espacios vectoriales, algebra y geometria primer año de ingenieria, licenciatura en sistemas, economia, licenciatura y profesorado en Fisica, geofisica y tecnicatura universitaria en Optica universidades, instituciones,

1. Álgebra y geometría
Espacios vectoriales.
Melina Verdecchia
Universidad Nacional del Sur

2. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.

3. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial

4. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V .

5. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:

6. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.

7. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn =

8. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,

9. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.

10. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.
(3) Ningún vi es combinación de los restantes.

11. Caracterización de los conjuntos linealmente independientes.
Teorema
Sean V un R - espacio vectorial y v1, v2, . . . , vn ∈ V . Las
siguientes condiciones son equivalentes:
(1) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente.
(2) Si
λ1 · v1 + λ2 · v2 + . . . + λn · vn = µ1 · v1 + µ2 · v2 + . . . + µn · vn,
entonces λi = µi para 1 ≤ i ≤ n.
(3) Ningún vi es combinación de los restantes.

12. Propiedades.

13. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:

14. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn,

15. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.

16. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.

17. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.

18. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.

19. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.
(e) Si v no es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn,

20. Propiedades.
Si M = {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente entonces:
(a) Si v es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces v puede
expresarse en forma única como combinación lineal de ellos.
(b) Cualquier subconjunto de M es linealmente independiente.
(c) vi 6= vj , para todo i 6= j.
(d) vi 6= 0, para todo i.
(e) Si v no es combinación lineal de v1, v2, . . . , vn, entonces
{v1, v2, . . . , vn, v} es linealmente independiente

21. Observación.

22. Observación.
Sean V = R3

23. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.

24. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente

25. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.

26. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.

27. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,

28. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0

29. Observación.
Sean V = R3 y M = {(x1, y1, z1), (x2, y2, z2), (x3, y3, z3)} ⊆ R3.
Entonces:
M es linealmente dependiente ⇔
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0.
I Notemos que el resultado puede generalizarse para n vectores
de Rn, n ∈ N.
I Además,
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
= 0 ⇔
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
= 0.

30. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V .

31. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente

32. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.

33. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente

34. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.

35. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.
El resultado anterior nos permite averiguar si un subconjunto de
vectores de Rn es linealmente independiente, utilizando operaciones
elementales.

36. Proposición
Sean v1, v2, . . . , vn ∈ V . Entonces:
(a) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{v1, v2 + k2 · v1, . . . , vn + kn · v1} es linealmente independiente
para todo k1, k2, . . . , kn ∈ R.
(b) {v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente si, y sólo si
{k · v1, v2, . . . , vn} es linealmente independiente para todo
k ∈ R, k 6= 0.
El resultado anterior nos permite averiguar si un subconjunto de
vectores de Rn es linealmente independiente, utilizando operaciones
elementales.
Veámoslo en el siguiente ejemplo.

37. Ejemplo.

38. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.

39. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1



40. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2

41. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3

42. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1

43. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3

44. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2



45. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3

46. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3




−1 1 0 1

47. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3




−1 1 0 1
0 3 1 3

48. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3




−1 1 0 1
0 3 1 3
0 0 1 1

49. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3




−1 1 0 1
0 3 1 3
0 0 1 1




Los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes,

50. Ejemplo.
Determinar si el conjunto {(−1, 1, 0, 1), (2, 1, 1, 1), (−3, 0, 0, 1)} es
linealmente independiente.


−1 1 0 1
2 1 1 1
−3 0 0 1

 2F1 + F2 → F2
− 3F1 + F3 → F3


−1 1 0 1
0 3 1 3
0 −3 0 −2


F2 + F3 → F3




−1 1 0 1
0 3 1 3
0 0 1 1




Los vectores fila de la última matriz son linealmente independientes,
luego los vectores dados son linealmente independientes.