Sc capitulo5

ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL
EN TIEMPO DISCRETO
INTRODUCCIÓN
En los capítulos anteriores se desarrollaron las herramientas necesarias para el análisis y
el diseño de un sistema de control en tiempo continuo. En este capítulo se desarrollará el modelo
necesario para el análisis de un sistema de control en tiempo discreto, conocido como sistema de
datos muestreados, en razón de que las señales utilizadas se obtienen mediante el proceso de
muestreo de señales de campo en tiempo continuo. El nuevo modelo será reconocido como la
Función de Transferencia de Pulsos (FTP), cuyo nombre se debe al modelo ideal utilizado para
representar el proceso de muestreo la señal continua x(t).
Una vez definido el concepto de FTP, se aplicará a esquemas prácticos que incluyen
varios lazos de control, desarrollando un procedimiento general y sistemático para encontrar la
FTP equivalente de lazo cerrado. En este análisis comprobaremos una limitación del modelo FTP
en el sentido de que solo permite obtener la respuesta ( )y t para cada instante de muestreo
t kT= . Sin embargo, se demostrará que es posible desarrollar herramientas para evaluar la
respuesta entre intervalos de muestreo, utilizando la Transformada de Laplace (TL) y la
Transformada Z Modificada (TZM). Esta última es de gran interés para el tratamiento de
sistemas de datos muestreados con atrasos.
Utilizando la FTP de lazo cerrado se analizará el efecto del período de muestreo T en la
respuesta dinámica del sistema de control. El concepto de ecuación característica será
fundamental para evaluar una de las componentes de la respuesta dinámica: la repuesta
transitoria. La respuesta permanente, será evaluada a través del error estacionario como una
medida de la calidad del sistema de control, utilizando un modelo similar al que fue desarrollado
en el capítulo 2 para el sistema de control en tiempo continuo. Para facilitar el cálculo de los
valores característicos de la respuesta transitoria, será necesario analizar la correlación que existe
entre los puntos del plano-s y puntos del plano-z, utilizando la regla de transformación sT
z e=
que es el fundamento de la transformada Z.
Una vez analizada la respuesta dinámica, se abordaran temas relacionados con la
estabilidad del sistema de control digital, aplicando herramientas similares a las utilizadas en el
capítulo 3 para los sistemas de control en tiempo continuo y desarrollando otras que solo son
aplicables los modelos discretos. Finalmente, se tratarán aspectos relacionados con el método del
lugar de las raíces y la respuesta de frecuencia, que al igual que en los sistemas continuos o
analógicos, son herramientas básicas para el análisis y diseño de sistemas de control digital.
5

5 - 2 Capítulo 5 – ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
5.1 SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO
En esta sección se hará una revisión breve de los conceptos fundamentales, necesarios para
el análisis de un sistema de control en tiempo discreto, cuyo modelo básico es la función de
transferencia de discreta (FTD) que se obtiene [ReySoto06] evaluando la ecuación en
diferencias (EED) en el dominio-z y utilizando como herramienta la transformada Z.
Modelos clásicos de sistemas control
En los capítulos 2, 3 y 4 se utilizó el diagrama en forma canónica mostrado en la figura 5.1,
para el análisis y diseño del sistema de control en tiempo continuo, el cual se desarrolló
aplicando el concepto de función de transferencia (FT) para modelar el controlador ( )cG s y
el proceso ( )pG s .
De modo similar, utilizando la transformada Z es posible desarrollar la forma canónica
mostrada en la figura 5.2 que será utilizado para el análisis y diseño del sistema de control
en tiempo discreto, donde ( )D z es el modelo del controlador o compensador el cual será
desarrollado usando el concepto de función de transferencia discreta (FTD) [ReySoto06].
Por otro lado, ( )G z es el modelo discreto equivalente del proceso ( )pG s que será obtenido
aplicando el concepto de función de transferencia de pulsos (FTP).
En aplicaciones recientes, la función que realiza el controlador o compensador ( )D z en el
sistema de la figura 5.2, se puede lograr mediante el desarrollo e implantación de un
algoritmo de control en un microcontrolador ( )Cµ , tal como se muestra en la figura 5.3.
Sin embargo, como el Cµ solo reconoce magnitudes digitales (valores binarios) es
Figura 5.1
Diagrama en forma
canónica para el análisis
y diseño de un sistema
de control en tiempo
continuo.
Figura 5.2
Diagrama en forma
canónica para el análisis
y diseño de un sistema
de control en tiempo
discreto.
−
+( )R s ( )M s
( )cG s
( )Y s( )E s
( )pG s
( )H s
−
+( )R z ( )M z
( )D z
( )Y z( )E z
( )G z
( )H z

5.1 – SISTEMAS DE CONTROL EN TIEMPO DISCRETO 5 - 3
necesario utilizar un convertidor analógico digital (A/D) y un convertidor digital analógico
(D/A), como dispositivos de interfaz del sistema de control.
El convertidor A/D transforma la señal de error continua ( )e t en una señal que pueda ser
procesada digitalmente por el µC. Por otro lado, el convertidor D/A traduce la señal de
control digital en una señal continua ( )m t que sea capaz de modificar la planta o proceso,
para mantener la variable controlada ( )y t en un valor cercano al valor deseado ( )r t .
Algoritmo básico del controlador digital
Como una primera aproximación del problema a considerar, asumiremos que se trata de
modelar un controlador PI cuya ecuación característica en el dominio-s según ecuación
(4.9), viene dada por:
( ) ( )i
p
k
M s k E s
s
 
= + ⋅ 
 
(5.1)
La expresión equivalente de (5.1) en el dominio del tiempo es:
0
( ) ( ) ( )
t
p im t k e t k e t dt= ⋅ + ∫ (5.2)
donde ( )e t es la señal de error y ( )m t la señal de control, mostradas en la figura 5.3. Por
otro lado, pk es la ganancia de la acción proporcional y ik la ganancia de la acción
integral, cuyos valores dependen del diseño específico del controlador y son ajustados
como parte del proceso de entonación del lazo de control.
Como el microcontrolador de la figura 5.3 está programado para efectuar operaciones de
suma y multiplicación, debe ser posible simular la expresión anterior. Sin embargo su
evaluación deberá realizarse mediante aproximación numérica de la integral, tal como se
muestra en la figura 4.4, en la cual se asume el método del rectángulo del lado derecho o
de la diferencia posterior [ReySoto06].
−
+r(t) m(t)
µC Gp(s)
y(t)e(t)
Sensor o
Transmisor
A/D D/A
Controlador/Compensador Planta/Proceso
Figura 5.3
Esquema típico de un
sistema de control
digital directo.

Si ( )x t representa la integración numérica de ( )e t , haciendo t kT= en (5.2) obtenemos:
( ) ( ) ( )p im kT k kT k x kT= + (5.3)
De la figura 5.4 podemos expresar el valor actual de la integral ( )x kT , como
( ) [( 1) ] ( )x kT x k T e kT T= − + × (5.4)
siendo T el intervalo de integración. Sustituyendo (5.4) en (5.3) obtenemos:
( ) ( ) ( ) [ 1) ]p i im kT k kT e kT k x k T= + + − (5.5)
La expresión anterior constituye el algoritmo básico para desarrollar el controlador PI, que
utilizando notación comprimida, puede formularse como:
1( )k p i k i km k kT e k x −= + + (5.6)
La expresión (5.6) se reconoce como el algoritmo de control y corresponde a una ecuación
en diferencias (EED) de primer orden, cuya forma general [ReySoto07] es
1 0 1( ) ( 1) ( ) ( 1)y k a y k b x k b x k+ − = + − (5.7)
la cual establece la relación entrada-salida ( ) ( )x k y k↔ . En la expresión anterior se ha
normalizado el coeficiente de ( )y k para que sea 1; esta EED se refiere como de diferencias
hacia atrás, por cuanto hace referencia a valores anteriores de ( )y k y ( )x k . En un caso
más general, la EED hacia atrás de un sistema discreto LIT de orden - n viene dada por:
1 0
( ) ( ) ( )
n m
i j
i j
y k a y k i b x k j
= =
+ − = −∑ ∑ (5.8)
En la expresión anterior asumimos que m n≤ para garantizar la causalidad del sistema de
control. Como se demostrará en el capítulo 6 la causalidad garantiza la realización del
algoritmo de control. Una forma alterna de (5.8) se consigue formulando la ecuación en
términos de diferencias hacia delante, que se consigue cambiando k por k n+ en (5.8)
1 0
( ) ( ) ( )
n m
i j
i j
y k n a y k n i b x k n j
= =
+ + + − = + −∑ ∑ (5.9)
( )e t
t
kT
( 1)k T−
Figura 5.4
Aproximación numérica
de la integral en el
controlador PI.

Aunque algebraicamente (5.8) y (5.9) son equivalentes, en la implementación del algoritmo
de control se prefiere usar la representación de diferencias hacia atrás, para garantizar su
causalidad al hacer referencia a valores que han ocurrido anteriormente. La notación de
diferencias hacia delante es útil en el desarrollo del modelo de estado, tal como se verá en
el capítulo 7. Finalmente, para efectos de notación en sistemas de datos muestreados, si el
período de muestreo T es constante, se considera que ( ) ( )y k y kT≡ y ( ) ( )x k x kT≡ .
Estrategias de diseño del controlador digital
El propósito final del diseño del controlador digital es calcular la FT ( )D z mostrada en la
figura 5.2, para satisfacer requerimientos de diseño del sistema de control, asumiendo que
se conoce el modelo equivalente discreto G(z) del proceso. A diferencia del diseño del
controlador ( )cG s en el dominio continuo, para el diseño del controlador digital existen dos
estrategias posibles, conocidas como método directo y método indirecto.
1. Método directo: Esta estrategia utiliza el diagrama de la figura 5.2 para diseñar el
controlador ( )D z a partir del modelo discreto equivalente ( )G z del proceso, usando
métodos clásicos en el plano-z. En una primera fase es necesario determinar ( )G z a
partir del modelo continuo del proceso: ( )pG s , utilizando métodos de transformación
o de discretización [ReySoto06].
2. Método indirecto: En el diagrama de la figura 5.1, utilizando métodos clásicos en el
plano-s, es posible diseñar ( )cG s a partir del modelo continuo del proceso ( )pG s .
Una vez obtenido ( )pG s se desarrolla su equivalente discreto ( )D z usando métodos
de transformación o de discretización [ReySoto06].
El método directo se aplica generalmente cuando el controlador no existe y se debe diseñar
por primera vez. Los métodos de diseño utilizando esta estrategia se presentarán en el
capítulo 6; sin embargo, antes será necesario desarrollar el modelo equivalente discreto del
proceso ( )G z , de lo cual nos ocuparemos con detalle en este capítulo. El método indirecto
tiene aplicación práctica cuando ya existe el controlador analógico y se desea sustituirlo por
uno digital. El diseño del controlador usando esta estrategia se presentará en el capítulo 6,
donde se evaluará el efecto del convertidor D/A en la forma final del controlador ( )D z .
El problema de diseño del controlador digital
La EED presentada en (5.8) puede considerarse como el modelo elemental de un filtro
discreto LIT, que usualmente se reconoce como un filtro digital. El diseño de este filtro
implica algo más que la simple determinación de los coeficientes ia y ib de la EED, tal
como sucede en el diseño del filtro continuo. En nuestro caso, existen un conjunto de

elementos adicionales que deben ser tomados en cuenta. En este sentido podemos
establecer dos fases a considerar en el diseño del controlador digital:
Aspectos básicos del diseño:
1. Seleccionar el orden-n del sistema que corresponde al orden de la EED, el cual depende
del grado de exactitud y la complejidad del modelo a lograr.
2. Determinar los coeficientes ia y ib de la EED, que satisfagan las especificaciones de
diseño del filtro digital.
3. Seleccionar el intervalo de integración T para lograr una adecuada representación del
modelo discreto del sistema. Este valor se reconocerá más adelante como el período de
muestreo del sistema de control digital y su efecto en el comportamiento del sistema
será analizado con detalle en este capítulo.
Aspectos complementarios:
1. Seleccionar el tamaño adecuado de la palabra digital para minimizar los errores de
redondeo y truncamiento, en el proceso de almacenamiento interno del µC.
2. Controlar y eliminar el ruido digital generado durante la fase de implementación del
algoritmo de control (errores de redondeo y cuantización). Un caso especial ocurre en
la implementación de la acción derivativa del controlador PID.
5.2 SISTEMAS DE CONTROL DE DATOS MUESTREADOS
En la sección 5.1 se demostró que la función de transferencia discreta (FTD) es un modelo
adecuado para evaluar la respuesta dinámica de un sistema discreto, utilizando como
herramienta básica la transformada Z. En esta sección se desarrollará el modelo del
sistema de control de la figura 5.3, en el que intervienen señales obtenidas por muestreo de
una señal continua, reconocido como sistema de datos muestreados. Aunque en esencia
este sistema es discreto, la evaluación del efecto del muestreo de la señal de error ( )e t ,
realizado por el convertidor A/D y de la reconstrucción de la señal de control ( )m kT
realizada por el convertidor D/A, permitirá demostrar que no es posible aplicar el modelo
de FTD. Este análisis conducirá a la transformada estrella de Laplace (TEL) como modelo
del sistema de datos muestreados.
Muestreo y reconstrucción de una señal
Las aplicaciones prácticas del control digital utilizan el procesamiento digital de una señal
continua ( )x t para someterla a dos acciones fundamentales: muestreo y reconstrucción. El
muestreo es realizado por el convertidor A/D de la figura 5.3, para transformar la señal
continua ( )e t en una señal muestreada ( )e kT , que luego es sometida a un proceso de

cuantización para obtener la señal digital ( ) ( )e k e kT≡ . Esta señal digital al ser procesada
por el microcontrolador genera como respuesta otra señal digital ( ) ( )m k m kT≡ .
La salida del procesador es la señal de muestreada ( )m kT , que es reconstruida por el
convertidor D/A de la figura 5.3 para transformarla nuevamente en una señal continua
( )m t , de modo que pueda ser aplicada a los dispositivos analógicos finales. En esencia, el
sistema de control de datos muestreados se pueden identificar tres tareas fundamentales:
- muestreo de la señal de error ( )e t para obtener la señal muestreada ( )e kT
- procesamiento de la señal ( )e kT para obtener la señal ( )m kT
- reconstrucción de la señal de control ( )m t a partir de la señal muestrea ( )m kT
Para modelar el muestreo y reconstrucción de una señal continua se recurre al dispositivo
M-R (muestreador-retensor) mostrado en la figura 5.7, en la cual se ha omitido por el
momento el microcontrolador de la figura 5.3. Para simular el muestreo de la señal
continua ( )x t realizado por el convertidor A/D, se utiliza un interruptor lógico que
permanece abierto un tiempo T y cerrado un tiempo 0t . El convertidor D/A es simulado por
el retensor que procesa la señal muestreada *( ) ( )x t x kT≡ para obtener la señal
reconstruida ɵ( )x t , donde se espera que ɵ( ) ( )x t x t≈ .
La figura 5.8 presenta la salida probable del muestreador donde la señal *( )x t es ahora un
tren de pulsos de duración 0t y período T. Se logra así una representación aproximada
( ) *( )x kT x t≈ de la señal muestreada, que se puede mejorar en la medida en que 0t T<< .
Figura 5.7
Dispositivo M-R para
simular el muestreo y
reconstrucción de
una señal.
Figura 5.8
Señal muestreada
como un tren de
pulsos.
*( )x t ɵ( )x t
RETENSOR
( )x t
T
Dispositivo M-R
0t

Una primera aproximación de la característica operacional del retensor se muestra en la
figura 5.9, donde la reconstrucción se consigue manteniendo constante el último valor
muestreado mientras dure abierto el interruptor lógico de la figura 5.8. La señal
reconstruida ɵ( )x t se aproximará más a la señal ( )x t en la medida en que el período de
muestreo T sea pequeño. Sin embargo, esto afecta la aproximación de la señal muestreada
de la figura 5.8, ya que exige un valor aún más pequeño de 0t para que *( ) ( )x t x kT≈ .
Transformada estrella de Laplace
Como la señal reconstruida ɵ( )x t es continua por intervalos, es necesario recurrir al uso de
la transformada de Laplace. Para esto expresamos ɵ( )x t como
ɵ( ) (0)[ ( ) ( )] ( )[ ( ) ( 2 )]x t x u t u t T x T u t T u t T= − − + − − − +⋯ (5.10)
Llevando la ecuación (5.10) al dominio-s, obtenemos
21
( ) (0) ( ) (2 )
sT
sT sTe
X s x x T e x T e
s
−
− −−
 = + + + ⋯
Expresando el término entre corchetes como una sumatoria, la salida del retensor es
0
1
( ) ( )
sT
ksT
k
e
X s x kT e
s
− ∞
−
=
−
= ∑ (5.11)
Como la sumatoria solo depende de los valores de *( ) ( )x t x kT= y al evaluarla resulta un
función en el dominio-s, puede expresarse como
0
*( ) ( ) ksT
k
X s x kT e
∞
−
=
∑≜ (5.12)
Esta expresión se define como la transformada estrella de Laplace (TEL) de la señal
muestreada *( ) ( )x t x nT= . Sustituyendo (5.12) en (5.11), obtenemos
1
( ) *( )
sT
e
X s X s
s
−
−
= (5.13)
Figura 5.9
Señal muestreada
como un tren de
pulsos.

Asociando (5.13) con la figura 5.8, la función de transferencia del retensor es
0
1
( )
sT
e
G s
s
−
−
= (5.14)
conocido como retensor de orden-0 (ZOH). Las expresiones anteriores son suficientes para
lograr un primer modelo del dispositivo M-R en el dominio-s, mostrado en la figura 5.10.
Para desarrollar el modelo del muestreador asumimos que la señal ( )x t es sometida a un
proceso de modulación por impulsos, como se muestra en la figura 5.11. Este modelo es
solo una aproximación ideal del modelo original considerado en la figura 5.9, ya que ahora
la señal muestreada se representa por un tren de impulsos, en lugar de un tren de pulsos. Sin
embargo, a continuación se demostrará que este modelo ideal del muestreador es suficiente
para lograr el modelo del dispositivo M-R.
A partir de este modelo ideal del muestreador, podemos expresar *( )x t como
[ ]
0
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 )T
k
x t x t t x t t kT x t t t T t T
∞
=
= ⋅δ = ⋅ δ − = ⋅ δ + δ − + δ − +∑ ⋯ (5.15)
Aplicando la propiedad de muestreo de la señal impulso [Strum00] o [ReySoto07]
*( ) (0) ( ) ( ) ( ) (2 ) ( 2 )x t x t x T t T x T t T= δ + δ − + δ − +⋯
Llevando la expresión anterior al dominio-s, obtenemos
2
0
*( ) (0) ( ) (2 ) ( )sT sT ksT
k
X s x x T e x T e x kT e
∞
− − −
=
= + + + = ∑⋯ (5.16)
*( )X s ( )X s1 sT
e
s
−
−( )X s
T
Figura 5.10
Modelo del
dispositivo M-R.
( )x t *( )x t
( )T tδ
X
Figura 5.11
Modelo ideal del
muestreador.

Se logra así la misma expresión (5.12) como señal de salida del muestreador y como
entrada del retensor. Luego, el modelo ideal del muestreador como un tren de impulsos, es
compatible con el modelo aproximado del retensor propuesto en la figura 5.9.
Resumiendo, el modelo de la figura 5.10 representa con propiedad las operaciones de
muestreo y reconstrucción del sistema de datos muestreados, donde *( ) *( )X s x t↔ se
define como la transformada estrella de Laplace. Si *( )x t tiene discontinuidades en
t kT= se deberá tomar el valor *( )x t+
en la evaluación de *( )X s .
Métodos para evaluar la TEL
Aunque es posible aplicar la definición (5.12) para evaluar la transformada estrella de
Laplace (TEL) de una señal muestreada, existen formas más prácticas basadas en
- método de equivalencia con la transformada Z
- método de residuos modificado
El método de equivalencia se basa comparar la definición de la TEL dada en (5.12) con la
definición (C.3) de la transformada Z. En efecto, se observa que existe la relación
*( ) ( ) sT
z e
X s X z =
= (5.17)
donde la expresión sT
z e= se reconoce como la regla de transformación en el sentido de
que permite establecer la relación *( ) ( )X s X z↔ entre la señal muestreada *( )x t en el
dominio-s y su equivalente en el dominio-z.
Como ( )X z se logra por transformación de *( )X s , se reconocerá en adelante como el
modelo equivalente en el dominio-z de *( )x t . Esto permite formular la relación
*( ) ( )x t X z↔ para una señal muestreada y establecer una diferencia conceptual con la
relación ( ) ( )x k X z↔ , donde ( )X z es simplemente la TZ de la señal discreta ( )x k .
Ejemplo 5.1: Evaluar la TEL de señal 2
( ) 5 t
x t e−
= , asumiendo 0.5T s= .
Solución: Muestreando la señal ( )x t , obtenemos 2
( ) 5 nT
x nT e−
= . Aplicando la tabla C.1
2 0.5 1
5 5
( )
1 0.3679
z
X z
z e z− × −
= =
− −
Aplicando la transformación sT
z e= para 0.5T s= , obtenemos
TEL de una
señal continua
arbitraria.

0.5
1
*( )
1 0.3679 s
X s
e−
=
−
El resultado del ejemplo 5.2 muestra que la TEL de una señal muestreada es una fracción
no racional, que puede presentar dificultades en su manipulación algebraica.
El método de residuos modificado [Kuo92] permite obtener directamente el modelo
equivalente discreto ( )X z de la señal muestreada *( )x t a partir del modelo ( )X s de la
señal continua ( )x t . En este método ( )X z se expresa como la suma de los residuos
evaluados a partir de lo polos de ( )X s , como:
1 ( )
( ) ( )
n
sT
i polos X s
z
X z X s
z e=
=
−
∑Residuos (5.18)
Según la forma de estos polos pueden ocurrir 2 casos:
Caso 1: Polos simples, reales o complejos
( ) ( ) ( )
i
i i sT
s s
z
R z s s X s
z e =
= −
−
(5.19)
Caso 2: Polos múltiples, reales o complejos
1
1
1
( ) ( ) ( )
( 1)!
i
m
m
i im sT
s s
d z
R z s s X s
m ds z e
−
−
=
 
= − − − 
(5.20)
Ejemplo 5.2: Obtener la TZ equivalente de una señal muestreada *( )y t con 0.1T s= , si
1
( )
( 1)( 2)
Y s
s s
=
+ +
Solución: Aplicando (5.19) para los 2 polos simples, obtenemos
1
1
0.1
1
( )
( 2) 0.9048sT
s
T
z z
R z
s z e z=−
=
= =
+ − −
2
2
0.2
1
( )
( 1) 0.8187sT
s
T
z z
R z
s z e z=−
=
−
= =
+ − −
Sumando estos residuos obtenemos finalmente,
Método de
residuos
modificado con
polos simples.

0.0861
( )
0.9048 0.8187 ( 0.9048)( 0.8197)
z z z
Y z
z z z z
= − =
− − − −
Ejemplo 5.3: Obtener el modelo equivalente discreto de una señal muestreada *( )x t , para
0.1T s= , asumiendo que la TL de ( )x t viene dada por
2
1
( )
( 1)
X s
s s
=
+
Solución: Existen 2 polos, uno simple en 1 1p = − y otro en 2 0p = con multiplicidad
2m = , que generan 2 residuos: 1( )R z y 2( )R z . Aplicando (5.19) para el polo
real simple obtenemos
1 2
1
0.1
1
( )
0.9048sT
s
T
z z
R z
s z e z=−
=
= =
− −
Para el polo múltiple aplicamos (5.20)
2 2 2
0
0.1
1 0.1 ( 1.1)
( )
1 1 ( 1) ( 1)sT
s
T
d z z z z z
R z
ds s z e z z z=
=
− − 
= = + = − + − − − − 
Sumando los 2 residuos
2
0.0048374 ( 0.9672)
( )
( 1) ( 0.9048)
z z
X z
z z
+
=
− −
De este modo se puede decir que existen dos modelos para el análisis de una señal
muestreada *( )x t : la TEL *( )X s en el dominio-s y la TZE ( )X z en el dominio-z. Para
facilitar el cálculo de ( )X z , se desarrolló la función especial residuosm() en MATLAB
®
,
cuya descripción se presenta en el apéndice B. Su sintaxis es:
Xz = residuosm(Xs,T)
Introduciendo el nombre de esta función se consigue ayuda y un ejemplo demostrativo.
Aplicando al ejemplo 5.4:
» Xs=zpk([],[0 0 -1],1); T=0.1, Xz=residuosm(Xs,T)
Zero/pole/gain:
0.0048374 z (z+0.9672)
----------------------
(z-0.9048) (z-1)^2
Método de
residuos
modificado con
polos múltiples

Sampling time: 0.1
Aplicabilidad y limitaciones del modelo de la TEL y la TZE
El modelo *( )X s y su equivalente ( )X z son suficientes para modelar la relación entre la
señal continua ( )e t y la señal reconstruida ( )e tɵ , formulada a través del dispositivo M-R.
Sin embargo, presentan las siguientes limitaciones:
1. Los dos componentes del dispositivo M-R mostrados en la figura 5.10 no modelan
ningún elemento físico. Simplemente permiten formular con un cierto grado de
aproximación la relación entre la señal continua ( )X s y la señal reconstruida ( )X s .
2. Aunque la señal *( )X s permite interconectar los modelos del muestreador ideal y del
retensor, tiene el inconveniente de que su expresión en el dominio-s no es una
fracción racional y por lo tanto su manipulación algebraica es compleja.
3. Este problema se supera si en lugar del modelo *( )X s se utiliza su modelo
equivalente ( )X z , que sí es una fracción racional.
4. Sin embargo el modelo equivalente ( )X z solo permite obtener valores de la señal
reconstruida ɵ( )x t en los instantes de muestreo, es decir ɵ( )x kT .
Para obtener valores entre intervalos de muestreo se puede utilizar el método de la
transformada de Laplace que será presentado en la sección 5.4. Existen otros métodos para
evaluar la respuesta entre intervalos de muestreo [ReySoto06] como la transformada Z
modificada y el modelo de estado, que están fuera del alcance de este libro.
Espectro de frecuencia de la señal muestreada
Aplicando la propiedad de convolución de la transformada de Fourier a la señal
*( ) ( ) ( )Tx t x t t= ⋅δ de la figura 5.11, se puede demostrar [ReySoto07] que su espectro es
1
*( ) ( )m
k
X j X j jk
T
∞
=−∞
ω = ω− ω∑ (5.21)
donde 2 /m Tω = π es la frecuencia de muestreo en [rad/s]. Interpretando (5.21) se
desarrolló la figura 5.12, la cual permite reconocer que el muestreo de una señal continua
( )x t de banda limitada con espectro aperiódico ( )X jω , genera la señal ( )x kT con
espectro periódico con período 2 /m Tω = π , siendo mω la frecuencia de muestreo en rad/s
y T el período de muestreo en segundos.
Figura 5.12
Espectro de
frecuencia de
una señal
muestreada.
ω
( )X ω
B−ω Bω
A
mωm−ω
ω
*
( )X ω
B−ω Bω
A/T
½ mω½ m− ω
T

De acuerdo con la figura 5.12, la reconstrucción de una señal muestreada en el dominio-ω
se reduce a un proceso de filtrado para eliminar los componentes armónicos por encima de
la frecuencia ½ mω . En efecto utilizando el filtro pasa-bajo ideal mostrado en la figura 5.12,
con amplitud T y ancho de banda ½ mω debería ser posible recuperar el espectro ( )X jω de
la señal continua, a partir del espectro *( )X jω de la señal muestreada.
Sin embargo, para lograr la recuperación de la señal muestreada el ancho de banda Bω de
la señal a muestrear debe ser inferior al ancho de banda ½ mω del filtro ideal. Esta
condición se reconoce como el teorema de muestreo, que se formula así:
Definición 5.1: Teorema de muestreo
Una señal continua ( )x t de banda limitada con ancho de banda Bω , puede
ser reconstruida a partir de su versión muestreada *( ) ( )x t x nT= , si la
frecuencia de muestreo mω es superior al doble de Bω , es decir:
2m Bω > ω (5.22)
Definición 5.2: Frecuencia de Nyquist
La frecuencia de Nyquist se define como
½N mω ω≜ (5.23)
y representa el ancho de banda del filtro ideal de la figura 5.12. En relación
con el teorema de muestreo, es la máxima frecuencia que puede estar
contenida en una señal muestreada *( )x t de ancho de banda Bω , para
poder recuperar la señal continua ( )x t . Luego, B Nω < ω .
Si B Nω > ω , se presenta solapamiento entre los espectros de los armónicos, tal como se
muestra en la figura 5.13, siendo imposible recuperar la señal muestreada. Esta situación se
reconoce como el efecto de aliasing de la señal reconstruida en el dominio del tiempo.
De las figuras 5.12 y 5.13 se puede concluir que para reconstruir la señal ɵ( )x t a partir de la
señal muestreada *( ) ( )x t x nT= , el retensor de la figura 5.12 debe ser un filtro pasa-bajo,
con ancho de banda N Bω > ω , siendo Bω es el ancho de banda de la señal continua ( )x t .
ω
*
( )X ω
A/T
½ mω½ m− ω
Figura 5.13
Efecto de
solapamiento en el
espectro de una señal
muestreada.

En aplicaciones prácticas se recomienda la selección de la frecuencia de muestreo como
(10 20)m Baω ≈ ×ω (5.24)
La magnitud de la frecuencia mω puede estar limitada por los componentes del sistema de
control, particularmente por el efecto de calentamiento de los convertidores A/D y D/A
mostrados en la figura 5.3. En estos casos se puede recurrir a un filtro antialiasing o filtro
guardián con el objeto de reducir el ancho de banda de la señal continua ( )x t , antes de
someterla al proceso de muestreo.
Respuesta de frecuencia del retensor
Evaluando (5.14) para s j= ω es posible comprobar que el retensor de orden-0 (ZOH) es
un filtro pasa-bajo con amplitud T y ancho de banda ½N mω = ω . Evaluando
/2
0
1 ( /2)
( )
/2
j T
j Te sen T
G j T e
j T
− ω
− ω− ω
ω = =
ω ω
Sustituyendo /2 / mTω = πω ω , obtenemos para la respuesta de magnitud
0
( / )
| ( )|
/
m
m
sen
G j T
πω ω
ω =
πω ω
(5.25)
y para la respuesta de fase
0
0, ( / ) 0
( ) ,
, ( / ) 0
m
mm
sen
H j
sen
πω ω >πω
∠ ω = − + ϕ ϕ = 
π πω ω <ω 
(5.26)
A partir de (5.25) y (5.26), para T=0.1s, se obtuvo la RDF mostrada en la figura 5.29.
Figura 5.15
Respuesta de
frecuencia del
retensor ZOH.

Para efecto de comparación, la figura 5.15 incluye la característica del filtro ideal de la
figura 5.12. A continuación se presenta un análisis de las características más importantes
que se derivan de esta respuesta de frecuencia:
1. La respuesta de magnitud del ZOH corresponde a un filtro pasa-bajo real con ancho
de banda 10Nω = π y amplitud 0.1A = , característica requerida para que el retensor
pueda recuperar la señal muestreada.
2. La fase negativa del ZOH reduce la estabilidad del sistema.
3. Disminuyendo el período de muestreo T se puede reducir el efecto desestabilizador.
La selección de mω usando el criterio formulado en (5.24) favorece esta condición.
4. Desde el punto de vista práctico la mayor parte de los convertidores D/A se
comportan como un ZOH.
Correspondencia entre el plano-s y el plano-z
En los párrafos anteriores se demostró que una señal continua ( )x t con espectro de
frecuencia aperiódico, al ser muestreada se produce una señal ( )x nT cuyo espectro es
periódico, con período 2 /m Tω = π , siendo mω la frecuencia de muestreo en rad/s. En este
párrafo se analizará el efecto de la periodicidad de *( )X s , desde el punto de vista de la
correlación entre los puntos del plano-s y el plano-z.
Si partimos de la regla de transformación sT
z e= que se aplicó en (5.17) para pasar del
plano-s al plano-z y considerando en principio los puntos sobre el eje imaginario, s j= ω
( )
0
1Ts j T j T j
z e e e eσ+ ω ω Ω
σ=
= = = = = ∠Ω (5.27)
Luego los puntos sobre el eje-jω se transformarían en puntos sobre el círculo unitario, tal
como se muestra en la figura 5.16.
c
b
a
x
jy
π/T
− π/T
3π/T
− 3π/T
σ
jω
Transformación
varios-a-uno
Tsz ε=
Figura 5.16
Correspondencia
entre el plano-s y
el plano-z.

Sin embrago, evaluando la ecuación (5.27) para TΩ = ω en el intervalo [0, ]π , obtenemos
=0: 1 0º 0,
: 1 90º /2 /2 /4
: 1 180º / /2
m
m
punto a z
punto b z T
punto c z T
= ∠ Ω = ω
= ∠ Ω = π ω = π = ω
= ∠ Ω = π ω = π = ω
(5.28)
Por lo tanto, los puntos de *( )X s en el intervalo [0, / ]Tπ se transforman sobre la parte
superior del círculo unitario. Los puntos para /2m Nω > ω = ω se solapan sobre el círculo
unitario, debido a la periodicidad de j
e Ω
, tal como se muestra en la figura 5.16.
Propiedades de la transformada estrella de Laplace
El resultado anterior permite identificar un conjunto de propiedades de la TEL, asociadas
con la periodicidad del espectro de la señal muestreada. Sustituyendo j sω = en (5.21)
obtenemos una expresión equivalente de *( )X jω en el dominio-s
1
*( ) ( )m
k
X s X s j k
T
∞
=−∞
= + ω∑ (5.29)
La ecuación (5.29) permite reconocer dos propiedades de *( )X s :
P1. *( )X s es periódica con período mjω , es decir *( ) *( )mX s X s jk= ± ω
Esta propiedad se puede demostrar usando la definición (5.12) de la TEL
( )
0
*( ) ( ) mnT s j k
m
n
X s j k x nT e
∞
− ± ω
=
± ω = ∑ (5.30)
Evaluando la expresión anterior para 2 /m Tω = π
( ) 2
1 2mnT s j k nTs j kn nTs nTs
e e e e kn e− ± ω − π − −
= ⋅ = ⋅ ∠ π =∓
∓
Sustituyendo esta expresión en (5.30) obtenemos
0
*( ) ( ) *( )nTs
m
n
X s j k e nT e X s
∞
−
=
± ω = =∑
De acuerdo con este resultado, *( )X s es periódica en el plano-s, con período ωm.
P2. Si ( )X s tiene un polo en oss = , *( )X s tendrá polos en o ms s jk= ± ω , 0, 1, 2,k = …
Esta propiedad puede demostrarse desarrollando (5.29)
1
*( ) [ ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ]m m mX s X s j X s X s j X s j
T
= + − ω + + + ω + + ω +⋯ ⋯ (5.31)
Si ( )X s tiene un polo en 1s p= , cada término de *( )X s en (5.31) contribuirá con un
polo en 1 ms p j k= ± ω , para 0,1,2,k = ∞… .

5.3 MODELO DEL SISTEMA DE DATOS MUESTREADOS
En la sección anterior se demostró que utilizando el dispositivo M-R es suficiente para
analizar las características que se derivan del muestreo y reconstrucción de una señal. En esta
sección se utilizará este dispositivo para desarrollar un modelo para la representación del
sistema de datos muestreados en el dominio-z, a través del cual es posible evaluar su
comportamiento dinámico en lazo abierto y en lazo cerrado, ante una entrada arbitraria.
Función de transferencia de pulsos
Consideremos el sistema de la figura 5.17, en la cual se muestra el dispositivo M-R, en
cascada con el modelo continuo del proceso ( )pG s de un sistema de control de datos
muestreados, donde ( )E s es la señal de error.
Considerando el bloque ZOH y ( )pG s como ( )G s , la salida ( )Y s puede expresarse como
( ) ( ) *( )Y s G s E s= ⋅ (5.32)
Esta expresión es especial porque es el producto de una función aperiódica ( )G s y una
función periódica *( )E s . Tomando la transformada estrella de Laplace (TEL) de los dos
miembros y aplicando la integral de convolución (5.29)
* * * *1
( ) { ( ) ( )} ( ) ( )m m
n
Y s G s E s G s jn E s jn
T
∞
=−∞
 = ⋅ = + ω ⋅ + ω ∑
Aplicando la propiedad P1 de periodicidad de la TEL, *( ) *( )mE s jn E s+ ω = y como
*( )E s no depende de la sumatoria, obtenemos
1
*( ) *( ) ( ) *( ) *( )m
n
Y s E s G s jn E s G s
T
∞
=−∞
= ⋅ + ω = ⋅∑ (5.33)
Comparando (5.32) con (5.33) se observa que si en un producto de dos funciones uno de
los factores está estrellado, es posible llevar toda la expresión al dominio-s*. De este modo
la función *( )G s permite establecer la relación entre la entrada-salida *( ) *( )E s Y s→ del
bloque punteado de la figura 5.17. A partir de (5.33) definimos
*
*
*
( )
( )
( )
Y s
G s
E s
≜ (5.34)
*( )E s ( )E s
ZOH
( )E s
T
( )pG s
( )Y s
( )G s
Figura 5.17
Sistema de control
de datos
muestreados.

5.4 – MODELO DE SISTEMAS DE CONTROL DISCRETOS 5 - 19
como la función de transferencia de pulsos (FTP) del sistema mostrado la Figura 10.14.
Definición 5.3: Función de Transferencia de Pulsos
La función de transferencia de pulsos (FTP) es la relación entre la TEL de
la salida y la TEL de entrada, de un sistema cuya entrada es muestreada.
Usando la transformación (5.17) puede expresarse en el dominio-z, como
( )
( )
( )
Y z
G z
E z
≜ (5.35)
que se reconoce como el modelo discreto equivalente de *( )G s .
El nombre dado a *( )G s es para hacer referencia a que el modelo la señal de entrada
*( )E s se logra mediante la modulación por pulsos. Usando (5.34) y (5.35) se llega al
modelo equivalente del sistema de datos muestreados mostrado en la figura 5.18.
El muestreador ficticio mostrado en la salida del bloque ( )G s se usa para reconocer que el
modelo FTP permite obtener solo los valores de *( ) ( )y t y nT= . La expresión equivalente
de la salida en el dominio-z, de acuerdo con (5.35) es ( ) ( ) ( )Y z G z E z= , donde
{ } y *
( ) ( ) ( ) ( ) sT
z e
G z G s E z E s =
= =Z (5.36)
Considerando que G(s) en (5.36) incluye la FT del ZOH, usando (5.14) podemos escribir
1
( ) { ( )} ( )
sT
p
e
G z G s G s
s
−
 −
= = ⋅ 
 
Z Z
Interpretando el término sT
e-
como el atraso de una muestra en el dominio-z, obtenemos
1
( )
( ) (1 )
pG s
G z z
s
−  
= − ⋅  
 
Z (5.37)
Según la figura 5.18, la aplicación de (5.37) establece una condición implícita, en el sentido
de que la señal de entrada al bloque G(s) debe estar muestreada para que existe la FTP. La
expresión }{Z puede evaluarse utilizando uno de los siguientes métodos:
1. Método de residuos modificado.
2. Función especial residuosm de MATLAB
®
.
( )G z
( )Y z( )E z( )Y s
( )G s
*
( )E s( )E s
T
*
( )Y s
T
Figura 5.18
Modelo discreto
equivalente del
sistema de datos
muestreados.

Ejemplo 5.4: Obtener modelo discreto equivalente del sistema mostrado en la figura 5.16,
asumiendo 0.1T s= y que el proceso está modelado por
1
1
)(
+
=
s
sGp
Solución: Aplicando (5.37)
)()1(
)1(
1
)1()( 1
11
zGz
ss
zzG ⋅−=






+
⋅−= −−
Z
Para evaluar 1( )G z utilizamos (5.19) del método de residuos modificado
1 2
0 1
0.1 0.11
1 1
( ) ( )
1 1 0.9048sT sT
s s
T T
z z z z
R z R z
s z e z s z e z= =−
= =
−
= ⋅ = = ⋅ =
+ − − − −
Sumando los dos residuos y sustituyendo en la expresión de ( )G z
1 0.095163 0.095163
( ) (1 )
( 1)( 0.9048) 0.9048
z
G z z
z z z
−
= − ⋅ =
− − −
Utilizando la función especial residuosm() obtenemos
» G1s=zpk([],[0 -1],1); T=0.1, G1z=residuosm(G1s,T)
Zero/pole/gain:
0.095163 z
----------------
(z-1) (z-0.9048)
Sampling time: 0.1
» Gz=minreal(tf([1 -1],[1 0],T)*G1z)
Zero/pole/gain:
0.63212
----------
(z-0.3679)
Sampling time: 0.1
El Toolbox de Control (TBC) de MATLAB
®
incluye la función c2d() para calcular
directamente ( )G z a partir de (5.37). Aplicando al ejemplo 5.5:
» Gz=c2d(Gps,T)
Zero/pole/gain:
0.095163
----------
(z-0.9048)
Sampling time: 0.1
Modelo
equivalente
discreto de un
sistema de datos
muestreados.

Ejemplo 5.5: Evaluar y comparar la respuesta escalón del modelo continuo del proceso
( )pG s y su equivalente discreto ( )G z del ejemplo anterior, donde:
1
( ) , 0.5
1
pG s ZOH con T s
s
= =
+
Solución: Utilizando la función c2d(), el modelo discreto del proceso es:
» Gps=zpk([],-1,1); T=0.5, Gz=c2d(Gps,T)
Zero/pole/gain:
0.39347
----------
(z-0.6065)
Sampling time: 0.5
La respuesta escalón del modelo continuo es
)1(
11
1
1
)()()(
+
=⋅
+
=⋅=
ssss
sUsGsY p
Usando la T6 de la tabla B.1
( ) 1 , 0t
y t e t−
= − ≥
La respuesta escalón del modelo equivalente discreto, usado FPI es
0.3947
( ) ( ) ( )
0.6065 1 1 0.6065
z z z
Y z G z U z
z z z z
= ⋅ = ⋅ = −
− − − −
El resultado anterior puede verificarse usando residuez() del TBS
Rz=tf([1 0],[1 -1],T); Yz=Gz*Rz
[nYz,dYz]=tfdata(Yz,'v'), [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)
R = 1.0000 p = 1.0000 C =
-1.0000 0.6065 0
Aplicando T2 y T5 de la tabla C.1, considerando que 0.1T = y 1a =
( ) 1 , 0kT
y kT e kT−
= − ≥
La figura 5.19 muestra la respuesta escalón de los dos modelos.
Respuesta
escalón del
proceso y su
equivalente
discreto.
Figura 5.19
Respuesta escalón
de un sistema de
datos muestreados
con un ZOH.

La figura 5.19 muestra que el modelo discreto equivalente ( )G z preserva la forma de la
respuesta escalón y la ganancia DC del modelo continuo ( )pG s . El resultado de la ganancia
DC puede comprobase evaluando las siguientes expresiones:
10
( ) ( )DC p DC zs
K G s K G z ==
= = (5.38)
5.4 FUNCION DE TRANSFERENCIA DE PULSOS DE LAZO CERRADO
En esta sección se utilizará la Función de Transferencia de Pulsos (FTP) para desarrollar el
modelo equivalente ( )T z de un sistema de control de datos muestreados de lazo cerrado, que
incluye varios muestreadores. Se aplicará además el concepto de Función de Transferencia
Discreta (FTD) para desarrollar el modelo discreto ( )D z del controlador digital.
Función de transferencia de pulsos en sistemas de lazo abierto
El concepto de FTP desarrollado en la sección anterior permite reconocer que el dispositivo
M-R establece dos características fundamentales en el desarrollo del modelo del sistema de
datos muestreados. En este sentido se puede demostrar [ReySoto06] que:
1. La presencia del muestreador permite aplicar el concepto de FTP para desarrollar el
modelo equivalente discreto ( )G z del proceso.
2. La presencia del ZOH garantiza que se preserve la respuesta escalón y la ganancia
DC del modelo continuo.
Aplicando los criterios anteriores debe ser posible obtener el modelo equivalente de los 3
casos típicos mostrados en la figura 5.20, que se diferencian por la inclusión o no del
muestreador a la entrada de un bloque.
Caso 1:
Caso 2:
Caso 3:
*( )Y s
*( )E s
T
E(s)
G1(s)
*( )M s
T
M(s) Y(s)
G2(s)
*( )E s
T
E(s)
G1(s)
M(s)
G2(s)
Y(s)
*( )Y s
*
( )Y s
E(s)
G1(s)
*( )M s
T
M(s)
G2(s)
Y(s)
Figura 5.20
Sistemas de datos
muestreados de
lazo abierto.

Caso 1: Existen dos bloques 1( )G s y 2( )G s conectados en cascada, cada uno con su señal
de entrada muestreada. Como cada bloque tiene muestreada su entrada, es posible
aplicar (5.37) para obtener { }1 1( ) ( )G z G s=Z y { }2 2( ) ( )G z G s=Z , que quedan
conectados en cascada. La FTP equivalente para la relación ( ) ( )E z Y z→ es
2 1( ) ( ) ( )eG z G z G z= ⋅ (5.39)
Caso 2: Se trata de dos bloques en cascada, donde solo está muestreada la entrada del
primero. Por lo tanto no es posible aplicar el concepto de FTP al segundo bloque.
Sin embargo, agrupando 1( )G s y 2( )G s es posible evaluar
2 1 2 1( ) ( ) { ( ) ( )}eG z G G z G s G s= = ⋅Z (5.40)
como la FTP equivalente para la relación ( ) ( )E z Y z→ .
Caso 3: Es un sistema donde la entrada del sistema no está estrellada. Aunque se podría
obtener { }2 2( ) ( )G z G s=Z , quedaría conectado en cascada con el modelo continuo
1( )G s , que no permite obtener una expresión equivalente de FPT para la relación
( ) ( )E z Y z→ .
Ejemplo 5.6: Obtener la FTP equivalente de los casos 1 y 2 mostrados en la figura 5.20,
asumiendo que los bloques que tienen su entrada muestreada incluyen un ZOH
con 0.5T = s y que la FT de cada uno es:
2
5
)(,
1
1
)( 21
+
=
+
=
s
sG
s
sG
Solución: En el caso 1, como cada bloque está precedido por un ZOH, podemos calcular
su modelo discreto a partir de (5.37) como
6065.0
3935.0
)1(
1
)1()( 1
1
−
=






+
⋅−= −
zss
zzG Z
3679.0
5803.1
)2(
5
)1()( 1
2
−
=






+
⋅−= −
zss
zzG Z
El resultado anterior puede verificarse usando c2d() del TBC
» G1s=zpk([],-1,1); G2s=zpk([],-2,5)
» T=0.5; G1z=c2d(G1s,T), G2z=c2d(G2s,T)
Zero/pole/gain: Zero/pole/gain:
0.39347 1.5803
---------- ----------
(z-0.6065) (z-0.3679)
Sampling time: 0.5 Sampling time: 0.5
FTP
equivalente
en sistemas
en lazo
abierto.

Aplicando (5.39) obtenemos:
)3679.0)(6065.0(
6218.0
3679.0
5803.1
6065.0
3935.0
)(
−−
=
−
×
−
=
zzzz
zGe
que puede verificarse como
Gez=minreal(G1z*G2z)
Zero/pole/gain:
0.6218
---------------------
(z-0.6065) (z-0.3679)
Sampling time: 0.5
En el caso 2, como la entrada ( )E s del sistema está estrellada, debe ser posible
obtener la FTP equivalente. Además como 1( )G s incluye el ZOH, aplicando
(5.40), obtenemos






+
×
+
×−= −
2
5
)1(
1
)1()( 1
sss
zzGe Z
Aplicando el método de residuos modificado a los 3 polos reales y simples
1
0
0.5
5
( ) 2.5
( 1)( 2) 1sT
s
T
z z
R z
s s z z=
=
= × =
+ + − ε −
6065.0
5
)2(
5
)(
5.0
1
2
−
−=
ε−
×
+
=
=
−= z
z
z
z
ss
zR
T
s
sT
3679.0
5.2
)1(
5
)(
5.0
2
3
−
=
ε−
×
+
=
=
−= z
z
z
z
ss
zR
T
s
sT
Sumando los 3 residuos y sustituyendo en la expresión anterior de ( )eG z
)3679.0)(6065.0(
6065.0(3871.0
)3679.0)(6065.0)(1(
)6065.0(3871.0
)1()( 1
−−
+
=
−−−
+
×−= −
zz
z
zzz
zz
zzGe
Este resultado puede verificarse usando c2d() del TBC
» Ge2z=c2d(G1s*G2s,T)
Zero/pole/gain:
0.38705 (z+0.6065)
---------------------
(z-0.3679) (z-0.6065)
Sampling time: 0.5

Sistemas de control de lazo abierto incluyendo el controlador digital
El análisis hecho hasta el momento se ha dedicado a evaluar el efecto del dispositivo
muestreador-retensor (M-R) en la respuesta de un sistema de datos muestreados, sin incluir
el controlador. La figura 5.21 muestra un sistema de lazo abierto donde se incluye el
controlado digital, conocido como sistema de control digital directo.
El diagrama anterior representa la rama directa del diagrama de la figura 5.3, donde el
controlador digital es implementado en el µC mediante un algoritmo de control. Como se
demostró en la ecuación (5.6) el algoritmo de control es básicamente una EED que
establece la relación entrada-salida entre dos señales discretas: *( ) *( )e t m t→ o
( ) ( )e k m k→ . Por lo tanto llevando al dominio-z esta relación se obtiene ( ) ( )E z M z→ , a
partir de la cual es posible calcular la función de transferencia discreta (FTD):
( ) ( )/ ( )D z M z E z= , como modelo equivalente del controlador digital.
La salida del sistema de la figura 5.19, considerando que el convertidor A/D es un ZOH es
1
( ) ( ) ( ) ( ) *( ) ( ) *( )
sT
p p
e
Y s G s M s G s M s G s M s
s
−
−
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ (5.41)
donde *( )M s es la salida del controlador. Asumiendo que ( )D z representa su FTD
)()()( zEzDzM ⋅=
Usando la transformación sT
z e= podemos expresar en el dominio-s*, como
*( ) *( ) *( )M s D s E s= ⋅ (5.42)
Sustituyendo (5.42) en (5.41)
( ) ( ) *( ) *( )Y s G s D s E s= ⋅ ⋅
Como existe un solo factor no estrellado, podemos llevar al dominio-s*
*( ) *( ) *( ) *( )Y s G s D s E s= ⋅ ⋅
que finalmente puede representarse en el dominio-z como
( ) ( ) ( ) ( )Y z G z D z E z= ⋅ ⋅ (5.43)
donde ( )G z es el modelo equivalente discreto del proceso, calculado usando (5.37). Con
base en este resultado, la figura 5.22 muestra el modelo equivalente del sistema de control
directo en lazo abierto.
Figura 5.21
Sistema de control
digital directo de
lazo abierto.
M*(s)
e(t)
A/D
y(t)
CONTROLADOR
DIGITAL
e*(t)
D/A
m*(t)
E(s) E*(s) Y(s))(sM
)(tm
GP(s)

En el desarrollo de este modelo, conviene reconocer que
( )G z : Modelo discreto equivalente del proceso
Se calcula a partir de (5.37) con base en el concepto de FTP.
( )D z : Modelo discreto equivalente del controlador digital
Se calcula como una FTD, a partir del algoritmo de control (EED).
La interpretación de este modelo en el dominio-s se muestra en la figura 5.23, donde ( )G s
representa la combinación del ZOH con la función continua del proceso. Por la naturaleza
misma de las señales mixtas (continuas y discretas) que se manejan en este diagrama, se
refiere generalmente como un modelo seudo-continuo del sistema de control de datos
muestreados en lazo abierto.
La única limitación del modelo discreto de la figura 5.22 está en que no es posible llegar a
una expresión de la señal reconstruida ( )m t que se muestra en la figura 5.23. Se puede
demostrar [ReySoto06] que usando el modelo de estado es posible obtener esta señal ( )m t .
Ejemplo 5.7: Obtener la respuesta escalón del sistema de control digital mostrado en la
figura 5.21, asumiendo
1
( ) , 0.5
1
pG s ZOH con T s
s
= =
+
Asumir que el algoritmo del controlador está dado por la siguiente EED
( ) ( ) 0.5 ( 1)m k e k e k= − −
Solución: Aplicando el concepto de FTP el modelo equivalente discreto de ( )pG s es
E(z)
D(z)
M(z)
G(z)
Y(z)Figura 5.22
Modelo equivalente del
sistema de control digital
directo de lazo abierto.
e*(t)
T
e(t)
D*(s)
m*(t)
GP(s)
s
e sT−−1
m(t)
G(s)
y(t)
y*(t)
Figura 5.23
Modelo seudo-
continuo del sistema
de control digital
directo de lazo abierto.
FTP
equivalente en
sistemas en
lazo abierto.

1
2
1 0.3935
( ) (1 )
( 1) 0.6065
G z z
s s z
−  
= − ⋅ = 
+ − 
Z
Este resultado puede verificarse usando c2d() del TBC
» Gps=zpk([],-1,1); T=0.5; Gz=c2d(Gps,T)
Zero/pole/gain:
0.39347
----------
(z-0.6065)
Sampling time: 0.5
Llevando la EED del controlador al dominio-z obtenemos
1
( ) ( ) 0.5 ( )M z E z z E z−
= −
Luego, la FTD del controlador es
1( ) 0.5
( ) 1 0.5
( )
M z z
D z z
E z z
− −
= = − =
Combinando ( )G z y ( )D z en el modelo de la figura 5.22 y para entrada escalón
0.3935 0.5 0.3935( 0.5)
( )
0.6065 1 ( 1)( 0.6065)
z z z
Y z
z z z z z
− −
= × × =
− − − −
Utilizando el método FPI del apéndice C, obtenemos
( ) 0.5 0.1756 0.3244
1 0.6065
z z
Y z
z z
= − −
− −
que se puede verificar usando residuez() del TBS
» Rz=tf([1 0],[1 -1],T), Yz=minreal(Rz*Dz*Gz);
[nYz,dYz]=tfdata(Yz,'v'); [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)
R = 0.5000 p = 1.0000 C =
-0.1756 0.6065 -0.3244
Utilizando la tabla C.1
( ) 0.5 ( ) 0.1756(0.6065) ( ) 0.3244 ( ), 0k
y kT u kT u kT kT k= − − δ ≥
Sin embargo, se puede verificar que (0) 0y = . Este resultado se debe a que en
( )Y z la diferencia 1n m− = . Por lo tanto la solución puede presentarse como
1
( ) 0.5 0.1065(0.6065) , 1k
y kT k−
= − ≥
El resultado anterior se puede verificar numéricamente utilizando MATLAB
®
» k=0:10; delta=impud(k); ykT=R(1)+R(2)*(p(2)).^k+C*delta;
» ykTs=filter(nYz,dYz,delta);
k ykT ykTs
0 0 0

1.0000 0.3935 0.3935
2.0000 0.4354 0.4354
3.0000 0.4608 0.4608
4.0000 0.4762 0.4762
5.0000 0.4856 0.4856
6.0000 0.4913 0.4913
7.0000 0.4947 0.4947
8.0000 0.4968 0.4968
9.0000 0.4980 0.4980
10.0000 0.4988 0.4988
Función de transferencia de pulsos de lazo cerrado
En este párrafo se demostrará que la ubicación del muestreador es determinante en la
obtención del modelo de un sistema de datos muestreados en lazo cerrado, lo cual
conducirá a la necesidad de desarrollar un método sistemático para el cálculo de la función
de transferencia de pulsos de lazo cerrado (FTPLC) del sistema: ( )T z .
Consideremos en principio la forma canónica de control de lazo cerrado mostrado en la
figura 5.24, donde se asume que ( )G s es el modelo continuo de la rama directa, que de
acuerdo a lo señalado en la figura 5.17, es la combinación del ZOH y del proceso ( )pG s .
Por otro lado, ( )H s es el modelo continuo de la rama inversa asociada con el sistema de
medición. Sin pérdida de generalidad en este diagrama se ha omitido nuevamente la
presencia del controlador, que será incluido posteriormente.
En la figura 5.24 la señal de salida del sumador E(s) viene dada por
( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s Y s= − ⋅ (5.44)
donde la salida ( )Y s puede expresarse como
( ) ( ) *( )Y s G s E s= ⋅ (5.45)
Sustituyendo (5.45) en (5.44), obtenemos
*
( ) ( ) ( ) ( ) ( )E s R s H s G s E s= − ⋅ ⋅ (5.46)
Llevando al dominio estrellado y agrupando el producto *
( ) ( )G s E s⋅
*
( )E s
T
E(s)
G(s)
Y(s)
*
( )Y s
H(s)
+
−
R(s)
−
Figura 5.24
Forma canónica del
sistema de control de
datos muestreados de
lazo cerrado.

** * *
( ) ( ) ( ) ( )E s R s GH s E s= − ⋅ (5.47)
Despejando *
( )E s
*
*
*
( )
( )
1 ( )
R s
E s
GH s
=
+
(5.48)
Llevando (5.45) al dominio estrellado y sustituyendo *
( )E s por (5.48), obtenemos
*
* *
*
( )
( ) ( )
1 ( )
G s
Y s R s
GH s
=
+
(5.49)
A partir de esta expresión es posible identificar a
*
*
*
( )
( )
1 ( )
G s
T s
GH s
=
+
(5.50)
como la función de transferencia de pulsos (FTP) de lazo cerrado del sistema de la figura
5.24. Como todos los términos en (5.50) están estrellados es posible obtener una expresión
equivalente en el dominio-z, como
( )
( )
1 ( )
G z
T z
GH z
=
+
(5.51)
que se reconoce como la FTP equivalente de lazo cerrado del sistema de la figura 5.24,
donde { }( ) ( )G z G s=Z y { }( ) ( ) ( )GH z G s H s= ⋅Z . Utilizando (5.51) es posible evaluar la
salida del sistema de lazo cerrado como ( ) ( ) ( )Y z T z R z= ⋅ . Sin embargo, esta expresión
restringe la respuesta a valores en cada instante de muestreo, lo cual se identifica con el
muestreador ficticio de la figura 5.24.
El orden seguido anteriormente en el desarrollo de las expresiones algebraicas, facilitó la
obtención del modelo de *
( )T s . Sin embargo, en diagramas más complejos es posible que
el resultado no sea tan explícito. En general, si la señal de error ( )E s no está estrellada, tal
como se muestra en la figura 5.25, no es posible obtener la función de transferencia de
pulsos de lazo cerrado (FTPLC).
T
E(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
+
−
R(s)
*
( )Y s
Figura 5.25
Sistema de control de
datos muestreados
donde no es posible
evaluar la FTPLC.

Siguiendo el procedimiento anterior, se puede demostrar [ReySoto06] que
*
*
*
( ) ( )
( ) ( )
1 ( )1 ( )
GR s GR z
Y s Y z
GH zGH s
= =
++
(5.52)
A pesar de que esta expresión permite obtener *
( )Y s y ( )Y z , no existe forma de calcular la
FTPLC. De modo similar, se existen otras configuraciones típicas [Ogata95] algunas de las
cuales serán consideradas más adelante como parte de los ejemplos a desarrollar.
Procedimiento general para obtener la FTPLC: ( )T z
Los sistemas de datos muestreados en lazo cerrado manejan señales mixtas (continuas y
discretas) y el muestreador puede ser colocado en cualquier lugar del diagrama. Esto puede
resultar en un tratamiento algebraico de cierta complejidad, que generalmente no ocurre en
los sistemas continuos. Lo anterior sugiere una estrategia para garantizar que se llegue a
una expresión de la FTPLC, mediante un procedimiento general.
El procedimiento exige la formulación de las relaciones causa-efecto en cada componente
del diagrama de bloques (DB) o del gráfico de flujo de señales (GFS) del sistema de
control, se desarrollen como ecuaciones en forma estándar, dejando del lado izquierdo las
señales de salida y del lado derecho las señales de entrada.
El cálculo de la FTPLC se hará aplicando la fórmula de ganancia de Mason (FGM)
presentada en la sección 1.5. El procedimiento consiste en:
1. Construir el GFS original (GFSO) identificando las señales de entrada y salida.
Para esto se considera cada muestreador como un dispositivo abierto, tal como se
muestra en la figura 5.23. El desarrollo del GFSO se logra fácilmente si se consideran
solo las señales de entrada a cada bloque del DB. Como se observa en la figura 5.27,
el GFSO deberá incluir señales mixtas.
Una vez construido el GFSM se deben identificar las señales de entrada y salida.
Como cada muestreador es un dispositivo abierto, la señal muestreada *( )E s se
convierte en una entrada adicional y la señal no muestreada ( )E s es una salida
*
( )E sE(s)
G(s)
Y(s)
+
−
R(s)
X(s)
−
E(s) *
( )E s
X(s)
R(s) Y(s)
−1
Figura 5.27
Representación del
muestreador como un
dispositivo abierto.

adicional. Por lo tanto, cada muestreador genera en el GFSO un par de nodos
entrada-salida adicionales a los nodos propios del sistema.
2. Formular una ecuación en la forma estándar para cada salida.
Cada ecuación debe expresarse únicamente en función de las entradas del grafo.
3. Obtener la TEL de cada ecuación en la forma estándar.
Se aplican las reglas desarrolladas sobre factores estrellados y no estrellados. Al final
de esta etapa, todas las ecuaciones deben incluir solo señales estrelladas.
4. Construir el GFS modificado (GFSM)
Interpretar cada ecuación estándar estrellada como una relación causa-efecto.
5. Aplicar la FGM para obtener las relaciones E-S del sistema en lazo cerrado.
Ejemplo 5.8: Aplicando el procedimiento anterior, obtener ( )T z para la forma canónica
de la figura 5.21, asumiendo que cada bloque está dado por
1 1
( ) , 0.5 ( )
1 2
G s ZOH con T s y H s
s s
= = =
+ +
Solución: Aplicando el procedimiento propuesto, obtenemos
1. GFSO a partir del DB.
Salidas: ( )Y s , ( )E s
Entradas: ( )R s , *( )E s
2. Ecuación estándar para cada salida.
( ) ( ) *( )
( ) ( ) ( ) ( ) *( )
Y s G s E s
E s R s G s H s E s
= ⋅
= − ⋅ ⋅
3. TEL de cada ecuación estándar.
Aplicando la regla sobre factores estrellados, obtenemos:
*( ) *( ) *( )
*( ) *( ) *( ) *( )
Y s G s E s
E s R s GH s E s
= ⋅
= − ⋅
4. GFSM a partir de las ecuaciones estándar estrelladas.
Interpretando gráficamente las dos ecuaciones anteriores
FTP de LC de
forma canónica
usando
procedimiento
general.
E(s) *( )E s G(s)
−H(s)
Y(s)R(s)
*( )E s *( )G s
*( )R s *( )Y s
G(s)
Y(s)

5. FGM para obtener la relación *( ) *( )R s Y s→
A partir del GFSM, obtenemos
*( )
*( ) *( )
1 *( )
G s
Y s R s
GH s
= ⋅
+
Expresando en el dominio-z la FTPLC es
)(1
)(
)(
zGH
zG
zT
+
=
Se logra así el mismo resultado obtenido en la ecuación (5.50) por el método
algebraico. A partir de (5.37) evaluamos )(zGH para los valores dados
1 1 1 1
( ) (1 )
1 2
GH z z
s s s
−  
= − × × × 
+ + 
Z
Evaluando el término entre corchetes usando residuos modificado
1 0.0774 ( 0.6065)
( 1)( 2) ( 1)( 0.6065)( 0.3679)
z z
s s s z z z
  +
= 
+ + − − − 
Z
Sustituyendo en la expresión de ( )GH z , obtenemos
0.0774( 0.6065)
( )
( 0.6065)( 0.3679)
z
GH z
z z
+
=
− −
Este resultado se puede verificar usando c2d() del TBC
Gs=zpk([],-1,1), Hs=zpk([],-2,1)
GHz=c2d(Gs*Hs,T)
Zero/pole/gain:
0.077409 (z+0.6065)
---------------------
(z-0.3679) (z-0.6065)
Sampling time: 0.5
Aplicando de (5.37) evaluamos el modelo equivalente del proceso
1 1 0.3935
( ) (1 )
( 1) 0.6065
G z z
s s z
−  
= − = 
+ − 
Z
que se puede verificar usando c2d() del TBC
Gz=c2d(Gs,T)
Zero/pole/gain:
0.39347
----------

(z-0.6065)
Sampling time: 0.5
Sustituyendo estas dos últimas expresiones en T(z) y simplificando
2
0.3935( 0.3679)
( )
0.8970 0.2701
z
T z
z z
−
=
− +
Este último resultado se obtiene utilizando el siguiente comando de MATLAB
®
Tz=minreal(Gz/(1+GHz))
Zero/pole/gain:
0.39347 (z-0.3679)
-----------------------
(z^2 - 0.897z + 0.2701)
Sampling time: 0.5
En el ejemplo anterior se observa que no es posible aplicar la función feedback() del TBC
para evaluar ( )T z del diagrama de la figura 5.24. Esta función se utilizó en el ejemplo 1.7
para calcular la FT de lazo cerrado ( )T s de la forma canónica del modelo continuo. La
razón se debe a la forma típica del denominador de ( )T z en (5.51).
Se puede demostrar [ReySoto06] que en el caso de la figura 5.28, donde la señal de entrada
al bloque de realimentación está muestreada, la FTPLC viene dada por
( )
( )
1 ( ) ( )
G z
T z
G z H z
=
+
(5.53)
donde sí es posible aplicar la función feedback() para evaluar ( )T z , dado que están
definidas explícitamente ( )G z y ( )H z . La sintaxis es
Tz=feedback(Gz,Hz)
Un caso particular ocurre cuando el sistema tiene realimentación estática o realimentación
unitaria, donde también se puede aplicar esta función para el cálculo de la FTPLC.
En el ejemplo 5.12 se demuestra que el procedimiento propuesto es efectivo para obtener la
respuesta *
( )Y s y en algunos casos la FTP equivalente ( )T z del sistema de lazo cerrado,
con la limitación de que a partir de *
( )Y s se obtendría la respuesta en cada instante de
Figura 5.28
Forma canónica donde
es posible aplicar la
función feedback()
para evaluar ( )T z .
*
( )E s
T
E(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
+
−
R(s)
−
T

muestreo. Sin embargo, el GFSO incluye el nodo ( )Y s que puede usarse para calcular
( )y t , lo cual permitiría obtener valores entre intervalos de muestreo. Esta señal ( )Y s se se
obtiene transmitiendo la señal *
( )E s con una ganancia ( )G s . Como la señal *
( )E s también
aparece en el GFSM, bastaría incluir una rama auxiliar con ganancia ( )G s para lograr el
valor de ( )Y s , tal como lo muestra en el ejemplo anterior.
Una solución más general consiste en efectuar la interconexión del GFSO y el GFSM para
obtener el modelo general del sistema [Kuo92], tal como se muestra en la figura 5.29, a
través del cual se pueden formulas las siguientes relaciones
*
*
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 ( ) 1 ( )
G z G s
Y z R z Y s R s
GH z GH s
= ⋅ = ⋅
+ +
(5.54)
De este modo es posible obtener la respuesta discreta ( ) ( )Y z y kT↔ y la respuesta
continua ( ) ( )Y s y t↔ , esta última para evaluar la salida entre intervalos de muestreo.
En los siguientes ejemplos se aplicará el procedimiento propuesto, donde se demostrará que
es posible identificar la rama auxiliar en el GFSM para la evaluación de la respuesta ( )Y s .
Ejemplo 5.9: Determinar la respuesta en LC del siguiente sistema de control en cascada
1 2
1 1 5
( ) , 0.1 ( ) , 0.1 ( )
( 1) 2 5
G s ZOH con T s G s ZOH con T s H s
s s s s
= = = = =
+ + +
Respuesta de
un sistema de
control de
datos
muestreados
en cascada.
Figura 5.29
Modelo general del
sistema de la figura 5.24
*( )GH s−
*( )E s
( )E s *( )E s
*( )G s
( )G s
( )H s−
*( )R s *( )Y s
( )Y s( )R s
2( )E s
+
−−
2 *( )E s
T
2( )G s
( )Y s
( )H s
+
( )R s 1 *( )E s1( )E s
1( )G s
T

Considerando la señal de entrada a cada bloque
Salidas: ( )Y s , 1( )E s , 2( )E s
Entradas: ( )R s , *
1 ( )E s , *
2 ( )E s
2. Ecuaciones estándar.
Para las 3 salidas del sistema y a partir del GFSO, obtenemos
2 2
1 2 2
2 1 1 2 2
( ) *( )
( ) ( ) *( )
( ) *( ) *( )
Y s G E s
E s R s G E s
E s G E s G H E s
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ − ⋅ ⋅
3. TEL de cada ecuación estándar.
Aplicando la regla de factores estrellados y no estrellados
2 2
*
2 2 2
2 2 2 2 2
*( ) * *( )
*( ) ( ) * *( )
*( ) * *( ) * *( )
Y s G E s
E s R s G E s
E s G E s G H E s
= ⋅
= − ⋅
= ⋅ − ⋅
La rama auxiliar se obtiene interpretando la primera ecuación no estrellada.
5. FGM para calcular la respuesta *
( )Y s del sistema.
1
1
* *
2* *
** *
2 2
( ) ( )
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
G s G s
Y s R s
G s G s G H s
⋅
=
+ ⋅ +
*
2G H−
*
2( )E s *
2G
*
( )R s *
( )Y s
2G
( )Y s*
2G−
*
1G
*
1( )E s
H−
1( )E s 2 *( )E s 2G
1−
( )Y s( )R s
1 *( )E s 1G 2( )E s

Como todos los términos están estrellados podemos obtener el modelo
equivalente en el dominio-z, como
)()()(1
)()(
)(
221
21
zHGzGzG
zGzG
zT
++
=
Con ayuda del módulo scejem5p15.m evaluamos )(2 zHG :
)8187.0)(6065.0(
)7919.0(020.0
)(2
−−
+
=
zz
z
zHG
Asimismo, para 1( )G z y 2( )G z , obtenemos:
8187.0
0906.0
)(
)9048.0)(1(
)9672.0(0048.0
)( 21
−
=
−−
+
=
z
zG
zz
z
zG
Sustituyendo estos valores en la expresión de ( )T z obtenemos:
)5049.0396.1)(9176.0915.1(
)6065.0)(9672.0(00043844.0
)( 22
+−+−
−+
=
zzzz
zz
zT
La figura 5.26 muestra la respuesta escalón del sistema de control en cascada.
Utilizando la rama auxiliar del GFSM se puede obtener
*
* 1 2
** *
1 2 2
( ) ( )
( ) ( )
1 ( ) ( ) ( )
G s G s
Y s R s
G s G s G H s
⋅
=
+ ⋅ +
que puede usarse para calcular ( )y t mediante la transformada inversa de
Laplace. El calculo de ( )y t es complejo y será mostrado en el ejemplo 5.17.
------------------------- scejem5p15.m -------------------------
%modelo continuos G1(s), G2(s) y H(s)
G1s=zpk([],[0 -1],1), G2s=zpk([],-2,1), Hs=zpk([],-5,5)
%modelo discretos G1(z), G2(z) y G2H(z)
T=0.1; G1z=c2d(G1s,T), G2z=c2d(G2s,T), G2Hz=c2d(G2s*Hs,T)
%FTP de lazo cerrado T(z)
Tz=minreal(G1z*G2z/(1+G1z*G2z+G2Hz))
Figura 5.26
Respuesta escalón de
datos muestreados en
cascada.

%grafico de respuesta escalón...
----------------------------------------------------------------
En este ejemplo el esquema propuesto permitió obtener una forma explícita de la FTP de
lazo cerrado ( )T z . Sin embargo, tal como se muestra en el siguiente ejemplo, no siempre es
posible llegar a una expresión final la FTPLC.
Ejemplo 5.10: Determinar la respuesta en LC del siguiente sistema de control en cascada
Considerando la señal de entrada a cada bloque
Salidas: ( )Y s , 1( )E s
Entradas: ( )R s , *
1 ( )E s
2. Ecuaciones estándar
Para la salida ( )Y s , obtenemos
*
2 2 1 2 1 1 1( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( )Y s G E s E s G G E s Y s E s= ⋅ + = ⋅ ⋅ − +
Reconociendo que 1( ) ( ) ( )E s R s Y s= − y despejando ( )Y s , obtenemos
*1 2
1
2 2
1
( ) ( ) ( )
2 2
G G
Y s R s E s
G G
⋅
= ⋅ + ⋅
+ +
Para lograr la segunda ecuación usamos la expresión anterior de 1( )E s
*2 1 2
1 1
2 2
1
( ) ( ) ( )
2 2
G G G
E s R s E s
G G
+ ⋅
= ⋅ − ⋅
+ +
Antes de llevar al dominio-s*, efectuamos las siguientes sustituciones
Sistema de
control de
datos
muestreados
donde no es
posible
obtener la
FTPLC.
−−
E2(s)
G2(s)
Y(s)
+
R(s) E1*(s)E1(s)
G1(s)
T + +
+
E1(s) G2
−1
Y(s)R(s)
*
1 ( )E s G1
E2(s)
−1

2 1 2
1 2
2 2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
G G G
R s R s R s R s G s
G G G
+ ⋅
= ⋅ = ⋅ =
+ + +
con lo cual las 2 ecuaciones estándar se convierten en
* *
2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s G E s E s R s G E s= + ⋅ = − ⋅
3. TEL de cada ecuación estándar
* * * * * * * *
2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Y s R s G E s E s R s G E s= + ⋅ = − ⋅
5. FGM para calcular la respuesta *
( )Y s del sistema.
A partir del grafo anterior, obtenemos para *
( )Y s
*
* * *
2 1*
( )
( ) ( ) ( )
1 ( )
G s
Y s R s R s
G s
= + ⋅
+
Con todos los términos están estrellados, su equivalente en el dominio-z es
)(
)(1
)(
)()( 12 zR
zG
zG
zRzY ⋅
+
+=
La expresión anterior se evaluaría, calculando
2
1 2
2 2
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
G
R z R s R z R s
G G
   +
= ⋅ = ⋅   
+ +   
Z Z
usando residuos modificado, sin incluir el efecto del ZOH. Por otro lado
1 1 2
2
( ) ( )
( ) (1 )
2 ( )
G s G s
G z z
G s
−  ⋅
= −  
+ 
Z
que sí se incluye el efecto del ZOH por estar contenido en 1( )G s . Para construir
la rama auxiliar se tomó la primera ecuación estándar sin estrellar, dada por
*
2 1( ) ( ) ( )Y s R s G E s= + ⋅
*
( )G s−
*
1( )E s *
( )G s*
1( )R s *
( )Y s
2( )R s
( )G s ( )Y s
*
2( )R s

Se observa que en este sistema no es posible obtener la FTP equivalente de lazo
cerrado ( )T z . Esto se debe a la presencia de la rama punteada que se muestra
en el esquema original, la cual transmite directamente una componente
continua a la salida discreta del sistema.
Comentarios:
1. En la mayor parte de los casos prácticos se puede llegar a una expresión de *
( )Y s y
su equivalente ( )Y z , para evaluar la respuesta en cada instante de muestreo ( )y kT .
2. Sin embargo, no siempre es posible obtener una expresión explícita de la FTP de
lazo cerrado: *
( )T s y su equivalente ( )T z .
3. En el GFSM es posible identificar una rama auxiliar para obtener ( )Y s y así evaluar
la respuesta continua del sistema ( )y t . La ecuación estándar no estrellada formulada
para ( )Y s en el paso 3 del procedimiento propuesto, es de gran ayuda en este trabajo.
4. El número mínimo de nodos del GFSO está determinado por
- el número de salidas del sistema y entradas del sistema.
- las señales de entrada a cada bloque que no correspondan a las anteriores.
- el número de muestreadores (2 nodos por cada uno).
5. Los nodos del GFSM son iguales a los nodos del GFSO, menos
- el número de muestreadores
- el número de señales de entrada a bloques no muestreadas
6. Para obtener el equivalente discreto { }( ) ( )G z G s=Z puede usarse la función c2d()
de MATLAB, solo en el caso de que ( )G s incluya un ZOH.
7. Si ( )G s no incluye el ZOH deberá aplicarse la función residuosm().
Respuesta entre intervalos de muestreo usando transformada de Laplace
En los últimos ejemplos se de mostró que utilizando la rama auxiliar, es posible lograr una
expresión de ( )Y s para evaluar la respuesta como { }1
( ) ( )y t Y s−
= L . Esta estrategia se
reconoce como el método de la transformada de Laplace y permite obtener la respuesta
entre intervalos de muestreo, resolviendo así la limitación del método de la TZ, en el
sentido de que solo conduce a valores ( )y kT de la respuesta.
Ejemplo 5.11: Obtener la respuesta escalón ( )y kT y ( )y t del sistema de control discreto de
lazo cerrado unitario mostrado a continuación.Transformada
de Laplace
para respuesta
entre
intervalos de
muestreo.
1
( 1)s s +
Y(s)
+
R(s)
*
( )E sE(s)
−
ZOH
T=1

Solución: Se trata de aplicar el método de la transformada Z (TZ) para calcular ( )y kT y
el método de la transformada de Laplace (TL) para ( )y t .
a. Solución para ( )y kT .
Utilizando el método de la TZ, para ( ) 1H s = en (5.51), obtenemos
)(1
)(
)(
zG
zG
zT
+
=
Para calcular ( )G z aplicamos (5.37) o utilizamos la función c2d()
)3679.0)(1(
)7183.0(3679.0
)(
−−
+
=
zz
z
zG
Sustituyendo en la expresión anterior de T(z), obtenemos:
6321.0
)7183.0(3679.0
)( 2
+−
+
=
zz
z
zT
Aplicando la función step() como se muestra en el módulo scjem5p17.m,
obtenemos para las primeras 6 muestras de ( )y kT :
kT ykT
0 0
1.0000 0.3679
2.0000 1.0000
3.0000 1.3996
4.0000 1.3996
5.0000 1.1470
b. Solución para ( )y t .
Calculamos ( )Y s a partir de (5.54), para ( ) 1H s = :
*
*
( )
( ) ( )
1 ( )
G s
Y s R s
G s
= ⋅
+
donde ( )G s viene dada por
1 1
( )
( 1)
sT
e
G s
s s s
−
−
= ⋅
+
Sustituyendo en la expresión de ( )Y s y agrupando términos continuos
(estrellados) y discretos (no estrellados)

*
2 *
*( )
1 ( )
( ) (1 )
( 1) 1 ( )
sT
A s
R s
Y s e
s s G s
− 
= − ⋅ 
+ + 
donde el término *
( )A s puede ser evaluado a través de su equivalente en el
dominio-z: ( )A z , que para una entrada escalón viene dado por
)(1
1
)(1
)1/(
)1(
)(1
)(
)1()( 11
zGzG
zz
z
zG
zR
zzA
+
=
+
−
⋅−=
+
⋅−= −−
Utilizando la expresión de ( )G z que se obtuvo en la parte a., obtenemos
6321.0
)3679.0)(1(
)( 2
+−
−−
=
zz
zz
zA
Con la función impulse() mostrada en el módulo scjem5p17.m, evaluamos
las primeras 6 muestras del desarrollo en serie de potencias de ( )A z , como
1.0000
-0.3679
-0.6321
-0.3996
-0.0000
0.2526
que permiten expresar a ( )A z como
⋯++−−−= −−−− 5321
2526.03996.06321.03679.01)( zzzzzA
Usando la transformación sT
z e= obtenemos la expresión de *
( )A s , como:
⋯+ε+ε−ε−ε−= −−−− ssss
sA 532
2526.03996.06321.03679.01)(*
Finalmente, sustituyendo en la expresión anterior de ( )Y s , obtenemos:
2 3 5
2
1
( ) [1 0.3679 0.6321 0.3996 0.2526 ]
( 1)
s s s s
Y s e e e e
s s
− − − −
= − − − + +
+
⋯
La solución continua ( )y t se consigue evaluado la transformada inversa de
Laplace por intervalos para cada componente, considerando el atraso 1T s= .
0
( 1)
1 0
( 2)
2 1
( ) 1 , 0 1
( ) ( ) 0.3679[( 1) 1 ], 1 2
( ) ( ) 0.6321[( 2) 1 ], 2 3
t
t
t
y t t e t
y t y t t e t
y t y t t e t
−
− −
− −
= − + ≤ <
= − − − + ≤ <
= − − − + ≤ <
⋯
Utilizando estas expresiones, desarrollamos las siguientes ecuaciones
auxiliares para evaluar la respuesta en cualquier intervalo de muestreo.

0 00 1 ( ) ( )t y t a y t≤ < → =
0 1 11 2 ( ) ( ) ( )t y t y t a y t≤ < → = +
0 0 1 1 2 22 3 ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t≤ < → = + +
0 0 1 1 2 2 3 33 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t a y t≤ < → = × + + +
0 0 1 1 2 2 3 3 4 44 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t y t a y t a y t a y t a y t a y t≤ < → = + + + + +
donde ka son los coeficientes de ( )A z evaluados anteriormente.
Tabla 5.1 – Respuesta entre intervalos de muestreo
t 0( )y t 1( )y t 2( )y t 3( )y t 4( )y t ( )y t
0.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.2 0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0187
1.0 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.3679
1.5 0.3679 0.1065 0.0000 0.0000 0.0000 0.6839
2.0 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000
2.8 1.8608 0.9653 0.2493 0.0000 0.0000 1.3481
3.0 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 1.3996
3.3 2.3369 1.4003 0.5725 .0408 0.0000 1.4435
4.0 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 1.3996
4.6 3.6101 2.6273 1.6743 0.8019 0.1488 1.2648
5.0 4.0067 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 1.1470
Usando las ecuaciones auxiliares se construyó la tabla 5.1 para valores
arbitrarios de t, donde el resultado final de ( )y t se obtuvo mediante el siguiente
producto matricial:
La gráfica correspondiente se muestra en la figura 5.27.
0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.0187 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.3679 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
0.3679 0.1065 0.0000 0.0000 0.0000
1.1353 0.3679 0.0000 0.0000 0.0000
1.8608 0.9653 0.2493 0.0000 0.0000
2.0498 1.1353 0.3679 0.0000 0.0000
2.3369 1.4003 0.5725 0.0408 0.0000
3.0183 2.0498 1.1353 0.3679 0.0000
3.6101 2.6273 1.6743 0.8019 0.1488
4.0067 3.0183 2.0498 1.1353 0.3679
1.0000
− 0.3679
− 0.6321
− 0.3996
− 0.0000
0.0000
0.0187
0.3679
0.6839
1.0000
1.3481
1.3996
1.4435
1.3996
1.2648
1.1470
=×

------------------------- scejem5p17.m -------------------------
%solución discreta y(kT)
Gps=zpk([],[0 -1],1), T=1; Gz=c2d(Gps,T)
Tz=feedback(Gz,1), ykT=step(Tz,5*T);
%solución para y(t)
Az=1/(1+Gz), ak=impulse(Az,5*T)
tk=[0,0.2,1,1.5,2,2.8,3,3.3,4,4.6,5];
y0=(tk-1+exp(-tk)).*(tk>=0);
y1=((tk-1)-1+exp(-(tk-1))).*(tk>=1);
y2=((tk-2)-1+exp(-(tk-2))).*(tk>=2);
y3=((tk-3)-1+exp(-(tk-3))).*(tk>=3);
y4=((tk-4)-1+exp(-(tk-4))).*(tk>=4);
M=[y0' y1' y2' y3' y4'], [F,C]=size(M); A=ak(1:C); ytk=M*A;
%comandos de graficación...
----------------------------------------------------------------
5.5 RESPUESTA DINAMICA DEL SISTEMA DE CONTROL DISCRETO
Una vez desarrollado el modelo del sistema de datos muestreados, en esta sección se
desarrollarán herramientas para obtener la respuesta dinámica del sistema ante una entrada
arbitraria. Utilizando estas herramientas se evaluará el efecto del período de muestreo en la
estabilidad relativa del modelo discreto equivalente del sistema de datos muestreados. El
concepto de ecuación característica será fundamental para evaluar una de las componentes
de la respuesta dinámica: la respuesta transitoria. La respuesta permanente, será evaluada
a través del error estacionario, aplicando la estrategia desarrollada en la sección 2.3. Para
facilitar el cálculo de los valores característicos de la respuesta dinámica, se analizará la
correlación que existe entre los puntos del plano-s y puntos del plano-z, utilizando la regla
de transformación sT
z e= que se introdujo en la sección 5.3.
Funciones de MATLAB para respuesta dinámica
Antes de iniciar con los ejemplos numéricos, presentaremos en este párrafo los comandos y
funciones de MATLAB
®
de uso más frecuente en la evaluación de la respuesta dinámica del
Figura 5.27
Respuesta entre
intervalos de muestreo
usando la transformada
de Laplace.

sistema de datos muestreados, algunas de las cuales han sido aplicadas en los ejemplos del
capítulo 2, para el análisis del sistema continuo. En estas funciones se asume que el modelo
del sistema se ha creado como un objeto LIT en la forma ZPK o TF. Detalles sobre estas y
otras funciones se pueden encontrar en el tutorial de MATLAB
®
del apéndice D.
Funciones para construir el modelo del sistema:
1. Modelo continuo del proceso: Gps=zpk([zi],[pi],k)
2. Modelo discreto del proceso incluyendo el ZOH: Gz=c2d(Gps,T)
3. Modelo discreto del controlador: Dz=tf(nDz,dDz,T)
4. FTP de lazo cerrado unitario: Tz=feedback(Dz*Gz,1)
Comandos para generar gráficos de la respuesta dinámica en tiempo discreto:
1. Respuesta impulso: impulse(Tz); impulse(Tz,kT)
2. Respuesta escalón: step(Tz); kT=(n1:n2)*T; step(Tz,kT)
3. Respuesta rampa: Az=tf(T,[1 -1],T); step(Az*Tz)
4. Respuesta escalón en forma DSP: [ykT,kT]=step(Tz); stem(kT,ykT)
Comandos para generar tabla valores de la respuesta dinámica:
1. Respuesta impulso: [ykT,kT]=impulse(Tz);
2. Respuesta escalón: [ykT,kT]=step(Tz);
3. Respuesta rampa: [ykT,kT]=step(Az*Tz);
4. Ganancia DC (valor permanente de respuesta escalón): Kdc=dcgain(Tz)
Comandos para obtener la forma analítica de la respuesta:
1. Entrada escalón: Rz=tf([1 0],[1 -1],T)
2. Entrada rampa: Rz=tf([T 0],[1 -2 1],T)
3. Respuesta en lazo cerrado: Yz=Rz*Tz
4. Numerador y denominador de Y(z): [nYz,dYz]=tfdata(Yz,'v')
5. Fracciones parciales por el método FPI: [R,p,C]=residuez(nYz,dYz)
Efecto del período de muestreo en la respuesta dinámica
En la sección 5.4 se demostró que la presencia del dispositivo M-R es fundamental para
calcular la función de transferencia de pulsos (FTP) y preservar la forma de la respuesta
dinámica de un sistema de datos muestreados. El siguiente ejemplo permitirá observar el
efecto del período de muestreo en los valores característicos de dicha respuesta. El efecto
se evaluará calculando la respuesta del modelo continuo del proceso ( )pG s y la de su
equivalente discreto ( )G z , en este último a partir del concepto de FTP.

5.5 – RESPUESTA DINAMICA DEL SISTEMA DE CONTROL DISCRETO 5 - 45
Ejemplo 5.12: Evaluar el efecto del período de muestreo en la respuesta escalón del sistema
de datos muestreados del ejemplo 5.11, asumiendo 1T s= y 0.2T s= .
Solución: Para evaluar la respuesta es necesario obtener la función de transferencia de
pulsos de lazo cerrado T(z), para los dos valores de T. Utilizando los comandos
del módulo scjem5p18.m, obtenemos para el modelo continuo y los dos
modelos discretos equivalentes, con 1 1T s= y 2 0.2T s= :
8336.08.1
)9335.0(01873.0
)(
6321.0
)7183.0(3679.0
)(
1
1
)(
22
21
2
−−
+
=
−−
+
=
++
=
zz
z
zT
zz
z
zT
ss
sT
Como el sistema es de lazo cerrado unitario es posible utilizar la función
feedback() para determinar los modelos discretos 1( )T z y 2( )T z . Aplicando
la función step() a estas 3 funciones, se obtiene la gráfica mostrada en la
figura 5.28. Con el apoyo del módulo scjem5p18.m, la tabla 5.2 presenta los
valores característicos de la respuesta dinámica de los tres sistemas.
-------------------------- SCEjem5p18.m ------------------------
%modelos continuos Gp(s) y T(s)
Gps=zpk([],[0 -1],1), Ts=feedback(Gps,1)
%modelos discretos del proceso y del sistema en lazo cerrado
T1=1; G1z=c2d(Gps,T1), T1z=feedback(G1z,1)
T2=0.2; G2z=c2d(Gps,T2), T2z=feedback(G2z,1)
%valores característicos de la respuesta escalón
[Mpt,Tss]=valrespt(Ts), Kdcs=dcagain(Ts)
[Mpt1,Tss1]=valrespt(T1z), Kdcz1=dcagain(T1z)
Efecto del
período de
muestreo en la
respuesta
dinámica.
Figura 5.28
Efecto del período de
muestreo en la
respuesta dinámica de
un sistema de datos
muestreados.
T=1s
T=0.2s

[Mpt2,Tss2]=valrespt(T2z) , Kdcz2=dcagain(T2z)
%comandos de graficación...
----------------------------------------------------------------
Tabla 5.2 Valores característicos de la respuesta escalón
Modelo ptM ssT DCK
Continuo 1.1630 8.1718 1.0000
0.2T s= 1.2061 8.4000 1.0000
1T s= 1.3996 16.0000 1.0000
Los resultados de la tabla 5.2 demuestran el efecto del período de muestreo en el
comportamiento dinámico de un sistema de datos muestreados. Según esto, un valor grande
de T puede afectar considerablemente la estabilidad relativa del sistema (respuesta
transitoria). La ganancia DC (respuesta permanente) no se afecta, por la presencia del
retensor (ZOH). Como se demostrará en las secciones 5.6 y 5.7, en un caso más extremo
podría afectar la estabilidad absoluta del sistema.
Ecuación característica del sistema de datos muestreados
En la sección 1.5 se introdujo el concepto de ecuación característica (EC) como la
expresión que permite calcular los polos del sistema de control en lazo cerrado, que para el
caso de la forma canónica de lazo cerrado del sistema continuo de la figura 1.25, se
presentó en (1.20) como: 1 ( ) ( ) 0G s H s+ = . Las raíces de esta ecuación determinan la forma
característica de la respuesta transitoria y se reconocen como los polos del sistema en lazo
cerrado.
De modo similar, la ecuación característica del sistema de datos muestreados para la forma
canónica de la figura 5.16, tomada como el denominador de la FTLC (5.51), es
1 ( ) 0GH z+ = (5.55)
Para un caso más general de un sistema diferente a la forma canónica, la EC puede ser
obtenida a partir del gráfico de flujo de señales modificado (GFSM), que fue desarrollado
como parte del procedimiento propuesto en la sección 5.4 para evaluar la FT de lazo
cerrado del sistema. En efecto, aplicando la fórmula de ganancia de Mason al GFSM
1
( ) ( )
( )
( )
N
k k
k
T z z
T z
z
=
⋅∆
=
∆
∑
(5.56)

Según (5.56) el denominador de ( )T z es el determinante del sistema: ( )z∆ . Luego la
ecuación característica equivalente en el dominio-z de un sistema arbitrario de datos
muestreados, puede evaluarse como
( ) 0z∆ = (5.57)
En el capítulo 7 se podrá identificar una tercera forma de obtener la EC de un sistema de
control de datos muestreados, a partir de su modelo de estado. Los polos del sistema serán
asociados con los autovalores de la matriz de estado A del sistema.
De este modo, (5.55) y (5.57) son expresiones alternas para evaluar la EC del sistema,
dependiendo del modelo utilizado para su representación. El procedimiento presentado en
la sección 5.4 es una herramienta válida para obtener la EC de un sistema de datos
muestreados, a partir de (5.57). Los siguientes ejemplos muestran su aplicación.
Ejemplo 5.13: Obtener la EC del sistema de datos muestreados del ejemplo 5.15, cuyo
GFSM se presenta a continuación.
Solución: Aplicando la FGM se puede obtener el determinante del sistema como
1 2 2( ) 1 ( ) ( ) ( )z G z G z G H z∆ = + +
Aplicando (5.57) obtenemos la EC como
1 2 2( ) 1 ( ) ( ) ( ) 0Q z G z G z G H z= + + =
que es el denominador de ( )T z que se obtuvo en el ejemplo 5.15. Para los
valores dados de 1( )G s , 2( )G s y ( )H s
0.0048( 0.9672) 0.0906 0.020( 0.7919)
( ) 1 0
( 1)( 0.9048) 0.8187 ( 0.6065)( 0.8187)
z z
Q z
z z z z z
+ +
= + × + =
− − − − −
Simplificando, obtenemos
4 3 2
( ) 3.3102 4.0946 2.2474 0.4633 0Q z z z z z= − + − + =
cuyas raíces son 1,2 0.9579 2.14ºp = ±∡ , 3,4 0.7106 10.87ºp = ±∡ . Como todos
los polos están dentro del círculo unitario, el sistema es absolutamente estable.
Ecuación
característica
a partir del
GFSM de un
modelo donde
existe T(z).
*
2G H−
*
2( )E s *
2G
*
( )R s *
( )Y s
*
2G−
*
1G
*
1( )E s

-------------------------- scejemp5p19.m -----------------------
%modelos continuos
Gp1s=zpk([],-1,1), Gp2s=zpk([],-2,1), Hs=zpk([],-5,5)
%modelos discretos
T=0.1; G1z=c2d(Gp1s,T), G2z=c2d(Gp2s,T), G2Hz=c2d(Gp2s*Hs,T)
%ecuación característica y polos del sistema
ECz=1+G1z*G2z+G2Hz; Qz=tfdata(ECz,'v')
polos=roots(Qz), [magp,fasep]=rec2pol(polos)
----------------------------------------------------------------
Ejemplo 5.14: Obtener la EC del sistema de datos muestreados del ejemplo 5.16, cuyo
GFSM se presenta a continuación.
Asumiendo que
1 2
1 1
( ) , 0.1 ( )
1 2
G s ZOH con T s G s
s s
= = =
+ +
Solución: Como se demostró en el ejemplo 5.16, es un sistema donde no es posible
obtener una expresión para T(z). Sin embargo aplicando la fórmula de ganancia
de Mason al grafo anterior obtenemos el determinante del sistema
)(1)( zGz +=∆
Aplicando (5.57) la EC es entonces
( ) 1 ( ) 0Q z G z= + =
Sustituyendo el valor de ( )G s que se asumió en el ejemplo 5.16, obtenemos
1 2
2
( ) ( )
( ) 1 0
2 ( )
G s G s
Q z
G s
 ×
= + = 
+ 
Z
Para los valores dados de 1( )G s y 2( )G s
1 0.5
( ) 1 (1 ) 0
( 1)( 2.5)
Q z z
s s s
−  
= + − = 
+ + 
Z
donde el factor 1
(1 )z−
− obedece a la presencia del ZOH en 1( )G s , que además
adiciona un factor en 0s = .
Ecuación
característica
a partir del
GFSM de un
modelo donde
no existe T(z).
*
( )G s−
*
1( )E s *
( )G s*
1( )R s *
( )Y s
*
2( )R s

Aplicando el método de residuos modificado al término entre corchetes y
simplificando, obtenemos
2
( ) 1.6814 0.7067 0Q z z z= − + =
cuyas raíces o polos del sistema en lazo cerrado son 1 0.8514p = y 2 0.8300p = .
Luego el sistema es absolutamente estable.
--------------------------- scejem5p20.m -----------------------
%modelos continuos
G1s=zpk([],-1,1), G2s=zpk([],-2,1)
Gs=minreal(G1s*G2s/(2+G2s))
%ecuación característica y polos del sistema
T=0.1, ECz=1+c2d(Gs,T); Qz=tfdata(ECz,'v'), polos=roots(Qz)
----------------------------------------------------------------
Efecto del periodo de muestreo en los parámetros de la FT
El resultado del ejemplo 5.18, cuyo resumen se presenta en la tabla 5.2, es suficiente para
demostrar que la selección de un valor adecuado del período de muestreo T es definitiva
para preservar los valores característicos de la respuesta dinámica del sistema de control de
datos muestreados. Sin embargo, también es posible evaluar el efecto de T sobre los
parámetros característicos de la función de transferencia del modelo equivalente discreto
( )T z respecto del modelo continuo ( )T s . Como se demostró en la sección 2.2, estos
parámetros permiten inferir sobre la respuesta dinámica del sistema de control. En este
análisis haremos referencia a los prototipos estándar de primero y segundo orden que se
analizaron en la sección 2.2, que se repiten a continuación
0
0
: ( )
1
b k
primer oden T s
s a s
= =
+ + τ
(5.58)
caracterizada por los parámetros ganancia DC: k y constante de tiempo: τ
2
0
2 2 2
1 0
: ( )
2
n
n n
b k
segundo orden T s
s a s a s s
ω
= =
+ + + ζω + ω
(5.59)
caracterizada por los parámetros ganancia DC: k, relación de amortiguamiento: ζ y
frecuencia natural: nω .
Cuando se evalúa el modelo discreto equivalente T(z) usando el concepto de FTP, estos
parámetros carecen de significado. Sin embargo, es posible conseguir un significado si se
evalúa la correspondencia entre los polos de T(z) y los polos de T(s), mediante la

transformación Ts
z e= . Para verificar lo anterior, a partir de los polos iz de T(z) en el
plano-z podemos obtener sus polos equivalentes i es en el plano-s, como
1
( )i e is ln z
T
= ⋅ (5.60)
A partir de la parte real e imaginaria de estos polos equivalentes, es posible entonces usar
las expresiones (2.13), (2.15) y el triángulo característico de la figura 2.11 para obtener los
parámetros equivalentes del modelo discreto T(z). Los siguientes ejemplos muestran esta
estrategia como una forma de evaluar el efecto del período de muestreo T en los
parámetros de la FT del modelo discreto T(z).
Ejemplo 5.15: Obtener los parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) de un sistema
de datos muestreados de primer orden en lazo cerrado unitario y compararlos
con los parámetros del modelo continuo T(s), asumiendo
sTconZOH
s
sGp 1.0y
2
4
)( =
+
=
Solución: Para el modelo continuo en lazo cerrado unitario obtenemos
( ) 4
( )
1 ( ) 6
p
p
G s
T s
G s s
= =
+ +
donde el polo real es s=−6. Aplicando (2.13) y (2.15), obtenemos
0
4 1
0.6667 0.1667
6 | 6|s
k pu s
s =
= = τ = =
+ −
Para el modelo equivalente discreto, aplicando (5.37) obtenemos
1 4 0.3625
( ) (1 )
( 2) 0.8187
G z z
s s z
−  
= − = 
+ − 
Z
Para el sistema discreto en lazo cerrado unitario, aplicando (5.51)
4562.0
3625.0
)(1
)(
)(
−
=
+
=
zzG
zG
zT
que se constituye en el modelo equivalente discreto de ( )T s , para 0.1T s= ,
cuyo único polo está en 1 0.4562z = . Aplicando (5.60), obtenemos
1
(0.4562) 7.8484
0.1
i es ln= ⋅ = −
Parámetros
equivalentes
del modelo
discreto de un
sistema de
primer orden.

Usando (2.13) y (2.15) obtenemos los parámetros equivalentes, como:
1
0.3625 1
0.6667 0.1274
0.4562 | 7.8484|
e e
z
k pu s
z =
= = τ = =
− −
Del resultado anterior se observa que la constante de ganancia no se altera, por
la presencia del ZOH, mientras que la constante de tiempo presenta un error de:
100 23.55%e
error
τ − τ
= × =
τ
------------------------- scejem5p21.m -------------------------
%parámetros del modelo continuo T(s)
Gps=zpk([],-2,4); Ts=feedback(Gps,1), si=pole(Ts)
tau=1/abs(si), Kdcs=dcgain(Ts)
% parámetros equivalentes del modelo discreto T(z)
T=0.1; Gz=c2d(Gps,T); Tz=feedback(Gz,1), zi=pole(Tz)
sie=(1/T)*log(zi), taue=1/abs(sie), Kdcz=dcgain(Tz)
error=((tau-taue)/tau)*100
----------------------------------------------------------------
Ejemplo 5.16: Obtener los parámetros equivalentes del modelo discreto T(z) de un sistema
de datos muestreados de segundo orden en lazo cerrado unitario y
compararlos con los parámetros del modelo continuo T(s), asumiendo
y
1
( ) 0.1
( 1)
pG s ZOH con T s
s s
= =
+
Solución: Para el modelo continuo en lazo cerrado unitario obtenemos
1
1
)(1
)(
)( 2
++
=
+
=
sssG
sG
sT
p
p
La ecuación característica es 01)( 2
=++= sssQ . Luego los polos son:
8660.05.0 jsi ±−=
Interpretando este valor en el triángulo característico de la figura 2.11
0006.1)8667.0()5.0( 22
=+=ωn
º02.60)5.0/8667.0(1
==β −
tg
4997.0)º02.60( ==ζ cos
Parámetros
equivalentes
del modelo
discreto de un
sistema de
segundo orden.
0.5
β
0.8667
ωn

Para el modelo discreto usando (5.37) obtenemos:
)9048.0)(1(
)9672.0(0048374.0
)1(
1
)1()( 2
1
−−
+
=






+
−= −
zz
z
ss
zzG Z
Luego, la FT discreta equivalente de lazo cerrado unitario es
9095.09.1
)9672.0(0048374.0
)(1
)(
)( 2
+−
+
=
+
=
zz
z
zG
zG
zT
Los polos del modelo discreto equivalente son 0838.095.0 jzi ±= . Aplicando
(5.60) obtenemos el valor equivalente, como:
8794.04742.0)0838.095.0(
1.0
1
jjlnsie ±−=±⋅=
Utilizando el triángulo característico
9991.0)8794.0()4742.0( 22
=+=ωne
º67.61)4742.0/8794.0(1
==β −
tge
4745.0)º67.61( ==ζ cose
--------------------------- scejem5p22.m -----------------------
%parámetros del modelo continuo T(s)
Gps=zpk([],[0 -1],1), Ts=feedback(Gps,1), si=pole(Ts)
[wn,tita]=rec2pol((si(1))); beta=180-tita;
zeta=cos(beta*pi/180), wn
%parámetros equivalentes del modelo discreto T(z)
T=0.1; Gz=c2d(Gps,T); Tz=feedback(Gz,1), zi=pole(Tz)
sie=(1/T)*log(zi)
[wne,titae]=rec2pol(sie(1)); betae=180-titae;
zetae=cos(betae*pi/180), wne
%verificación usando la función damp()
[wn,zeta] = damp(Ts), [wne,zetae] = damp(Tz)
----------------------------------------------------------------
En el ejemplo 5.22 se utilizó la función damp() del Toolbox de Control de MATLAB
®
para
verificar el cálculo de los parámetros ζ y ωn de la FT del modelo continuo ( )T s y del
modelo discreto ( )T z . Su sintaxis general es
EDU» [wn,zeta,polos]=damp(sis)
donde sis es la FT del modelo continuo o discreto, creado como un objeto LIT. Los
parámetros ζ y ωn se evalúan para cada polo complejo conjugado, a partir del triángulo
característico. Si el modelo es discreto, primero se calculan los polos equivalentes en el

dominio-s a partir de (5.60). Si el polo es real devuelve ζ=1 y un valor de ωn que no tiene
significado. La función se puede usar también para obtener los polos del sistema.
Los dos ejemplos anteriores permiten verificar el efecto del período de muestreo en el
desarrollo del modelo discreto equivalente de un sistema de datos muestreados. Utilizando
la función especial valrespt() presentada en la sección 2.2, se desarrolló la tabla 5.3
tomando como base el sistema del ejemplo 5.22. Los resultados mostrados son suficientes
para demostrar el efecto del período de muestreo T en los valores característicos de la
respuesta escalón y en los parámetros de la FT del modelo discreto.
Tabla 5.3 - Efecto del período de muestreo T en sistema de 2º orden
Modelo ptM ssT ζ nω
Continuo 1.1630 8.1718 0.5000 1.0000
0.1T s= 1.1837 8.3000 0.4746 0.9991
0.5T s= 1.2864 11.0000 0.3695 0.9780
1T s= 1.3996 16.0000 0.2494 0.9197
Resolución del modelo discreto: efecto de T
El resultado de la tabla 5.3, se debe a que la correlación entre los polos del modelo continuo
( )T s y de su equivalente discreto ( )T z está influenciada por el período de muestreo T. Una
forma más de evaluar el efecto del período de muestreo en el modelo discreto equivalente,
consiste en determinar la resolución del modelo discreto, expresada en términos del número
de muestras ( )mN por unidad referencial de tiempo (URT). El valor esperado mN puede
usarse como un criterio práctico para la selección del período de muestreo.
Si el modelo continuo ( )T s tiene un polo real en 0 1/s = τ , se puede establecer como
URT la constante de tiempo ( )τ , con lo cual el número esperado de muestras sería de
/mN T= τ . El polo de ( )T z aparece en /
0
T
z e− τ
= . Despejando la relación T/τ , y
considerando el caso de 0 0z < obtenemos
0
1
/
( )
mN T
ln z
= τ = (5.61)
Si el polo de ( )T s es complejo conjugado 0 ds j= −α ± ω , se puede establecer como URT el
período dT asociado con la frecuencia natural amortiguada 2 /d dTω = π y el número
esperado de muestra sería de /m dN T T= . En este caso el polo continuo de transforma en
( )
0
d dj T T j T
z e e e r−α± ω −α ± ω
= = = ∠ ± θ (5.62)

donde T
r e−α
= y dTθ = ω . Considerando que 2 /d Tω = π , obtenemos
2d
m
T
N
T
π
= =
θ
(5.63)
De este modo el número de muestras logrado, depende de la posición final del polo 0z en el
plano-z. El criterio práctico se basa en seleccionar el período de muestreo T, de modo que
el número mínimo de muestras logradas sea de
(8 10)m dN a muestras por o T= τ (5.64)
Este criterio será utilizado en el capítulo 7 para la selección del período de muestro, como
fase preliminar del diseño de controlador. A partir de (5.62) se pueden desarrollar las
siguientes expresiones
2
1nT
nr e T−ζω
= θ = ω − ζ ⋅ (5.65)
la cuales permiten obtener gráficas características de ζ y ωn constantes [ReySoto06], que
son de utilidad en aplicaciones prácticas de análisis y diseño del sistema de control en
tiempo discreto. El Toolbox de Control de MATLAB
®
incorpora las funciones sgrid() y
zgrid() que se pueden utilizar con este propósito y fueron utilizadas para generar la
gráfica de la figura 5.29.
A partir de (3.22) se puede verificar que cada línea guarda relación directa con el número
de muestras (Nm). En efecto, para la primera línea θ=π/6 radianes, que equivale a
dm TmuestrasN /12
6/
22
=
π
π
=
θ
π
=
Las siguientes líneas corresponden a , ,6 4mN = … ; este resultado es importante, porque
muestra que para lograr un valor alto de mN que garantice una adecuada resolución del
Figura 5.29
Curvas características
de ζ y nω constantes.

modelo discreto, el polo complejo conjugado dominante de ( )T z deberá estar ubicado en el
primer cuadrante del plano-z.
Desplazamiento de polos de ( )T z : efecto de T
De acuerdo con la figura 5.29, la posición final del polo del modelo discreto equivalente
( )T z depende del valor seleccionado para el período de muestro T. De acuerdo con esto, si
se cambia el valor de T debe ocurrir un desplazamiento del polo de T(z) en el plano-z,
modificando substancialmente el comportamiento dinámico del sistema discreto.
Para evaluar el efecto de desplazamiento que sufre el polo del modelo discreto equivalente
( )T z en el plano-z al cambiar el período de muestreo T, consideramos dos casos:
Caso 1: Polo real de ( )T s en 0 6s = − , del ejemplo 5.21.
Caso 2: Polo complejo conjugado de ( )T s en 0 0.5 0.8660s j= − ± , del ejemplo 5.22.
La tabla 5.4 presenta un resumen de los resultados, donde se observa el efecto del período
de muestro T en la posición final de los polos del modelo discreto equivalente ( )T z .
Tabla 5.4 – Efecto de T en la resolución y en la posición final de los polos de T(z)
T
polo real 0 6s = − polo complejo 0 0.5 0.8660s j= − ±
0z 0es mN 0z 0z∡ 0es mN
0.1s 0.4562 −7.8484 1.27 0.9537 5.0388º −0.4742 + j0.8794 35.7225
0.2s 0.0110 −22.5675 0.22 0.9145 10.2058º −0.4471 + j0.8906 17.6369
0.5s −0.8964 −0.2188 + j6.2832 0.32 0.8347 26.0358º −0.3614 + j0.9088 6.9135
1.0s −1.5940 0.4662 + j3.1416 0.3149 0.7951 51.0322º −0.2293 + j0.8807 3.5272
La figura 5.30 muestra el desplazamiento que sufre el polo equivalente discreto del real de
( )T s por efecto del período de muestreo. Un caso que merece especial atención, ocurre
cuando el polo real discreto es desplazado hacia la parte real negativa, donde el polo
equivalente continuo es complejo conjugado, lo cual implica una respuesta oscilatoria.
Figura 5.30
Desplazamiento del
polo real del modelo
discreto equivalente
por efecto de T.

De modo similar, la figura 5.31 muestra el desplazamiento que sufre el polo equivalente
discreto del polo complejo conjugado de ( )T s .
Se puede verificar que el desplazamiento de los polos de ( )T z en las figuras 5.30 y 5.31,
origina una reducción en el número de muestras a medida que se aumenta el período de
muestreo, disminuyendo así la resolución del modelo discreto equivalente ( )T z .
Error estacionario del sistema de datos muestreados
Utilizando una estrategia similar a la aplicada en la sección 2.3 para el sistema continuo, es
posible evaluar el error estacionario asociado con la respuesta permanente del sistema de
datos muestreados, cuya forma canónica se muestra en la figura 5.32.
El error estacionario o error permanente se reconoce como el valor final de ( )e kT y es un
valor característico más de la respuesta dinámica del sistema de control, asociado con la
respuesta permanente. La figura 5.33 reproduce en el dominio-z el GFSM del sistema de
control de la figura 5.30, el cual se desarrolló en el ejemplo 5.14.
E*(s)
T
E(s)
G(s)
Y(s)
H(s)
+
−
R(s)Figura 5.32
Forma canónica para
evaluar el error
estacionario en un
datos muestreados.
Figura 5.33
Forma canónica para
evaluar el error
estacionario en un
datos muestreados.
Figura 5.31
Desplazamiento del polo
complejo del modelo
discreto equivalente por
efecto de T.
( )GH z−
( )E z ( )G z
( )R z ( )Y z

Sc capitulo5

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