Este documento resume el problema de hallar cuántas raíces tiene la ecuación z4 + z3 + 27 = 0 dentro de un círculo de radio 2. Se utiliza el método de reducción al absurdo para demostrar que no hay ninguna raíz dentro del círculo asumiendo lo contrario y llegando a una contradicción al tomar módulos en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación no tiene ninguna raíz dentro del círculo especificado.

1. Problema 72 (Tomo II)
Hallar cu´antas ra´ıces tiene la ecuaci´on z4 + z3 + 27 = 0 dentro del c´ırculo de centro el origen
y radio 2.
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2. Gu´ıa
⋆ Por reducci´on al absurdo.
α ⇒ β ⇐⇒ ¬β ⇒ ¬α
⋆ Propiedad triangular |a + b| ≤ |a| + |b|.
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3. Soluci´on
Sea z0 una ra´ız de dicha ecuaci´on o sea:
z4
0 + z3
0 + 27 = 0
x
y
2
•
z0
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4. Soluci´on
Supongamos que tiene alguna dentro del c´ırculo; por ejemplo z0, de aqu´ı se sigue que:
−27 = z4
0 + z3
0
Si tomamos m´odulos tenemos:
| − 27| = z4
0 + z3
0 ≤ z4
0 + z3
0
27 ≤ 24
+ 23
27 ≤ 24 ¡Absurdo!
Hemos llegado a un absurdo por haber supuesto que ten´ıa ra´ıces dentro del c´ırculo; tenemos
que refutar la hip´otesis.
Por lo tanto, no hay ninguna ra´ız dentro del c´ırculo de radio 2.
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