este coincida con el plano H y haremos coincidir
también el plano V en su totalidad sobre H, haciéndolo
girar alrededor de su recta de intersección, que
llamaremos Línea de Tierra (LT).
• De esta forma a, a’ viene a ocupar una posición tal que
se encuentren a y a’ sobre la misma perpendicular a la
LT.
• Solo resta colocar la LT en posición horizontal para
verla en posición real y no en escorzo y quedarnos solo
con las proyecciones que nos representan al plano en
el espacio.

11. Para evitar el inconveniente que supone en la restitución la unión en
el espacio de varios puntos situados sobre la misma proyectante, tal
como vienen representados en el sistema acotado, se recurre a una
segunda proyección que nos evite el afectar el mismo punto
proyección de varias cotas.
Para tal fin se dispone de un conjunto formado por dos planos
ortogonales entre sí, que se colocarán, uno de ellos horizontal y el
otro, por tanto, vertical, adoptando esta denominación en lo
sucesivo: plano horizontal de proyección H y plano vertical de
proyección V.
La operación en el espacio se consigue de la siguiente forma:
La distancia que separa la proyección vertical a’ de la línea de tierra,
será h, igual a la altura del punto A sobre el plano horizontal de
proyección H, es decir, la magnitud del segmento Aa; de la misma
forma, la distancia o alejamiento d, que separa la proyección
horizontal a de la línea de tierra, nos representa un segmento igual a
la magnitud Aa’, es decir, la distancia existente entre el punto del
espacio A y el plano vertical V de proyección.
Al conjunto de todos los puntos tales que a, proyección horizontal de
los del espacio, se acostumbra a llamar también planta del conjunto,
y a la proyección vertical del mismo se le denomina también alzado.
La línea de tierra viene representada por una recta L-T, y a ambos
lados de la misma aparecen las porciones de plano que corresponden
a la proyección horizontal y a la proyección vertical; fácilmente se ve
que el sistema es reversible, pues para ello imaginemos que, a partir
de la recta L—T, se coloca perpendicularmente al plano del dibujo, es
decir, a H, el plano V, en la misma forma.
Si ahora desde a levantamos la perpendicular a H, y desde a´ la
perpendicular a V, observaremos que estas dos perpendiculares se
cortarán en un único punto del espacio, que será el punto A, el cual
dio origen a las dos proyecciones en cuestión.

14. Boceto
Hoja albanene

15. Boceto Hoja albanene

16. Boceto Hoja albanene

17. Montea triplanar o sistema axonométrico.
Para realizar una montea triplanar se
efectúa el siguiente procedimiento:
• Dibuja un trirrectángulo O-X-Y-Z.
• Dado un punto A del espacio,
proyecta ortogonalmente este punto
sobre las tres caras de este triedro
trirrectángulo, obteniendo así las
proyecciones, es decir, habiendo
obtenido los segmentos Aa, Aa’ y Aa’’
iguales, respectivamente, a las
coordenadas (x), (y) y (z) del punto
(A) con relación al sistema del
espacio.
• Haz pasar ahora el plano de
proyección pi por el vértice O del
triedro trirrectángulo, y proyectemos
ortogonalmente el conjunto del
espacio constituido por la forma (A) y
por sus respectivas proyecciones (a),
(a’) y (a’’).
• Una proyección directa A del punto
(A) y tres proyecciones, a-a’-a’’, de los
anteriores (a), (a’) y (a’’), situadas
sobre las caras del triedro
trirrectángulo. En esta nueva
proyección se aprecian de una sola
vez las tres coordenadas del punto
(A); es decir, se obtienen los
segmentos X, Y y Z, respectivamente
Aa’, Aa’’ y Aa, proporcionales a las
coordenadas (x), (y) y (z), que el
plano pi se ha hecho coincidir con el
plano de dibujo.

20. Boceto Hoja albanene

21. Boceto Hoja albanene

22. Boceto
Hoja albanene

23. Montea del espacio, cuadrantes y planos.
Se trata de dos planos infinitos, que para
fines ilustrativos los delimitamos como si
fueran rectangulares en el dibujo de la
montea espacial; el plano horizontal H es
el de la superficie en la que trabajas (la
hoja de tu block), el plano vertical V es
perpendicular al primero, la intersección
de los dos planos la LT.
El sistema cuenta con cuatro cuadrantes
que se numeran empezando del cuadrante
superior derecho, siendo este el cuadrante
I y en sentido contrario a las manecillas
del reloj II, III y IV siempre se usan
números romanos.
Al abatir el plano vertical para trabajar en
la montea plana, la única forma de saber
en qué cuadrante se encuentra el punto en
el espacio, es viendo la posición de las
proyecciones horizontal p y vertical p´,
que por construcción se disponen, con
respecto a la LT, de la siguiente manera:
• Primer cuadrante; proyección vertical
arriba y la horizontal abajo.
• Segundo cuadrante; ambas
proyecciones arriba.
• Tercer cuadrante; proyección vertical
abajo y la horizontal arriba.
• Cuarto cuadrante; las dos proyecciones
abajo.

26. Toma en cuenta que dependiendo de la posición
de las proyecciones con respecto a la línea de
tierra determinas en que cuadrante se encuentra
el punto en la montea espacial. A continuación se
te muestra como se pasan los datos de una
montea a otra en los cuatro cuadrantes.
• Primer cuadrante:
• Con tu compás mide la altura de h de p’, llévala
a la montea espacial y localiza en esta p’.
• Ahora mide el alejamiento d y p y llévala a la
montea espacial, localizando p.
• Ortogonalmente proyecta hacia el espacio
desde p y p’ las trazas para que en la
intersección de estas localices el punto en el
espacio P.

28. • Segundo cuadrante:
• Con tu compás mide la altura
de h de a’, llévala a la montea
espacial y localiza en esta a’.
• Ahora mide el alejamiento d
de a y llévala a la montea
espacial, localizando a.
• Ortogonalmente proyecta
hacia el espacio desde a y a’
las trazas para que en la
intersección de estas localices
el punto en el espacio A.

30. • Tercer cuadrante:
• Con tu compás mide la altura
de h de b’, llévala a la montea
espacial y localiza en esta a’.
• Ahora mide el alejamiento d
de b y llévala a la montea
espacial, localizando b.
• Ortogonalmente proyecta
hacia el espacio desde b y b’
las trazas para que en la
intersección de estas localices
el punto en el espacio B.

32. • Cuarto cuadrante:
• Con tu compás mide la altura
de h de c’, llévala a la montea
espacial y localiza en esta c’.
• Ahora mide el alejamiento d
de c y llévala a la montea
espacial, localizando c.
• Ortogonalmente proyecta
hacia el espacio desde c y c’
las trazas para que en la
intersección de estas localices
el punto en el espacio C.

34. Boceto Hoja albanene

35. Boceto Hoja albanene

36. Boceto Hoja albanene

37. Boceto Hoja albanene