LAS FUNCIONES POLINOMIALES

FUNCIONES POLINOMIALES
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CAPÍTULO 2
LAS FUNCIONES
POLINOMIALES
CONTENIDO
 Definición de función polinomial
 Operaciones con polinomios: suma y producto
 La división de polinomios
 La división sintética
 El teorema del residuo
 Máximo común divisor de polinomios
 Ecuaciones polinomiales
 Graficación de polinomios
RESULTADOS DE APRENDIZAJE:
 Reconoce una función polinomial
 Suma, resta, multiplica y divide funciones polinomiales
 Aplica la división sintética
 Utiliza el teorema del resisiduo para hallar raíces de un polinomio
 Resuelve ecuaciones polinomiales
 Traza la gráfica de polinomios
Funciones monomias
Sea aun número real dado, y n un número natural. La función f definida en por
f (x)  axn , es llamada monomio de grado n y de coeficiente a .
EJEMPLOS
1. Las funciones definidas en por f(x) =5x²; g(x)= 3
3
2
x , 5 h(x)  (a 1)x ,
1
( ) 2 

a
x
q x ,son monomios. En cambio las funciones definidas en por: f(x)= x-3,
g(x) = |x|,
1
5
( ) 2 

x
h x ,no son monomios.
2. Si a  0, la función monomia n f (x)  ax , es la función nula. El monomio nulo no tiene
grado.

66
3. Si n  0 , para todo número real x no nulo se tiene 1 n x y en ese caso la función
monomia n f (x)  ax , se reduce a f (x)  a , que es una función constante y de grado cero.
Suma de monomios del mismo grado
Dados los monomios p(x) = axⁿ y q(x) = bxⁿ, su suma es el monomio s(x)  p(x)  q(x);
es decir:
( ) ( ) . n n n s x  ax  bx  a  b x
Producto de monomios
Dados los monomios p(x) = axⁿ y ( ) m q x  bx , su producto es el monomio p(x) =
p(x)×q(x); es decir:
( ) ( )( ) ( ) . n m n m p x ax bx ab x   
El grado del monomio producto es igual a la suma de los grados de cada monomio factor.
EJERCICIOS
1. Indicar cuáles de las siguientes expresiones es un monomio. En caso afirmativo,
indicar su coeficiente.
a. 7x b. y² c. 3 d. 8xy
e.
x
5
f. 5xy + y
g. x 



4
5
h. xy
7
13 i. xy j. 1/ 2 3 / 2 x y 
2. Indicar el grado de cada uno de los siguientes monomios.
a) 13m b) -b c) 2 5z
d)
5
y e) 10 f) 3 4 5 6x y z
g) 5xy
h) 2 3
5
3
 pq r
i) 9xy²
3. ¿En qué casos el producto de dos monomios es un monomio constante?
4. Encontrar el valor de r que hace que cada una de las siguientes igualdades sea
verdadera.
a) x²  xr = x8 b) x² x³ xr = x17
c) x¹³  x7  x8=x3r+7 d) 2r+5 = 22r-1
e) 22r+1=32 f) 3r+1 =3 3²

67
5. Calcular la suma S(x) y el producto P(x) de los monomios dados en cada uno de los
siguientes casos:
f(x) g(x) S(x) = f(x) + g(x) P(x) = f(x)  g(x)
a. 3
2
1
x
6x³
b.
x
3
2

5x
c. 7x2 7x²
6. Calcular los productos de los monomios siguientes:
a) ( 2a ) (  4ab )= b) (  2mn² ) ( 7m²n ) =
c) ( 3,1x² ) ( 5,4xy ) = d) z²¹  z18 z =
e) (
1
2
a²b )( ab )( 
2
7
ac² )= f) ( 3xy² ) ( 8x²y³ ) =
g) (
2
3
x² )(  5x³)=
h) ( 7x² ) ( 0 ) =
i) ( r4s³ ) ( rs4 ) = j) ( 5x²y ) (  3x4y7)=
k) ( 7axy² )( 
1
7
ax ) = l) ( 
3
4
ab ) (
4
5
a²b ) =
m) ( 2 2a²b ) ( 2ab ) = n) ( 
1
2
x³ ) ( 
5
3
x² ) =
o) (  3x4 ) (
5
2
x² )= p) (
1
5
x ) (  5x³ )=
7. Simplificar:
a)  2
ab = b) (
3
4
ab )³ =
c) 3y(2y)³ = d) (  2a²b³ )5 =
e) 4x(  5x² )³ = f) (  2x²yz )³ =

68
8. Escriba cada una de las siguientes expresiones como un monomio en forma simplificada.
a) ( 2x²y )( 5x²y³ ) + ( xy )4 b) (3y²)(5y)³  (2y)5
c) ( 5m)²( 2m)³  (
1
2
m)² (2m)³ d) (  4r )³(
1
2
rs )² + (
1
2
r)5( 2s)²
Funciones polinomiales. Operaciones
Consideremos las siguientes funciones de IR en IR.
1. x→ 5x  3.
2. x→ 3x²  2x + 7.
3. x→ x5 + 3x4  x² + 2x  3.
4. x → 8.
Las funciones anteriores son casos particulares de funciones polinomiales.
Definición. Diremos que una función polinomial o simplemente un polinomio P de grado n es
una función P de IRenIRdefinida por
( ) , 0. 3
3
2
0 1 2        n
n
n P x a a x a x a x  a x si a
Un polinomio P de la forma 0 P(x)  a , se denomina polinomio constante y su grado es cero
si 0 0 a  . Su representación gráfica es una recta paralela al eje X.
Un polinomio P de la forma ( ) , 0 1P x  a  a x se denomina polinomio de primer grado si
0. 1 a  Su representación gráfica es una recta.

69
Un polinomio P de la forma ( ) , 2
0 1 2 P x  a  a x  a x se denomina polinomio de segundo
gradosi 0 2 a  . Su representación gráfica es una parábola.
El polinomio
n
n
n
n a  a x  a x  a x   a x  a x 

1
1
3
3
2
0 1 2 
lo podemos también expresar en la forma
1 0
2
2
3
3
1
1 a x a x a x a x a x a n
n
n
n       
  .
En el primer caso se dice que el polinomio está ordenado en forma creciente (los exponentes
están ordenados de menor a mayor) y en el segundo caso se dice que el polinomio está
ordenado en forma decreciente.
EJEMPLOS
1. Los siguientes polinomios están ordenados en forma creciente:
a. 1 – x
b. 2 3 4 x  4x  x

70
c. 1 + x + x² + x³ + x4 – x5.
2. Los siguientes polinomios están ordenados en forma decreciente.
a. 2x + 5
b. x5 – x4 + 3x² - x + 5
c. x5 – x4 - x³ + x² + x - 3.
Un monomio es un polinomio que consta de un solo término. Los siguientes son ejemplos de
monomios: 5, 7x5,  3x,   2 1 x .
EJERCICIOS
1. Calcular el valor del polinomio P para los siguientes valores de x:
2
,
3
x   x  0, x 1,
5
0,2; .
2
x  x 
2
3
x  
x  0 x = 1 x = 0.2
x =
5
2
P(x) = 5x²  3
P(x) = 2x²  3x + 1
P(x) =  x³ 
1
2
x + 3
P(x) = 8x³  2x
P(x) = 4x5  12x4 + 7x³ + 3x²  2x
P(x) =
1
2
x7– x – x7 + 3x +
1
2
x7
2. Dados dos binomios de primer grado P y Q definidos por P(x) = ax + b y Q(x) = cx + d.
a. Calcular las imágenes de los números reales 0 y 1 por P y por Q.
b. ¿Qué debe verificarse para que los monomios P yQ sean iguales?
3. Completar con la expresión que convenga:
a. 5x + … = 13x;
b. …  5x = 9x;
c. 9 × (…) =  36x²
d. 3x × (…) =  24x5
4. Reduzca y ordene cada uno de los siguientes polinomios.
a. p(x) = 5x²  (2 5x5 )  (  7x³  3x ).
b. p(x) = x5  (2x²  x5 + 10x  6) + 5x³.
c. p(x) = 7x5  3x² + x4  3x  1.
5. Ordene en forma decreciente cada uno de los siguientes polinomios.
a. p(x) = 5x²  8 + 5x5  (  7x³ 
3
2
x ).

71
b. p(x) = 7x6  5x7  x²  ( 10x – 6 + x³ ).
c. p(x) = 7x³  8x² +
5
7
x4  3x6  13.
Suma y producto de polinomios
Suma de polinomios
Observe los siguientes ejemplos.
1. Si P(x) = 3x y Q(x) = 6x entonces P(x) + Q(x) = 3x + 6x = (3 + 6)x = 9x.
2. Si P(x) = 15x5 y Q(x) =
1
2
x5entonces
P(x) + Q(x) = 15x5 +
1
2
x5 = ( 15+
1
2
) x5= 
29
2
x5.
Note que en los ejemplos anteriores los monomios que aparecen en la suma tienen el mismo
grado. En tal caso se dice que los monomios son semejantes.
Dados dos monomios semejantes a xⁿ y b xⁿ, su suma está dada por
axⁿ + bxⁿ = (a + b)xⁿ.
La operación anterior se conoce también como reducción de términos semejantes.
De manera similar
( ) . n n n ax  bx  a  b x
EJEMPLO
Si P(x) = 3x³  x² + 2x  5 y Q(x) = 6x² + 5x + 7 entonces
P(x) + Q(x) = (3x³  x² + 2x  5) + (6x² + 5x + 7)
= 3x³ + ( x² + 6x²) + (2x + 5x) + ( 5 + 7)
= 3x³ + 5x² + 7x + 2.
EJERCICIOS
1. Determinar los polinomios s(x) = p(x) + q(x), y d(x) = p(x)  q(x) si los polinomios
p(x) y q(x) están dados por:
a. p(x) =2x² 
3
4
x +
2
3
, q(x) = 
1
5
x² + 5x 
6
7
.
b. p(x) =
2
5
x³ 
3
4
x² +
2
3
, q(x) =
3
5
x² 
6
7
x + 3.
c. p(x) =
1
3
x –
1
2
x5 +
2
5
x4, q(x) = 0.6x5  1.7x³ 
3
5
x² +
6
7
x+ 0.14x4.
2. De 5x7  6x5 + 3x²  x + 1, restar x8 – x4 + 3x² + x  1.
3. De 5x5 2x4 + 13x³ 3x²  2x + 7, restar 4x² 3x + 9.
4. De 6a²x4 + 4a³x³ + 12a4x², restar 5ax² 7a²x.

72
5. Los siguientes cuadrados, ¿son mágicos para la adición?
a.
2x  3 3x  4  2x + 1
3x + 2 x 2 5x  6
4x  5 x 1
b.
2x 6x 7x
9x x 5x
4x 8x 3x
6. El siguientes cuadrado, ¿es mágico para la multiplicación?
4x8 8x 0.25x6
0.125x³ 2x5 32x7
16x4 0.5x9 x²
MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Dados dos monomios axⁿ y m bx , su producto es
( )( ) ( ) . n m n m ax bx ab x  
Note que el grado del polinomio producto es la suma de los grados de los monomios factores.
Usando la propiedad distributiva de los números reales podemos entonces multiplicar un
monomio por un polinomio cualquiera, expresando el producto como una suma de productos
de monomios.
EJEMPLO
Si p(x) = 5x² y q(x) =
1
3
x 
1
2
x³ +
2
5
x4 + x7entonces
p(x)q(x) = (5x²)(
1
3
x 
1
2
x³ +
2
5
x4+x7)
= (5x²)(
1
3
x) + (5x²)( 
1
2
x³) + (5x²)(
2
5
x4 ) + (5x²)(x7)
=
5
3
x³ 
5
2
x5 + 2x6 + 5x9 .

73
De manera general :
bxm(a0 + a1 x + a2 x² + a3 x³ + … + an xⁿ) = ba0 xm + ba1 xm+1 + ba2 xm+2 + ba3 xm+3 + …+ b an xm+n.
El producto anterior se lo suele escribir, por analogía con la forma práctica de multiplicar dos
números, como sigue:
a0 + a1x + a2 x² + a3 x³ + …+ an xⁿ
×
bxm
ba0xm + ba1 xm+1 + ba2 xm+2 + ba3 xm+3 + …+ ban xm+n
O también
anxn+ …+ a3 x³ + a2 x² + a1 x + a0
×
bxm
banxm+n + …+ ba3 xm+3 + ba2 xm+2 + ba1 xm+1 + ba0 xm.
Usemos lo anterior para calcular el producto de los polinomios p(x) = x²  5x y
q(x) = 2x³ + x  5.
p(x)q(x) = (x² 5x)(2x³ + x  5)
= x²(2x³ + x  5)  5x(2x³ + x  5)
= 2x5 + x³  5x²  10x4  5x² + 25x
= 2x5  10x2 + x³  10x² + 25x.
Los cálculos anteriores se suelen presentar en la siguiente forma práctica:
q(x) = 2x³ + x 5
×
p(x) = x²  5x
x² q(x) = 2x5 + x³  5x²
+
5x q(x) = 10 x4  5x² + 25x
p(x)q(x) = 2x5  10x4 + x³ 10x² + 25x
O simplemente

74
2x³ + x 5
x² 5x
2x5 + x³ 5x²
10x4 5x² + 25x
2x5 10x4 + x³ 10x² + 25x
EJERCICIOS
1. Desarrolle, reduzca y ordene en forma creciente los siguientes polinomios.
a. 3x²(
4
5
x³+
1
4
x²  x +
3
7
)
b. (4x + 6)( 1.5x +
1
4
)
c. (x² + 6x  5)( 5x² + 2x – 3 )
d. (x + 2)(2x  1)(4x + 1)  (x + 1)(x + 2)(x + 4)
e. (x 1)³ + (x 1)²  (x  1)
f. (x + 3)  4(x 1)(x + 2) + 3(x 3)(x + 6)(x 5 )
2. Realice los siguientes productos:
a) (x + 1)² = (x + 1)(x + 1) b) (x  1)² =(x 1)(x  1)
c) (x + a)(x  a) d) (ax + b)(cx + d)
e) (x + a)³ = (x + a)(x + a)² f) (x  a)³
g) (x  a)(x² + ax + a²) h) (x + a)(x²  ax + a²)
3. Expresar el área de cada uno de los cuatro rectángulos en cada figura usando un
polinomio en forma simplificada.

75
4. Encontrar el área de cada uno de los siguientes rectángulos por adición de las áreas de los
rectángulos pequeños.
5. Factorizar los siguientes polinomios:
a) 2ax + 3a b)  25 t³  75t²  45t
c) x²  2x + 1 d) t²  1.2t + 0.36
e) x²  1 f) x³  1
g) x³ + 1 h) x4  1
i) ( x + 1 )³  x³  1
6. Dados los polinomios p(x) = 3x4  x² + 5, q(x) = 2x³ + x²  5 y r(x) = 3x³. Ordene los
siguientes polinomios según las potencias decrecientes de x.
a) p(x) + 4q(x) + 5r(x)=
b) p(x)  q(x) + 3r(x)=
c) p(x) + 2q(x)  2r(x)=
d) p(x)× q(x) =
e) [p(x)]²  [q(x)]² =
f) [p(x)]²[q(x)]² + [r(x)]³ =
7. Exprese como an xⁿ + …+ a1 x + a0 :
a) (2x + 3)(x² + 1) + (x  1)(x  2)
b) x(x + 1)(x² + 1)  (2x + 1)(2x  1)
c) (x + a)(x + b)
d) (x + a)(x + b)  (x + a )(x + c)
e) (x² + 1)(2x  1)  (x² + 1)(x² + 2)
f) (x + 2)²(x + 4)  x(x² + 4x + 6) + 5(x  1)(2x  1)
g) (x + 2)²(x² + 1) + x(x + 2)(x + 3) + (x + 2)(3x²  5x  5)
h) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)  x(x + 1)(x + 2)(x + 3)

76
8. Encontrar el coeficiente de x³ sin calcular el producto, en cada uno de los siguientes
casos:
a) (x² + 3x + 1)(2x  1) b) (x³  7x + 6)(x² + 1)
c) x²(2x  5)(x + 6) d) (x + 1)(2x  1)(4x  1)
e) (x4  6x³ + 2x² + 5x + 2)(x³ + x + 4) f) (x³ + 2x² + 3x + 4)(6x³ + 7x²  x  5)
g) (1 + x³)(1 + x4 )(1 + x5 )(1 + x6 ) h) (1 + 2x)(1 + 3x²)(1 + 4x³)(1 + 5x4 )
DIVISION DE POLINOMIOS
Al realizar la división 34 ÷ 8, se obtiene por cociente 4 y por residuo 2.
Esto lo podemos también expresar como
34 = 4×8 + 2.
De manera general, dados dos números enteros positivos n y m con n ≥ m al realizar la
división n ÷ m se obtiene un cociente q y un residuo r de tal manera que
n = qm + r, con 0 ≤ r < m.
En esta sección realizaremos una operación de división similar pero con polinomios. Más
precisamente, dados dos polinomios P(x) y D(x) se trata de establecer un proceso que nos
permita encontrar polinomios Q(x) y R(x) tales que
P(x) = Q(x)D(x) + R(x), con grado de R(x) menor que grado de D(x).
Los polinomios Q(x) y R(x) se denominan el cociente y el residuo respectivamente de la
división de P(x) por D(x). El polinomio P(x) se denomina el dividendo y el polinomio
D(x) se denomina el divisor.
División de un polinomio por un monomio
Cuando el divisor D(x) es un monomio, se encuentra fácilmente la división. Examinemos los
siguientes ejemplos.

77
EJEMPLOS
1. Si P(x) = x6  7x5 + x²  x + 4 y D(x) = 5x³, entonces
P(x)
D(x)
=
x6 - 7x5 + 3x³ + x² - x + 4
5x³
=
x6
5x3 
7x5
5x³
+
3x³
5x³
+
x² - x + 4
5x³
=
1
5
x³ 
7
5
x² +
3
5
+
x²-x+4
5x³
,
de donde
x6 7x5 + 3x³ + x²  x + 4 = (
1
5
x³ 
7
5
x² +
3
5
)(5x³) + x²  x + 4.
Es decir que el cociente es Q(x) =
1
5
x³ 
7
5
x² +
3
5
y el residuo es R(x) = x²  x + 4.
2. Si P(x) = 2x8 - 3x7 + 5x6 - 2x4 - 6x + 7 y D(x ) = -
1
2
x5, entonces
P(x)
D(x)
=
2x8 - 3x7 + 5x6 - 2x4 - 6x + 7
-
1
2
x5
=
2x8
-
1
2
x5

3x7
-
1
2
x5
+
5x6
-
1
2
x5
+
- 2x² - 6x + 7
-
1
2
x5
=  4x³ + 6x²  10x +
- 2x² - 6x + 7
-
1
2
x5
,
de donde
2x8  3x7 + 5x6  2x4 6x + 7 = (  4x³ + 6x² 10x)( 
1
2
x5 ) + ( 2x²  6x + 7).
Es decir que el cociente es Q(x) = 4x³ + 6x² 10x y el residuo es R(x) =  2x²  6x +
7.
EJERCICIOS
1. Calcular
( )
,
( )
P x
D x
en cada uno de los siguientes casos:

78
a. 6 4 P(x)  25x ; D(x)  3x .
b. 4 7
( ) 5 ; ( ) .
8
P x   x D x   x
c. 5 3 2 P(x)  2abx , D(x)  6b x , con
b  0.
d. 9 7 6 P(x)  x 5x 7x  x 3,
4 D(x)  1,3x .
e. 5 4 2 3
( ) 7 4 8 5,
2
P x  x  x  x  x 
3 3
( ) .
5
D x  x
f. 5 4 3 2 P(x)  3x  x  x  x 3x 1,
2 7
( ) .
9
D x   x
2. Encontrar cada cociente:
a.
2 4 8
2
x 
b.
2 2 7xy 5xy 13x y
xy
 

c.
2 4 2 3 7a b 11a b 5ab
ab
 
d.
2 5b b
b

e.
3 2 2 2 a b 5a b 2ab
ab
 
f.
2 2 2 2 18 9 12
.
3
r s rs r s
rs
 
DIVISION ENTRE POLINOMIOS
Observe los siguientes ejemplos :
1. Dividir P(x)= 5x³ + 2x²  7x + 5 por D(x) = x²  x + 5.
5x³ + 2x²  7x + 5 x²  x + 5
5x³ + 5x²  25x 5x + 7 = Q(x)
7x²  32x + 5
7x² + 7x 35
 25x  30 = R(x)
Luego el cociente es el polinomio Q(x) = 5x + 7 y el residuo es el polinomio
R(x)  25x 30.
2. Dividir P(x) =  4x³ + 3x² por D(x) = 3x³ + 2.
Solución:

79
4x³ +3x² 3x³+2
4x³ +
8
3

4
3
3x² +
8
3
Luego el cociente es el polinomio
4
( )
3
Q x   y el residuo es 2 8
( ) 3 .
3
R x  x 
3. Dividir P(x) = 4x4 + 20x³ + 25x²  10x  50 por D(x) = 2x³ + 5x²  10.
4x4 + 20x³ + 25x²  10x 50 2x³ + 5x²  10
4x4  10x³ +10x 2x + 5
+10x³ +25x² 50
10x³ 25x² +50
0
Luego el cociente es el polinomio Q(x) = 2x + 5 y el residuo es el polinomio nulo
R(x) = 0. En este caso se dice que el polinomio P(x) es divisible por el polinomio
D(x).
4. Dividir P(x) = 2x5  x³ + x por D(x) = 3x² + 2x  1.
Solución:
2x5  x³ + x 3x² + 2x – 1

6
3
x5 
4
3
x4 +
2
3
x³
2
3
x³ -
4
9
x² +
5
27
x -
22
81

4
3
x4 
1
3
x³ + x
4
3
x4 +
8
9
x³ 
4
9
x²
5
9
x³ 
4
9
x² + x

5
9
x³ 
10
27
x² +
5
27
x

22
27
x² +
32
27
x
22
27
x² +
44
81
x 
22
81
140
81
x 
22
81

80
Luego el cociente es el polinomio Q(x) =
2
3
x³ 
4
9
x² +
5
27
x 
22
81
y el residuo es el
polinomio R(x) =
140
81
x 
22
81
.
EJERCICIOS
1. Halle el resto de la división del polinomio p(x) = x³  2x + 1 por el polinomio D(x) = x
+ 2.
2. Halle el resto de la división del polinomio p(x) = x4 
1
3
x 
11
8
por el polinomio D(x) = x +
1
2
.
3. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio
p(x) =
1
4
x4 
3
2
x³ +
4
5
x² 
5
3
x + 3 por el polinomio D(x) = 
1
3
+ x².
4. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio
p(x) =
1
2
x7 
3
5
x4 +
2
5
x² 
5
7
x + 8 por el polinomio D(x) =  x³ + x²  1.
5. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 4x7  5x4 + 6x²  3x +
1 por el polinomio D(x) = 2x³  x² x  2.
6. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = x8por el polinomio
D(x) = x² + x + 1.
7. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = x8por el polinomio D(x)
= x³ + x² + x + 1.
= x4 + x³ + x² + x + 1.
= x5 + x4 + x³ + x² + x + 1.
10. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 9x9 + 8x8  7x7  6x6 +
5x5  4x4 + 3x³  2x² + x por el polinomio D(x) = x4  x² + 1.
11. Halle el cociente y el residuo de la división del polinomio p(x) = 9x9 + 8x8  7x7  6x6 +
5x5  4x4 + 3x³  2x² + x por el polinomio D(x) = x4  x² + 1.
EJERCICIOS VARIOS
1. Desarrollar, reducir y ordenar según las potencias decrecientes de x.
a) (2x + 1)² + 4x²  1 + (x + 1)( 5  8x )
b) (2  x)²(1 + 4x)³
c) (x + 1)³ + (x + 1)² + (x + 1) + 1
d) (5x  3)(2x  1)(x³ + x4  1)  (x³ + x² + x  1)( x + 1)

81
e)       2 3 3  x 3  x  2x  3 x  3
2. Sean p(x) =  5x³ + x² + 3 y q(x) = x²  2. Calcular los polinomios siguientes:
a. 2p(x) 3q(x) b. 2 2q(x)  x p(x) c. 2 xp(x) 5x q(x) d. p(x) q(x).
3. Para cada polinomio, decir si el valor de a que se indica es una raíz.
a. 3 p(x)  x  2x 12; a  2.
b. 5 3 27 1
( ) 2 ; .
32 2
p x  x  x  x  a 
c. 6 5 4 3 p(x)  x  2x  x 3x 2x 1; a  1.
4. Para cada polinomio, determinar el valor de m para que el valor de a que se indica sea una
raíz.
a. 3 1
( ) 2 3; .
3
p x  mx  x  a  
b.   2 1
p(x) x m 1 x 4; a 1.
m
    
c. 4 3 p(x)  x  x mx m1; a  2.
5. Para cada polinomio, determinar si es divisible por x 1.Si la respuesta es afirmativa,
determinar el cociente.
a) p(x) = x² + 2x + 1 b) p(x) = x³ + 2x²  1 c) p(x) = 7x4 + 3x³  5x² + x + 2
e) p(x) = 2x² + 3x + 2. c) p(x) = x5 + x4 + x³ + x²
Observación: Un polinomio de segundo grado p(x) = ax² + bx + c se dice que está
escrito en su forma canónica si se expresa como:
2 2
2
2
4
( ) .
2 4
b b ac
p x ax bx c a x
a a
   
        
  
6. Escribir cada uno de los siguientes polinomios en su forma canónica.
a) p(x) = x² + 4x + 5. b) p(x)= x²  6x + 8. c) p(x) = 2x² + 6x + 15.
d) p(x) = x²  5x + 7. e) p(x) =  3x² + 5x  7. f) p(x) = 3x² 5x.
g) p(x) =  4x² + x.
h) p(x) = x²  2x 
1
2
.
i) p(x) = x²  2x sen θ  cos²θ.
LA REGLA DE RUFFINI
Si el divisor es un binomio del tipo x – a, la división puede hacerse de una manera más simple
y más rápida. Dicha regla es conocida como la regla de Ruffini. Se trata de una regla que la
podemos descubrir a partir de la observación de la división ordinaria de los polinomios, siendo
el divisor de la forma x a.

82
Consideremos el siguiente:
EJEMPLO 1.
Dados los polinomios f(x) = 2x3 - 3x2 - 4x - 7 y g(x) = x - 3. Si realizamos el proceso de la
división se tiene:
2x3  3 x2  4 x 7 x 3
2x3 6 x2 2x2 + 3x +
5
3 x2 4 x 7
3 x2 9 x
5 x  7
5 x 15
8
La tabla presenta en la primera línea los coeficientes del polinomio dividendo (anotando cero
si no existe algún término) ordenado según las potencias decrecientes de la x, en este caso,
los números 2; 3; 4 y–7.
A la izquierda de la segunda fila hemos escrito el término constante del divisor, con signo
cambiado; en nuestro caso el 3. Vamos a explicar ahora cómo obtener los restantes términos
de la segunda y tercera filas.
El primer coeficiente de la primera fila lo repetimos en la tercera fila. El número 3
multiplicamos por este primer término y obtenemos el 6 de la segunda fila y segunda columna.
Sumamos la segunda columna: 3 + 6 =3 y obtenemos el segundo número de la tercera fila.
Multiplicamos ahora el número 3 inicial por el número de la tercera fila y segunda columna lo
cual nos da el número 9 de la tercera columna de la segunda fila. Sumamos la tercera
columna:  4 + 9 = 5 y obtenemos el número 5 de la tercera columna y tercera fila. Este
número multipicamos por el 3 inicial y obtenemos el 15 de la segunda fila y cuarta columna.

83
Sumamos la cuarta columna:  7 + 15 = 8 y así obtenemos el 8 de la tercera fila y cuarta
columna.
Los números de la tercera fila, a excepción del último, son los coeficientes del polinomio
cociente y el último, en este caso el 8 representa el residuo de la división.
Observemos que el grado del polinomio dividendo es 3 y que el grado del polinomio divisor es
1, por lo que, en nuestro caso, el cociente es un polinomio de grado 3 – 1 = 2, el mismo que
tiene como coeficientes 2; 3 y 5; es decir 2x2 + 3x + 5. Como el grado del residuo, tiene que
ser menor que el grado del divisor, entonces en nuestro caso es cero; el residuo por lo tanto es
un polinomio constante, o
sea un número real.
En el ejemplo que sigue daremos una aplicación paso a paso de la regla de Ruffini.
EJEMPLO 2.
Consideremos la división del polinomio p(x) = 3x3 + 7x2 –5 por el polinomio q(x) = x + 2.
EJEMPLO 3. Encontrar el cociente y el residuo de la división entre los polinomios p(x) =
2x4 – 3ax3 –2a3x + 3 a4y q(x) = x – a, donde x es la variable y a representa una constante.
Se tiene:

84
Se tiene entonces que q(x) = 2x3 –ax2 –a2x –3a3y r(x) = 0. En este caso, el polinomio p(x)
es divisible por el polinomio q(x) = x – a.
EJERCICIOS.
Aplicando la regla de Ruffini, calcular el cociente y el residuo de las siguientes divisiones.
1. (2x ) 2 + 3x – 3  (x + 2 )
2. (3x ) 2 + 5x – 7  ( x + 3)
3. (x ) 3 + x2 – 6x + 7  ( x – 1)
4. 2y3 + 5y2 – 4y – 1  y + 3
5. (x ) 4 –5ax3 + 6a2x2 + a3x- 3a4  (x – 3a)
6.
  
  
3x2 –
77
10
x +
5
6

  
  
x –
5
2
7.
  
  
3
4
x2 - x + 1 
  
  
x –
2
3
8.
  
  
3
5
x2 –
13
6
bx + b2 
  
  
x –
5
2
b
9.
  
  
2
3
x3 –
3
2
x2 +
13
12
x – 1 
  
  
x –
3
2
10.
  
  
3
5
x4 –
3
10
x3 –
1
2
x2 +
9
4
x – 1 
  
  
x –
1
2
11.
  
  
3
2
x4 +
1
2
bx3 –
1
3
b2x2 +
1
9
b4 
  
   x +
b
3
12. (ax ) 3 + b(a + b)x2 – a(a + b)2x – b(a + b)3 (x – a - b)
13. [x ] 3 – c x2 – (a + b)2x – c(a + b)2 (x – a – b – c )
14. [x ] 3 – (a + b +c) x2 + (ab + bc + ac)x – abc [ (x – a) (x – b)]
Extensión de la regla de Ruffini al caso en el cual el divisor es un binomio
del tipoax – b
Si queremos dividir un polinomio p(x) por un binomio del tipo ax – b, de la relación
fundamental
p(x) = q(x) (ax - b) + r
dividiendo ambos miembros por a, obtenemos:

85
( )
( ) ,
p x ax b r
q x
a a a
  
   
 
o lo que es lo mismo:
( )
( ) .
p x b r
q x x
a a a
 
    
 
Esta última igualdad conduce a establecer las siguientes observaciones bastante evidentes:
El binomio divisor,
  
  
x –
b
a
, es ahora del tipo x – k; podemos entonces efectuar la división
utilizando la regla de Ruffini, pero considerando como dividendo el polinomio
p(x)
a
. El
cociente q(x) permanece inalterable. El nuevo residuo es
r
a
; que multiplicado por a nos
dará el resto r de la división de partida.
EJEMPLO
Efectuar la división
(2x ) 3 + 3x2 – 7x + 4  2x 3.
Solución: Aplicando la regla de Ruffini se obtiene:
El cociente de la división de partida será el polinomio q(x) = x2 + 3x + 1 y el residuo será
igual a:
7
2 7.
2
r   
EJERCICIOS
Realice las siguientes divisiones:
1. (2x ) 3 + x2 + x + 2 (2x - 1 ) 2. (6x ) 3 – 11x2 + 9  (3x - 1)
3. (4x ) 3 – 2x2 – 2x +10 (2x + 3) 4. (4x ) 3 – 2x2 – 2x +10 (2x + 3)
5. (12x ) 4 + 7x3 – 9x2 – 5x – 2 
(3x + 4)
6.
  
  
2
3
x3 –
5
6
x +
1
3

  
  
2
3
x + 1

86
7.
  
  
3
2
x3 – 5 x2 +
55
24
x +
5
8

  
  
3
2
x - 4
8. [ax ] 3 + (1 – a ) 2 x2 – 1  (ax + 1)
9.
2
3
2 1 .
a b b a
x x x
b a a b
   
       
   
EL TEOREMA DEL RESIDUO
Dado un polinomio cualquiera p(x), sabemos que:
p(x) = (x – a) q(x) + r.
La identidad precedente es válida para todo número real x, en particular para x  a. Se tiene
entonces que:
( )   ( )
0 ( )
.
p a a a q x r
q a r
r
  
  

es decir que: p(a)  r; que expresa el siguiente resultado, que recibe el nombre de teorema
del residuo.
El residuo de la división de un polinomio p(x) por el binomio x – a es igual al valor
que asume el polinomio p(x) en x = a.
El teorema permite encontrar directamente el residuo de la división, sin tener que realizar
toda la división.
Así por ejemplo, el residuo de la división del polinomio p(x) = 2x3 – 5x2 + 3x – 4 por el
binomio x – 1 es r = p(1) = 2 13 – 5 12 + 3 1 – 4 =  4 .
El residuo de la división del polinomio p(x) = x4 + 2x3 + 5x – 18 por el binomio x + 3 es:
r = p( 3) = (  3)4 + 2(  3)3 + 5( 3) – 18 = 81 – 54 – 15 –18 = 6.
La utilidad del teorema del residuo radica en que nos permite establecer cuándo un
polinomio p(x) es divisible por el binomio x  k.
Se tiene el siguiente criterio de divisibilidad:
Condición necesaria y suficiente para que un polinomio p(x) sea divisible por el
binomio x – k, es quep(k) = 0.
En símbolos:
(x – k) | p(x)  p(k) = 0,

87
donde el segmento vertical | se lee “divide a” o también “es divisor de”
La condición p(k) = 0 es necesaria, en efecto, si p(x) es divisible por x – k, el resto de la
división debe ser cero y teniendo en cuenta el teorema del residuo, se tiene r = p(k) = 0.
Por tanto:
(x – k) | p(x) p(k) = 0.
La condición p(k) = 0 es suficiente; en efecto, si p(k) = 0 y también r = p(k) = 0, es porque
p(x) es divisible por x – k. Por lo tanto:
p(k) = 0  (x – k) | p(x) .
Por ejemplo, el polinomio p(x) = 3x3 – 12x2 + 14x – 4, es divisible por el binomio x – 2.
En efecto,
r = p(2) = 3 23 –12 22 + 14 2 – 4 = 24 – 48 + 28 – 4 = 0.
Se tiene también que el polinomio p(x) = x3 –
17
6
x2 + 4x – 3 es divisible por el binomio x
–
3
2
. En efecto:
r = p
  
  
3
2
= 3 0.
8
51
8
27
6 3
4
9
6
17
8
27
3
2
3
4
2
3
6
17
2
3
3 2
          



 



 



EJERCICIOS
Utilizando el teorema del residuo, establecer si cada uno de los siguientes polinomios es
divisible por los binomios indicados.
1. x3 – 8x2 + 11x + 20; x + 1; x – 2; x – 4.
2. 2x4 + 3x3 – 4x – 3; x – 1; x + 1; x – 2.
3. x5 – 5 x4 – 4 x3 + 22x2 – 8; x + 1; x – 2; x + 2.
4. 4x3 +
5
3
x2 +
13
3
x +
10
3
; x – 1; x + 3; x +
2
3
.
LOS CEROS O RAÍCES DE UN POLINOMIO
Dado un polinomio p(x), diremos que un número real k es un cero del polinomio o una raíz del
polinomio si se tiene que p(k) = 0.
Así por ejemplo, dado el polinomio p(x) = 2x3 + x2 –8x –4, como
p(2) = 2 23 + 22 – 8 (2) – 4 = 16 + 4 –16 – 4 = 0,
podemos afirmar que 2 es un cero del polinomio.
Igualmente, dado el polinomio p(x) = 2x2 – x + 1, se tiene que un cero es el número –
1
2
. En
efecto:
1 1 1 1 1
2 1 1 0.
2 4 2 2 2
p
   
          
   

88
Del criterio de divisibilidad ilustrado en el parágrafo precedente se sigue que:
Si k es un cero del polinomio p(x), entonces p(x) = (x – k) q(x).
Divisibilidad de binomios notables
El teorema del residuo encuentra una importante aplicación en el estudio de la divisibilidad de
algunos binomios particulares del tipo:
, n n x  y . n n x  y
que llamaremos respectivamente diferencia y suma de potencias de igual exponente.
Distinguiremos algunos casos:
1. La diferencia de dos potencias de igual exponente es siempre divisible por la
diferencia de las bases.
2. La diferencia de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma de
las bases solo si el exponente es par.
3. La suma de dos potencias de igual exponente es divisible por la suma de las
bases solo si el exponente es impar.
4. La suma de dos potencias de igual exponente no es divisible por la diferencia
de las bases.
EJERCICIOS
Factorar:
1. x7 + 1 2. y5 – 1 3. 32 + x5
4. 32 y5 + 243 x5 5. x10 + y5 6. 1 + 128x14
7. 1 – a8 8. (x + y )4 - 1 9. x6 + x

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