matematicas

1. EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA
ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA
Clase Nº 1: DIEZ CASOS DE FACTOREO
Prof. Christian Farinango
www.eduvirtual.tk
27/09/2010
A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al
estudiante en el mundo de la descomposición en factores, muy necesarios como base en el
estudio del algebra. Este documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere
decir que puede hacer uso del mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.

2. 1. Factor común: Un polinomio tiene un término común.
Ejemplo:
݉ܽ + ܾ݉ − ݉ܿ = ݉(ܽ + ܾ − ܿ)
Ejercicios:
i) (݉ + ݊)‫ݔ‬ − (݉ + ݊)‫ݕ‬
ii) 4ܽ଺
ܾଶ
ܿସ
+ 8ܽହ
ܾଷ
ܿସ
+ 12ܽ଺
ܾସ
ܿଷ
iii) 7݉ଶ
݊ଷ
+ 14݉ଷ
݊ଶ
− 21݉ଷ
݊ସ
2. Factor común por agrupamiento: Agrupar las expresiones para determinar un factor
común.
Ejemplo: ࢇࢉ + ࢈ࢉ + ࢇࢊ + ࢈ࢊ
Agrupar: = (ࢇࢉ + ࢈ࢉ) + (ࢇࢊ + ࢈ࢊ)
Sacar factor común de cada grupo: = ࢉ(ࢇ + ࢈) + ࢊ(ࢇ + ࢈)
Tenemos otro factor común = (ࢇ + ࢈)(ࢉ + ࢊ)
Ejercicios:
i) ૚ + ࢞ − ࢞૛
࢟ࢠ − ࢞૜
࢟ࢠ
ii) ࢇ࢞ + ࢇ࢟ + ࢇ − ࢞ − ࢟ − ૚
iii) ࢇࢠ૝
+ ࢈ࢠ૜
− ૛ࢇࢠ − ૛࢈
3. Trinomio cuadrado perfecto: Es igual al cuadrado de un binomio.
Ejemplo: ࢇ૛
+ ૛ࢇ࢈ + ࢈૛
= (ࢇ + ࢈)૛
ࢇ૛
− ૛ࢇ࢈ + ࢈૛
= (ࢇ − ࢈)૛
Ejercicios:
i) ૙, ૙૚ − ૙, ૛࢞૛
+ ࢞૝
ii) (ࢇ + ࢈)૛
+ ૛(ࢇ + ࢈)(ࢉ + ࢊ) + (ࢉ + ࢊ)૛
iii) ૚૟ − ૡ(࢞ − ࢠ) + (࢞ − ࢠ)૛
4. Diferencia de cuadrados: Producto de la suma por la diferencia de las bases de los
cuadrados.
Ejemplo: ܽଶ
− ܾଶ
= (ܽ + ܾ)(ܽ − ܾ)
Ejercicios:
i) 1 − ‫ݔ‬଼
ii) *(‫ݔ‬ − ‫ݕ‬ + ‫)ݖ‬ଶ
− (‫ݔ‬ + ‫ݕ‬ − ‫)ݖ‬ଶ
iii) *(ܽଶ
− ܽ + 1)ଶ
− (ܽଶ
+ ܽ + 1)ଶ

3. 5. Combinación de cuadrado perfecto y diferencia de cuadrado: Se deben agrupar para
formar cuadrados perfectos y luego se descompone la diferencia de cuadrados.
Ejemplo: ࢇ૛
+ ૛ࢇ࢈ + ࢈૛
− ૛૞࢓૛
Agrupamos = (ࢇ૛
+ ૛ࢇ࢈ + ࢈૛
) − ૛૞࢓૛
Resolvemos el cuadrado perfecto = (ࢇ + ࢈)૛
− ૛૞࢓૛
Resolvemos la diferencia de cuadrados = (ࢇ + ࢈ + ૞࢓)(ࢇ + ࢈ − ૞࢓)
Ejercicios:
i) ૝ૡࢇ࢞ − ૜૟ࢇ૛
+ ࢟૛
− ૚૟࢞૛
ii) ૛ࢇ૜
࢞૜
− ࢞૟
− ࢇ૟
+ ૛࢈૜
࢟૜
+ ࢈૟
+ ࢟૟
iii) ૚૙૙࢞૛
− ࢟૛
− ૚૝࢟ࢠ − ૝ૢࢠ૛
6. Cuadrado perfecto incompleto: Son los polinomios que se pueden convertir en
trinomios cuadrados perfectos sumando un término y restándolo para que no se
altere.
Ejemplo: ࢇ૝
+ ࢇ૛
+ ૚
Añadimos ࢇ૛
y restamos ࢇ૛
= ࢇ૝
+ ࢇ૛
+ ૚ + ࢇ૛
− ࢇ૛
Formamos el trinomio cuadrado perfecto = (ࢇ૝
+ ૛ࢇ૛
+ ૚) − ࢇ૛
Resolvemos = (ࢇ૛
+ ૚)૛
− ࢇ૛
= ൣ(ࢇ૛
+ ૚) + ࢇ ൧ൣ(ࢇ૛
+ ૚) − ࢇ ൧
= (ࢇ૛
+ ૚ + ࢇ)(ࢇ૛
+ ૚ − ࢇ)
Ejercicios:
i) * ૚ + ૛࢞࢟ − ࢞૛
࢟૛
− ࢞૝
− ࢟૝
ii) ૝ + ࢇ૝
iii) ૚૙૙࢞૝
+ ૞ૢ࢞૛
࢟૛
+ ૝ૢ࢟૝
7. Trinomio de la forma ࢞૛
+ ࢈࢞ + ࢉ: Se debe encontrar dos números cuya suma
algebraica b y cuyo producto sea c.
Ejemplo: ࢞૛
+ ૞࢞ + ૟
= (࢞ )(࢞ )
Suma sea +5 y multiplicación +6; los números son 2 y 3: = (࢞ + ૛ )(࢞ + ૜ )
+2+3=+5 y (+2)(+3)=6
Ejercicios:
i) ࢇ૛࢔
+ ૝૙ࢇ࢔
+ ૚૝૝
ii) ࢇ૝
− ૞ࢇ૛
+ ૝
iii) ࢟૛
+ ૚૙࢟ࢠ − ૠ૞ࢠ૛

4. 8. Trinomio de la forma ࢇ࢞૛
+ ࢈࢞ + ࢉ: Existen 3 métodos a continuación el más sencillo:
Ejemplo: 4‫ݔ‬ଶ
+ 8‫ݔ‬ + 3
El 4 multiplicamos a los otros términos. = 4‫ݔ‬ଶ
+ 8(4)‫ݔ‬ + 3(4)
Para que no se altere dividimos para 4. =
4‫ݔ‬2+8(4)‫)4(3+ݔ‬
4
Resolvemos. =
4‫ݔ‬2+8(4‫21+)ݔ‬
4
=
(4‫)2+ݔ4()6+ݔ‬
4
Factoramos y simplificamos. =
2(2‫)1+ݔ2(2)3+ݔ‬
4
Respuesta. (2‫ݔ‬ + 3)(2‫ݔ‬ + 1)
Ejercicios:
i) ૜૙࢞૛
− ૠ࢞࢟ − ૚૞࢟૛
ii) ૟࢞૛
+ ૝ૢ࢞ − ૝૞
iii) ૛࢈૛
− ૚૚࢈ + ૚૛
9. Suma y Resta de potencias de exponente impar.
Suma: ࢇ૞
+ ࢈૞
= (ࢇ + ࢈)(ࢇ૝
− ࢇ૜
࢈ + ࢇ૛
࢈૛
− ࢇ ࢈૜
+ ࢈૝
)
Resta: ࢇ૞
− ࢈૞
= (ࢇ − ࢈)(ࢇ૝
+ ࢇ૜
࢈ + ࢇ૛
࢈૛
+ ࢇ ࢈૜
+ ࢈૝
)
Ejercicios:
i) ࢞૞
+ ࢟૚૙
ii) ૜૛ࢇ૞
+ ૛૝૜࢈૞
iii) ࢞૚૙
− ࢇ૞
iv) ૜૛࢞૞
− ૚
10. Suma y Resta de potencias de exponente par: Convertir a potencias impares.
Suma: ࢞૟
+ ࢟૟
= ቂ൫࢞૛
൯
૜
+ ൫࢟૛
൯
૜
ቃ
= ൫࢞૛
+ ࢟૛
൯ ቂ൫࢞૛
൯
૛
− ൫࢞૛
൯ ൫࢟૛
൯ + ൫࢟૛
൯
૛
ቃ
= (࢞૛
+ ࢟૛
)(࢞૝
− ࢞૛
࢟૛
+ ࢟૝
)
Resta: ࢞૟
− ࢟૟
= (࢞૜
+ ࢟૜
)(࢞૜
− ࢟૜
)
= (࢞ + ࢟)൫࢞૛
− ࢞ ࢟ + ࢟૛
൯(࢞ − ࢟)(࢞૛
+ ࢞ ࢟ + ࢟૛
)
Ejercicios:
i) ࢇ૟
− (࢈ + ࢉ)૟
ii) (ࢇ + ࢈)૟
+ ࢉ૟
iii) ࢇ૚૛
− ૠ૛ૢ࢈૚૛
iv) ࢇ૚૛
+ ૠ૛ૢ

5. Referencias:
MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –
Argentina, Volumen I, 1991.
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