Matemática financiera: interés compuesto

Lic. Adm. Carlos Aliaga Valdez, MBA
Fuente bibliográfica: Libros publicados por Carlos Aliaga Valdez
“Matemática financiera: interés y descuento”
“Matemática financiera: tasas, inflación y tipo de cambio”
“Matemática financiera: anualidades y perpetuidades”
“Matemática financiera: amortizaciones y depreciaciones”
“Funciones y herramientas de Excel para la gestión financiera”
1Carlos Aliaga Valdez, MBA

Monto e interés compuesto
Lic. Adm. Carlos Aliaga Valdez, MBA 2
Monto e interés
compuesto
P constante y tasa
constante
P constante y tasa
variable
P variable y tasa
constante
P variable y tasa
variable
Ecuaciones de valor
equivalente
Fuente bibliográfica: Libro publicado por Carlos Aliaga Valdez: “Matemática financiera:
interés y descuento”

Fórmula del monto compuesto
0 1 2i n3 ki i i
00 SP  101 I'SS  212 I'SS  323 I'SS  kkn I'SS 
iSI' 01  iSI' 12  iSI' 23  iSI' kk 

Caso 1 Monto compuesto: P constante i constante
4Lic. Adm. Carlos Aliaga Valdez, MBA
𝑆 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
𝑆 = 𝑃. 𝐹𝑆𝐶𝑖;𝑛
𝑃 = 𝑆 1 + 𝑖 −𝑛 𝑃 = 𝑆. 𝐹𝑆𝐴𝑖;𝑛
𝑖 =
𝑆
𝑃
1 𝑛
− 1 𝑛 =
𝐿𝑜𝑔 𝑆 𝑃
𝐿𝑜𝑔 1 + 𝑖

El Factor simple de capitalización FSC
La función del FSC es:
 Traer al presente, un capital ubicado en el pasado (hace n
períodos); o
 llevar al futuro (n períodos) un capital ubicado en el
presente.
𝐹𝑆𝐶 = 1 + 𝑖 𝑛

El Factor simple de actualización FSA
𝐹𝑆𝐴 = 1 + 𝑖 −𝑛
La función del FSA es:
 Llevar al pasado (n períodos), un capital ubicado en el
presente; o
 traer al presente (n períodos) un capital ubicado en el
futuro.

Caso 2 Monto compuesto: P constante i variable
𝑆 = 𝑃 1 + 𝑖1
𝑛1 1 + 𝑖2
𝑛2 … . 1 + 𝑖 𝑧
𝑛 𝑧
𝑆 = 𝑃
𝑘=1
𝑧
1 + 𝑖 𝑘
𝑛 𝑘
𝑃 =
𝑆
𝑘=1
𝑧
1 + 𝑖 𝑘
𝑛 𝑘

Caso 2 Monto compuesto: P constante i variable
Calcule el monto compuesto que originó un depósito de 5000
um, colocado a plazo fijo en el Banco Norte del 2 de julio al
30 de setiembre del mismo año. En ese plazo la TEA que
originalmente fue 0,24, bajó a una TEA de 0,22 el 15 de julio y
a una TEA de 0,20 el 16 de setiembre. Calcule, además, la tasa
efectiva de todo el período de la operación.

Caso 3 Monto compuesto: P variable i constante
En los casos abordados en este punto, el monto
compuesto se puede evaluar por tramos definidos en
función de subhorizontes durante los cuales la tasa
efectiva periódica i se mantenga invariable y no se
produzcan depósitos ni retiros intermedios (luego del
inicio del subhorizonte y antes de su término).

Caso 3 Monto compuesto: P constante e i variable
Una empresa abrió el 26 de mayo una cuenta con un principal de 1 000 um, a un
plazo fijo de 90 días, este importe devenga una tasa de interés efectiva variable.
Se requiere conocer el monto al término del plazo si se sabe que las tasas de
interés fueron las siguientes:

Caso 4 Monto compuesto: P variable e i variable
Calcule el monto compuesto de una cuenta bancaria por el plazo
comprendido entre el 11 de julio y 31 de octubre del mismo año. En
ese plazo se efectuaron los siguientes cambios:

Monto compuesto con tasa nominal
capitalizable m veces
Si 𝑚 es el número de períodos que capitaliza la tasa nominal en su respectivo período,
su razón es:
Dado lo anterior, cuando el monto compuesto se genera por una tasa nominal j
capitalizable m veces en su período, debe convertirse la tasa nominal en una tasa del
período capitalizable; el valor de esta tasa nominal proporcional, será también el valor
de la tasa efectiva i del mismo período capitalizable, y la operación con tasa nominal
se podrá trabajar como una operación con tasa efectiva, a la que es aplicable el
desarrollo formulado en los puntos anteriores.
f
F
blecapitalizaperíododelPlazo
TNladePeríodo
m 
𝑆 = 𝑃 1 +
𝑗
𝑚
𝑛

Monto compuesto con tasa nominal
capitalizable m veces
Calcule el monto compuesto de un capital de S/. 10000 que
devenga una TNT de 0,06 capitalizable mensualmente en un
período de 90 días.
𝑆 = 10000 1 +
0,06
𝑚 =
90
30
= 3
90 30
= 10000 × 1 + 0,02 3
= 10612.08
𝑆 = 𝑃 1 +
𝑗
𝑚
𝑛

Interés compuesto con P constante e i constante
𝐼 = 𝑆 − 𝑃
𝑆 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛
𝐼 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 − 𝑃
𝐼 = 𝑃 1 + 𝑖 𝑛 − 1

Elección entre el interés simple e interés
compuesto
Si tiene una deuda de 50 000 um que devenga una tasa de
interés anual de 0,12 y debe cancelarse el día 180, ¿qué
alternativa escogería?
a. pagarla con interés simple y una TNA de 0,12;
b. pagarla con interés compuesto y una TEA de 0,12.
Justifique su elección.

Comparación entre el interés simple e interés
compuesto

Ecuaciones de valor equivalente a interés
compuesto
Bajo un régimen de interés compuesto con una tasa periódica i determinada: si dos
conjuntos de stocks o flujos son financieramente equivalentes para un determinado
horizonte temporal, también lo serán para otro horizonte temporal. Ello facilita los
cálculos de equivalencia financiera bajo interés compuesto, pues se pueden tomar
diversos momentos focales para evaluar la equivalencia financiera.
0
1 000
FSA=1,05-1FSC=1,052
1 2 3
1 050 1 102,50 1 157,63
FSC=1,053
FSC=1,052
FSC=1,051
FSA=1,05-3
FSA=1,05-2
FSA=1,05-1 TEM = 5%
meses

Ecuación de equivalencia financiera a interés
compuesto
Calcule el importe de cada cuota creciente por pagar por un préstamo
bancario de 10000 um amortizable en 4 cuotas trimestrales vencidas, las
cuales se incrementarán 5% cada trimestre con relación a la cuota anterior.
El préstamo devenga una TET de 0,03.
X X(1,05)2X(1,05) X(1,05)3
0 1 2 3 4TET = 0,03
P=10 000
trim.

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