Aplicaciones de la Geometría Analítica en Economía

1
UUNNIIVVEERRSSIIDDAADD NNAACCIIOONNAALL DDEELL CCAALLLLAAOO
VICERRECTORADO DE INVESTIGACIÓN
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS
INFORME FINAL DE INVESTIGACIÓN
AAUUTTOORR :: LLIICC.. RRUUBBÉÉNN OORRLLAANNDDOO AARRBBAAÑÑIILL RRIIVVAADDEENNEEIIRRAA
((PPeerriiooddoo ddee EEjjeeccuucciióónn :: 0011//0033//22000099 aall 2288//0022//22001111
RReessoolluucciióónn NNºº 331199--0099--RR))
“APLICACIONES DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA A LA
ECONOMÍA”

2
A) INDICE
B.- RESUMEN 05
C.- INTRODUCCION 06
Planteamiento del Problema 07
Alcance, Importancia y Justificación del Proyecto 07
D.- MARCO TEORICO 11
D.1.- Teoría Matemática 11
D.1.1.- Sistema Coordenado Bidimensional. 11
D.1.1.1.- Plano Cartesiano. 12
D.1.1.2.- Distancia entre dos puntos 13
D.1.1.3.- División de un segmento en una razón dada 13
D.1.1.4.- Punto Medio de un segmento. 14
D.1.1.5.- Baricentro de un triángulo en función de las coordenadas de sus 14
vértices.
D.1.2.- La Ecuación Lineal en dos variables: Línea Recta 15
D.1.2.1.- Ángulo entre dos rectas. 15
D.1.2.2.- Ángulo de inclinación de una recta. 15
D.1.2.3.- Pendiente de una recta 16
D.1.2.4.- Ángulo entre dos rectas. 16
D.1.2.5.- Cálculo del ángulo entre dos rectas. 17
D.1.2.6.- Rectas paralelas y Perpendiculares. 18
D.1.2.7.- Línea Recta. 19
D.1.2.8.- Formas de la ecuación de la recta. 19
D.1.2.9.- Distancia de un punto a una recta 20
D.1.3.- La Circunferencia 21
D.1.3.1.- Elementos de la circunferencia. 21
D.1.3.2.- Formas de la Ecuación de la Circunferencia. 22
D.1.3.3.- Condición de Tangencia 23

3
D.1.4.- La Parábola 23
D.1.4.1.- Elementos de la Parábola 24
D.1.4.2.- Formas de la Ecuación de la Parábola 26
D.1.5.- La Elipse 30
D.1.5.1.- Elementos de la Elipse. 31
D.1.5.2.- Formas de la Ecuación de la Elipse. 32
D.1.5.3.- Ecuación de la Tangente a una Elipse. 39
D.1.6.- La Hipérbola . 40
D.1.6.1.- Elementos de la Hipérbola. 40
D.1.6.2.- Formas de la Ecuación de la Hipérbola. 41
D.1.6.3.- Asíntotas de la Hipérbola. 49
D.1.6.4.- Hipérbola Equilátera. 49
D.2.- Teoría Económica. 52
D.2.1.- Teoría Microeconómica 52
D.2.1.1.- El sistema de mercado 52
D.2.1.1.1.-Oferta y demanda 52
D.2.1.1.2. Punto de equilibrio del mercado 54
D.2.1.1.3. Impuestos especiales 55
D.2.1.2.-La teoría del consumidor. 56
D.2.1.3.-El óptimo del consumo. 57
D.2.2.- Teoría Macroeconómica 58
D.2.2.1.- Función de consumo 58
E.- MATERIALES Y MÉTODOS 61
E.1. Materiales 61
E.2. Métodos. 62
F.- RESULTADOS 63
F.1.- Aplicación de la Determinación de una Ecuación de Demanda 63
F.2.- Aplicación para la Determinación del Ingreso Máximo 64
F.3.- Aplicación al Efecto de los Impuestos sobre el Equilibrio 65

4
F.4.- Aplicación en la Curva de Inferencia 67
F.5.- Aplicación a la Restricción Presupuestal 69
F.6.- Aplicación en la Determinación del Equilibrio en el Análisis 70
del Ingreso Nacional
G.- DISCUSIÓN DE RESULTADOS 72
H.- REFERENCIAS 76
I.- APÉNDICE 79
Anexo 83

5
B) RESUMEN
,
El objetivo de la investigación fue demostrar cómo la Geometría Analítica puede ser
útil en la solución de variados tipos de problemas de economía. Y de ésta manera,
ayudar a los estudiantes de Economía a llenar el vacío que existe para su fácil y mejor
aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos básicos necesarios y su
aplicación hacia la especialidad, de tal manera que les permita disponer de una
herramienta de trabajo práctico y comprensible. Esto también es importante para los
profesores de la facultad, que tendrán algún material ional para desarrollar el
curso de Matemática Básica en su primera parte, en forma entendible de tal manera
que se pueda brindar atención en el capítulo de la Geometría Analítica.
Efectivamente, el Informe Final de nuestra investigación muestra seis
aplicaciones de la Geometría Analítica a la economía: Aplicación de la
Determinación de una Ecuación de Demanda, Aplicación para la Determinación del
Ingreso Máximo, Aplicación al Efecto de los Impuestos obre el Equilibrio,
Aplicación en las Curva de Inferencia Aplicación a la Restricción Presupuestal,
Aplicación en la Determinación del Equilibrio en el Análisis del Ingreso Nacional
En el presente trabajo de investigación se estudiaran funciones vectoriales
en el espacio tridimensional, así como la aplicación del cálculo diferencial a los
mismos. La ventaja de este espacio es que es posible dar interpretaciones geométricas
de los conceptos y las relaciones, aunadas a los aspectos algebraicos.

6
C) INTRODUCCIÓN.
1. DESCRIPCIÓN Y ANÁLISIS DEL TEMA
Nadie discute ya la importancia que tiene la matemática para las ciencias en general y,
en particular, para la economía. No sólo porque le permite expresar de manera rigurosa
las ideas, hipótesis o teorías, sino también porque la formalización de las propuestas
económicas es un paso previo par intentar su medición, conteo o cuantificación, según
el tipo de variable que corresponda (continua o discreta).
Sin embargo, es también importante recordar que la mayoría de aplicaciones
matemáticas se pueden presentar de manera sencilla e intuitiva a través de gráficas en
dos dimensiones o, hasta en tres dimensiones, que permiten abordar en forma didáctica
la enseñanza de la economía y también que los estudiantes den sus primeros pasos en el
análisis económico, utilizando estos gráficos sencillos.
En ese sentido es irremplazable la geometría analítica que da a los estudiantes todas las
herramientas para aplicarlas a la representación gráfica rigurosa de las funciones
matemáticas que utiliza la economía y le permiten “visualizar” los problemas que
plantea la economía a través de sus modelos.
Lamentablemente son muy pocos los libros de Geometría ica que hay en el
mercado, la mayoría de los libros son de Cálculo, despreciando la importancia del
análisis gráfico. Por eso consideramos necesario contar con un material didáctico
funcional acorde con los objetivos y plan silábico de Facultad de Ciencias
Económicas que reúna las herramientas básicas de la Geometría Analítica y sus
principales aplicaciones a la economía.

7
2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
¿Es necesario conocer las aplicaciones de la geometría analítica a la economía?
3. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL
El objetivo general de esta investigación es elaborar texto sobre las principales
aplicaciones de la geometría analítica a la economía de manera tal que sirva de fuente
consulta sobre el particular, tanto a los estudiantes o a los profesores de la Facultad
de Ciencias Económicas de la Universidad Nacional del Callao.
OBJETIVOS ESPECIFICOS
Ayudar al estudiante de Economía a llenar el vacío que existe para su fácil y mejor
aprendizaje, desarrollando y analizando los conceptos sicos necesarios de geometría
analítica y su aplicación a la especialidad, de tal manera que les permita disponer de una
herramienta de trabajo práctico y comprensible.
4. ALCANCE DE LA INVESTIGACION
El presente trabajo de investigación es una investigación básica de las principales
aplicaciones de la Geometría Analítica a la economía, de gran utilidad para los
docentes y estudiantes de la Facultad de Ciencias Económicas.
5. IMPORTANCIA Y JUSTIFICACION DE LA INVESTIGACION
En años recientes ha existido un interés creciente por la aplicación de la Matemática a la
Economía. Sin embargo, puesto que la economía involucra muchos factores
impredecibles, tales como decisiones sicológicas o políticas, la formulación matemática
de sus problemas es difícil. Se debería hacer énfasis que, como en los problemas de

8
ciencia e ingeniería, cualquier resultado obtenido teóricamente debe finalmente ser
probado ala luz de la realidad. La Geometría Analítica no se da como un curso separado
en la carrera de economía, sino como un capítulo que no le da la verdadera importancia
que debería tener para la economía. Resolver este vacío favorecería a más de mil
estudiantes de nuestra facultad que se beneficiarían con un proyecto como el que me
propongo desarrollar, que les sirva de una verdadera guía para aprovechar la geometría
analítica en sus aplicaciones principales a la economía. Lamentablemente, no abundan
los libros de Geometría Analítica, sino que es una parte irrelevante de los libros de
Cálculo. Menos aún, existen libros de aplicación de la Geometría Analítica a la
economía.
De ahí la necesidad de elaborar un documento ágil, breve y claro que contenga las
principales aplicaciones de la Geometría Analítica a la Economía lo que redundará en
beneficio de los alumnos y profesores de la Facultad de Economía de la Universidad
Nacional del Callao.
6. ANTECEDENTES TÉCNICOS Y DATOS VINCULADOS A LA
INVESTIGACIÓN
Referente a la geometría Analítica, no existen autores nacionales que hayan
desarrollado este tema, y muy pocos autores extranjeros que traten en extenso este tema
. Menos aún existen textos con aplicaciones de la Geometría Analítica a la Economía.
La mayoría son libros de Cálculo que no dan a la Geometría Analítica la importancia
que tiene para los economistas y sólo reservan un pequeño espacio para su tratamiento.
A manera de referencia, señalamos los libros que se utilizan para el dictado de los

9
cursos de matemática, en los cuales la importancia que se da a la geometría analítica es
mínima.
1. ALPHA C, Chian. Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Colombia .
Mc Graw-Hill. 2001
2. ARYA JAGDISH, C. Matemáticas aplicadas a la administración y a la economía.
México. Prentice Hall Hispanoamericana. 1992.
3. AYRES, Jr., Frank. Cálculo Diferencial e Integral. Colombia. Mc Graw-Hill. 1973.
4. BEER, Gerald Alan. Matemáticas Aplicadas para Economía y Negocios. España.
Prentice Hall. 1998.
5. CABALLERO FERNANDEZ, R. Métodos matemáticos para la economía. Mc Graw
– Hill. 1992.
6. FIGUEIREDO, D. Ecuaciones diferenciales aplicadas. ión matemática
Universitaria. IMPA, Río de Janeiro, Brasil. 2001.
7. HAEUSSLER, Ernest F, Jr y RICHARD S., Paul. Matemáticas para
Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la vida. Máxico. Prentice Hall. 1997.
8. HUANG, David S. Introducción al uso de la matemática en el análisis económico.
México. Siglo Veintiuno Editores S.A. 1970.
9. LEITHOLD, Louis. El cálculo con geometría analítica México. Harper&Row
Latinoamericana. Segunda Edición 1973.
10. LIPSCHUTZ, Seymour. Álgebra Lineal. Editorial Mc Graw – Hill. Latinoamericana
S.A. Colombia. 1985.

10
11. LUDLOW – WIECHERS, Jorge A. Economía Matemática I ( La caja de
herramientas, los instrumentos para pensar). México. Editorial LIMUSA, S.A de C.V.
1987.
12. PINZÓN ESCAMILLA, Álvaro. Cálculo Diferencial. México. Harper & Row
Latinoamericana. 1981.
13. WEBER, Jean E. Matemática para Administración y Economía. México. Prentice
Hall. 1998.
14. YAMANE, Taro. Matemáticas para Economistas. Barcelona. España. Ediciones
Ariel S.A. 1972.

11
D) MARCO TEÓRICO
D.1 Teoría Matemática
D.1.1.- Sistema Coordenado Bidimensional
Fig. 3.1
El sistema coordenado rectangular o Cartesiano en el plano está formado por dos
rectas perpendiculares entre sí, que se interceptan en el punto “O”, llamado origen del
sistema de coordenadas (ver figura 3.1)
La recta horizontal se llama eje X o eje de abscisas.
La recta vertical se llama eje Y o eje de ordenadas.
La orientación del eje X es positiva hacia la derecha “O” y negativa hacia la
izquierda de “O”.
La orientación del eje Y es positiva hacia arriba de “O” y negativa hacia debajo de “O”.
origen Onegativa
x
y
P(x, y)
A
B
Y
X
eje Y o eje de
ordenadas (positiva)
negativa
eje X o eje de
abscisas (positiva)
II I
IVIII

12
Los ejes también se denominan ejes de coordenadas.
Estos ejes coordenados dividen al plano en 4 regiones lamados cuadrantes, numerados
así: I, II, III y IV, tal como se observa en la figura 3.1
Ahora asociamos un par ordenado de números reales (x, y) con un punto P del plano.
Sea P un punto del plano, desde P se trazan rectas perpendiculares a los ejes X e Y.
Sean A y B los puntos de intersección de estas rectas con los ejes X e Y
respectivamente. La distancia dirigida del segmento se representa por el número x y
la distancia dirigida del segmento se representa por el número y. Estos dos números
reales x e y forman un par ordenado (x,y) que correspo al punto P. Recíprocamente,
dado el par ordenado de números reales (x,y), trazando rectas paralelas a los ejes
coordenados, pasando por los puntos correspondientes a los números x e y hallamos el
único punto P. (ver figura 2.1).
De esta manera, identificamos al punto P con el par ordenado de números reales (x, y)
y denotamos con: P(x, y).
Se dice que el par (x, y) es la coordenada rectangular en el plano, establece una
correspondencia biunívoca entre cada punto P del plano y un par ordenado de números
reales (x, y).
El plano cartesiano XY se define como el conjunto
La localización de un punto por medio de sus coordenadas se llama trazado del punto.
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D.1.1.1.- Plano Cartesiano
Definición 1.-

13
D.1.1.2.- Distancia entre dos puntos
Teorema 1.- d
d =
Ejemplo:
Solución
D.1.1.3.- División de un segmento en una razón dada
Teorema 1.- ,
Observación 1.
Si y , entonces la distancia entre los puntos
y está dada por:
d( ) =
La ordenada del punto A es -1 y su abscisa es mayor que 5, si la distancia de
A al punto B (4,3) es 5, hallar la abscisa de A.
Sea A(x,-1), B (4, 3),
Como d(A, B) = entonces
, de donde
o bien
luego
Si y son los extremos de un segmento entonces
las coordenadas de un punto P que divide a este segmento en la razón dada
están dadas por
Si el punto de división P es externo al segmento dirigido , entonces
la razón r es negativa.
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14
D.1.1.4.- Punto Medio de un segmento
Corolario 1.-
Observación 2.
D.1.1.5.- Baricentro de un triángulo en función de las coordenadas de sus Vértices
Baricentro de un triángulo.-
Teorema 2.
Ejemplo.-
Si y son los extremos de un segmento . Si
es el punto medio , entonces se tiene
El corolario 1 es un caso particular del Teorema 1, cuando la razón
.
Se llama baricentro de un triángulo de intersección de las
tres medianas.
Las medianas de un triángulo se interceptan en uno de sus puntos de trisección el más
lejano al vértice.
Si , y son los vértices de un triángulo y si
es su baricentro entonces sus coordenadas están dadas por
Los vértices de un triángulo son los puntos , y ,
hallar las coordenadas del baricentro
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15
D.1.2.- La Ecuación Lineal en dos variables: Línea Recta
D.1.2.1.- Ángulo entre dos rectas
Fig. 3.2 Fig. 3.3
D.1.2.2.- Ángulo de inclinación de una recta
Y L
X
Fig. 3.4
Sean y dos rectas dirigidas (no paralelas) con punto de intersección común O; al
ángulo formado por los dos rayo, con origen O, y que están dirigidas igual que y
se le denomina ángulo entre dos rectas.
En las figuras 3.1 y 3.2, ? y ? son ángulos entre las rectas y
Se llama ángulo de inclinación de la recta L, al ángulo ? formado por la parte positiva
del eje X y la recta L, donde L
? Len sentido antihorario (ver figura 3.4)
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O
O
O

16
D.1.2.3.- Pendiente de una recta
Observaciones:
1.
2.
3.
Teorema.-
Ejemplo.-
Solución.
D.1.2.4.- Ángulo entre dos rectas.
Se denomina pendiente de una recta L, no paralela al eje Y, a la tangente de su ángulo
de inclinación y se denota por:
Si es agudo entonces es positivo
Si es obtuso entonces es negativo
Si Lentonces L i (no existe)
Si la recta L no paralela al eje Y pasa por los puntos y ,
entonces su pendiente está dada por:
Hallar el ángulo que forma con el eje X, la recta L que pasa por los puntos
y .
Como entonces L.
Sean y dos rectas que se interceptan en el punto P y el ángulo que forma estas dos
rectas es d (ver figura 3.5)
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17
Fig. 3.5
D.1.2.5.- Cálculo del ángulo entre dos rectas
Teorema 2.-
Fig. 3.6
La recta a partir de la cual se mide el ángulo d se llama recta inicial y su pendiente se
llama pendiente inicial; la recta hacia la cual se dir al ángulo d se llama recta final y
su pendiente se denomina pendiente final.
Sean recta inicial con pendiente inicial , y la recta final con
pendiente final y si d es el ángulo formado por las rectas y , entonces se tiene.
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P
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X
Y
X

18
Ejemplo.-
Solución:
D.1.2.6.- Rectas paralelas y Perpendiculares
Fig. 3.7 Fig. 3.8
Encuentre la tangente del ángulo entre las rectas cuyas pendientes son y .
Sea y , por el Teorema 2 se tiene
d
Por tanto:
d
Sean las rectas con pendiente y con pendiente , entonces
1. es paralela a si y solo sí sus pendientes son iguales.
n forma simbólica: // (ver fig. 3.7)
2. es perpendicular a si y solo sí el producto de sus pendientes es igual a -1.
n forma simbólica: (ver fig. 3.8)
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X
Y
X
Y

19
Ejemplo:
Solución:
D.1.2.7.- Línea Recta.
Definición de la Línea Recta.-
Observación.-
D.1.2.8.- Formas de la ecuación de la recta
Forma punto y pendiente.-
L:
Demostrar que la recta que pasa por los puntos (-2,5) y (4,1) es perpendicular
a la recta que pasa por los punto (-1,1) y (3,7).
Sea que pasa por (-2,5) y (4,5) entonces y que
pasa por (-1,1) y (3,7) entonces es su pendiente.
Luego = -1
Por tanto: es perpendicular a
Llamaremos línea recta al conjunto de puntos tales que
tomados dos puntos diferentes cualesquiera y del conjunto, el valor
de la pendiente , es siempre constante.
Una línea recta, analíticamente, es una ecuación de primer grado en dos
variables; y recíprocamente, la gráfica de una ecuación de primer grado en dos variables
es una recta.
La recta que pasa por el punto y cuya pendiente
es m, tiene por ecuación
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20
Ejemplo.-
Solución.-
Ejemplo.-
Solución.-
D.1.2.9.- Distancia de un punto a una recta
Teorema 3.- d
Fig. 3.9
Ejemplo.-
Solución.-
Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto y cuya
pendiente es m = .
Como m = y L pasa por se tiene
L:
Una recta pasa por el punto y forma con el eje X un ángulo de ,
hallar su ecuación.
Como m = L y L pasa por entonces se tiene
L:
La distancia entre el punto y la recta L de ecuación
, o esta dada por
Hallas la distancia entre el punto P (5,-2) y la recta L: 4x + 3y - 4 = 0.
Usando el Teorema 3 se tiene
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Ver fig. 3.9

21
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Por tanto, d (P, L) = 2.
Sea C (h, k) un punto fijo de y una constante. Se denomina
circunferencia de centro C y radio r, al conjunto de puntos , tales que la
distancia de P a C es igual a r.
Simbólicamente
En la figura 3.10 se muestra sus elementos
1) Centro : C punto fijo
2) Radio : r
3) Diámetro : segmento que pasa por el centro C
4) Cuerda : segmento que une dos puntos cualesquiera de la
circunferencia
5) Recta Tangente: T
Recta Normal : N
D.1.3.- La Circunferencia
Definición.-
D.1.3.1.- Elementos de la circunferencia
6)
T
N
E
BA
r
C
T
FIG. 3.10

22
D.1.3.2.- Formas de la Ecuación de la Circunferencia.
1) Forma Ordinaria
Teorema.-
2) Forma Canónica
Corolario.-
Ejemplo:
3) Forma General
La circunferencia cuyo centro es el punto C (h, k) y radio r, tiene por
ecuación:
La circunferencia de centro C (0,0) y radio r, tiene por ecuación.
Una circunferencia tiene su centro en el punto C(-2,4) y para por la
intersección de las rectas y .
Hallar su ecuación.
Desarrollando la ecuación ordinaria
(1)
Se tiene
(2)
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23
En (2) haciendo D = -2h, E = -2k, F = se obtiene
(3)
La cual es llamada forma general de la ecuación de la circunferencia.
Ahora, cabe preguntarse, si toda la ecuación de la forma
(4)
Representa una circunferencia.
Cuando una circunferencia y una recta se interceptan en un solo punto, llamado punto
de tangencia, se obtiene una ecuación de segundo grado de la forma
(1), entonces para que haya tangencia, el discriminante de la ecuación (1) debe ser igual
a cero, es decir .
Sea una recta fija y F un punto fijo de tal que . La parábola
es el conjunto de puntos tales que la distancia de P a es igual a la
distancia de P a F.
Simbólicamente
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D.1.3.3.- Condición de Tangencia
D.1.4.- La Parábola
Definición.- l l
l
l

24
La recta fija se llama directriz y el punto fijo F foco de la parábola.
La gráfica de la parábola se muestra en la figura (3.11)
Directriz: recta fija
Foco: F punto fijo
Eje de la parábola o eje focal.- Es la recta que pasa por F y es perpendicular a
( ).
Vértice: V punto medio de , donde A es el punto de intersección de y ,
.
Cuerda.- Segmento que une dos puntos diferentes de la parábola tal como '
Cuerda focal.- Cuerda que pasa por F tal como '
l
l
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Fig. 3.11
D.1.4.1.- Elementos de la Parábola
a.
b.
c.
d.
e.
f.
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F
P(x, y)

25
g.
h.
i.
j.
Lado recto.- Cuerda focal tal que
Radio focal o vector.- Es el segmento que une el foco con cualquier punto de la
parábola, tal como .
Recta tangente.- Recta T hace contacto con en un solo punto tal como Q.
Excentricidad
l
, razón constante
Todos los elementos se muestran en la figura 3.12
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C
B
A
FIG. 3.12

26
D.1.4.2.- Formas de la Ecuación de la Parábola
a. Forma Canónica
Teorema.-
Fig. 3.13
Observaciones:
La parábola de vértices V (0,0) y eje focal el eje X, foco el punto
F(p,0) y directriz la recta , tiene pos ecuación:
La gráfica se muestra en la figura 3.13
Si , la parábola se abre hacia la derecha.
Si la parábola se abre hacia la izquierda.
La longitud del lado recto es LR = |4p|.
d (V, F) = |p|, es la distancia del vértice al foco.
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•
•
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X
F (p, 0)
P (x, y)
L
V (0, 0)
R
x + p = 0
Y

27
Teorema.-
Fig. 3.14
Observaciones:
Ejemplo.-
Solución:
La parábola de vértice V (0, 0) y eje focal el eje Y, foco el punto F (0, p) y
directriz la recta , tiene por ecuación.
Si , la parábola se abre hacia arriba.
Si la parábola se abre hacia abajo.
LR = | 4p |.
d (V, F) = | p |
Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud del
lado recto de la parábola
Como 4p = 12 y F (3, 0), ; LR = | 4 (3) | = 12.
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•
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X
Y
F (0, p)
P
L
V (0, 0)
R
y + p = 0

28
b. Forma Ordinaria
Teorema.-
Observaciones:
Fig. 3.15
La parábola de vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje X, tiene por
ecuación.
Donde, el foco es F (h + p, k), la directriz es y d (V, F) = |p| es la
longitud del segmento entre F y V.
Si , la parábola se abre hacia la derecha.
Si la parábola se abre hacia la izquierda.
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•
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Y
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0
X
F (h + p, k)
L
V (h, k)
R
x + p = 0

29
Teorema.-
Observaciones:
Fig. 3.16
La parábola de vértice V (h, k) y eje focal paralelo al eje Y, tiene por
ecuación.
Donde, el foco es F (h, k + p), su directriz
Si , la parábola se abre hacia arriba.
Si la parábola se abre hacia abajo.
d (V, F) = |p|
Por los dos Teoremas anteriores, la longitud del lado recto es LR = |4p|.
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•
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X
Y
F (h, k + p)
L
V (h, k)
R
y = k - p

30
c. Forma General
Observación.-
D.1.5.- La Elipse
Definición.-
i. Desarrollando la ecuación ordinaria , se tiene
(1)
En (1) haciendo D = - 4p, E = - 2k y F = se obtiene
ii. Desarrollando la ecuación ordinaria se obtiene la
forma general de la ecuación de la parábola
Para obtener sus elementos de las ecuaciones (i) o (ii) se
completa cuadrados, llevando a la forma ordinaria.
Sean y dos puntos fijos de . Una elipse es el conjunto de puntos
tales que la suma de las distancias de P a los puntos y es igual una
constante.
Los puntos fijos y se llaman focos de la elipse.
Denotemos con a la elipse y escribimos la definición en forma simbólica
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Tal como se muestra en la figura 3.17
En la figura 3.18 se muestran los siguientes elementos.
a) Focos: y los dos puntos fijos.
b) Eje focal: la recta que pasa por y
c) Centro: C punto medio de
d) Eje normal: la recta que pasa por C y es perpendicular a ( ).
e) Vértices: y puntos que el eje focal intercepta a la elipse.
f) Eje mayor: segmento de recta comprendido entre y .
g) Eje menor: segmento de recta comprendido entre y .
h) Cuerda: segmento de recta que une dos puntos diferentes de la elipse A y
i) Cuerda focal: cuerda que pasa por uno de los focos.
j) Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal ( ).
k) Diámetro: cuerda que pasa por C.
l) Radio vector: ó segmentos que unen los focos con un punto P
cualquiera de la Elipse.
Fig. 3.17
D.1.5.1.- Elementos de la Elipse
P

32
Fig. 3.18
D.1.5.2.- Formas de la Ecuación de la Elipse
I. Forma Canónica
Teorema.- Una Elipse de centro C (0, 0), eje focal el eje X, y focos los
puntos y tiene pos ecuación:
donde los vértices son los puntos , , , y
es la longitud del eje mayor.
es la longitud del eje menor, a, b y c están relacionados por
.
es la longitud del lado recto.
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33
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es la excentricidad.
Tal como lo muestra la figura 3.19
La Elipse de centro C (0,0), eje focal el eje Y, y focos los puntos
y tiene pos ecuación:
donde los vértices son los puntos , , , .
También es la longitud del eje mayor.
es la longitud del eje menor, .
Fig. 3.19
Teorema.-
R (c, )
Y
L (c, )
P (x, y)
X
C (0, 0)

34
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La ecuación de la elipse de centro C (h, k) y eje focal paralelo al
eje X, está dada por
Donde:
Fig. 3.20
II. Forma Ordinaria
Teorema.-
R
Y
L
P (x, y)
X

35
•
•
•
•
•
•
•
•
Los vértices son los puntos , , y
Los focos son los puntos: y
Ecuación del eje focal es y = k.
La ecuación de la elipse de centro C (h, k) y eje focal paralelo al
eje Y, está dada por
Donde:
Los vértices : , B
Los focos son:
Ecuación del eje focal es x = h.
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Fig. 3.21
Teorema.-
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Y
P(x, y)
X
C

36
Fig. 3.22
Observación.-
III. Forma General
Para cada elipse de los teoremas anteriores se cumple:
es la longitud del eje mayor.
es la longitud del eje menor.
c es la distancia del centro C (h, k) al foco F (c = d(C, F))
a, b y c están relacionados por .
La longitud del lado recto es .
La excentricidad e está dada por .
De la forma ordinaria de la ecuación de la elipse
(1)
•
•
•
•
•
•
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Y
P (x, y)
X

37
Si quitamos denominadores, desarrollamos, transponemos y ordenamos
términos, se obtiene
(2)
En (2) haciendo
, , D = -2h , E = -2k , F =
Se obtiene
(3)
La cual es llamada forma general de la ecuación de la elipse.
Los coeficientes A y C deben tener el mismo signo.
Recíprocamente, sea la ecuación de la forma
(4)
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38
Para saber si la ecuación (4) representa la elipse, se completa cuadrados,
llevando a su forma ordinaria. Así tenemos:
, (5) donde
Si M > 0, la ecuación (4) representa una elipse de centro
Si M = 0, la ecuación (4) representa el punto
Si M < 0, (4) es el conjunto vacío.
Una discusión semejante se aplica a la otra forma ordinaria de la ecuación de
la elipse. Por tanto se tiene el siguiente teorema
Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación
Representa una elipse de ejes paralelos a los ejes coordenados, o bien un
punto o el conjunto vacío.
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•
Teorema.-

39
D.1.5.3.- Ecuación de la Tangente a una Elipse
Vamos a determinar la ecuación de la recta tangente a lipse
(1)
En un punto de dicha elipse.
La ecuación de la recta tangente buscada es de la forma
o bien (2)
en donde está por determinarse la pendiente m.
Reemplazando (2) en (1) se tiene
Desarrollando se obtiene una ecuación de segundo grado en x, en la forma general
Se aplica la condición de tangencia, es decir
Y se obtiene el valor de m, luego se reemplaza en (2) ose así la ecuación de la
recta tangente a la elipse en el punto .
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40
D.1.6.- La Hipérbola
Definición.-
Fig. 3.23
D.1.6.1.- Elementos de la Hipérbola
Sean y dos puntos fijos de . Una hipérbola es el conjunto de
puntos tales que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias de P
a los puntos y es igual una constante.
Los puntos fijos y se llaman focos de la hipérbola.
Denotemos con a la elipse y escribimos la definición en forma simbólica
La gráfica de la hipérbola se muestra en la figura 3.23
En la figura 3.17 se muestra los elementos de la hipérbola
a) Focos: y los dos puntos fijos.
b) Eje focal: la recta que pasa por y
c) Centro: C punto medio de
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C

41
d) Eje normal: la recta que pasa por C y es perpendicular a ( ).
e) Vértices: y puntos que el eje focal intercepta a la elipse.
f) Eje transverso: segmento de recta comprendido entre y .
g) Eje conjugado: segmento ubicado en el eje normal que tiene a C como
punto medio.
h) Cuerda: el segmento de recta que une dos puntos diferentes cualesquiera de una
rama de la hipérbola tal como ' se denomina cuerda.
i) Cuerda focal: cuerda que pasa por uno de los focos.
j) Lado recto: cuerda focal perpendicular al eje focal ( ).
k) Diámetro: ' cuerda que pasa por C.
l) Radios vectores: ó segmentos que unen los focos con un punto P
cualquiera de la Hipérbola.
m) Asíntotas: Las rectas a y a’, que pasan por C.
La ecuación de la hipérbola centro C(0,0), eje focal el eje X, y
focos los puntos y tiene está forma:
donde los vértices son los puntos , en el eje transverso y
, en el eje conjugado.
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D.1.6.2.- Formas de la Ecuación de la Hipérbola
a) Forma Canónica
Teorema.-

42
Además: es la longitud del eje transverso.
es la longitud del eje conjugado.
a, b y c están relacionados por .
Tal como se muestra en la figura 3.24
La ecuación de la hipérbola centro C (0,0), eje focal el eje Y, y
focos los puntos y tiene está forma:
donde los vértices son los puntos , en el eje transverso y
, en el eje conjugado.
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Fig. 3.24
Teorema.-
R (-c, )
L (-c, )
R (c, )
Y
L (c, )P (x, y)
XC (0, 0)

43
También: es la longitud del eje transverso.
.
La ecuación de la hipérbola de centro C (h, k) y eje focal paralelo al
eje X, está dada por
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Fig. 3.25
b) Forma Ordinaria
Teorema.-
R
Y
L
X

44
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Donde:
Los focos son los puntos: y
Ecuación del eje focal es y = k.
La ecuación de la hipérbola de centro C (h, k) y eje focal paralelo al
eje Y, está dada por
Donde:
•
•
•
Fig. 3.26
Teorema.-
C (h, k)
X
Y

45
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Los focos son los puntos y
Ecuación del eje focal es x = k.
Para las hipérbolas de los teoremas anteriores se cumple:
es la longitud del eje transverso.
c es la distancia del centro a cada uno de los focos.
.
La longitud del lado recto es .
La excentricidad e está dada por .
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Fig. 3.27
Observación.-
C (h, k)
X

46
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Las asíntotas de la hipérbola se obtienen haciendo cero el segundo miembro de
cada ecuación de la hipérbola, esto es para el primer teorema de la forma
ordinaria.
de donde se tiene
o bien son las ecuaciones de las asíntotas.
De igual forma para el segundo teorema de la forma ordinaria, se
tiene:
de donde se tiene las ecuaciones de las asíntotas
son las ecuaciones de las asíntotas.
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fig. 3.28
Asíntota
Asíntota
C (h, k)
X
Y

47
Fig. 3.29
c) Forma General
De la forma ordinaria de la ecuación de la elipse
(1)
Si quitamos denominadores, desarrollamos, transponemos y ordenamos
términos, se obtiene
(2)
En (2) haciendo
, , D = -2 , E = -2 , F =
Se obtiene
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g? ?k?
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asíntota
asíntota
C (h, k)
X
Y

48
(3)
La cual es llamada forma general de la ecuación de la hipérbola.
Los coeficientes A y C son de signo contrario, esto es A.C < 0.
Recíprocamente, sea la ecuación de la forma
(4)
Para saber si la ecuación (4) representa la hipérbola, se completa cuadrados,
llevando a su forma ordinaria. Así tenemos:
(5)
Si M 0, la ecuación (4) representa una elipse de centro
Si M = 0, la ecuación (4) representa dos rectas que se interceptan en el punto
Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación
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Teorema.-

49
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G
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G
k ? ? ? ?
g
G
k
Representa una hipérbola de ejes paralelos a los ejes coordenados X e Y, o un
par de rectas que se interceptan.
Las ecuaciones de las asíntotas de la hipérbola, se obtiene haciendo cero el segundo
miembro de cada ecuación dada en los dos primeros teoremas sobre la hipérbola.
Si
Entonces
de donde se tiene
Lo cual nos da
que son las ecuaciones de las asíntotas.
Sea la hipérbola cuyos ejes transverso y conjugado son de igual longitud, esto es
2a = 2b o bien a = b, entonces la ecuación
D.1.6.3.- Asíntotas de la Hipérbola
D.1.6.4.- Hipérbola Equilátera

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k?
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Tiene la forma
, de donde (1)
Debido a la igualdad de sus ejes, la hipérbola (1) se lama hipérbola equilátera, donde
los vértices son y los focos . En (1) haciendo cero el segundo
miembro, se obtiene las asíntotas de la hipérbola equi era, esto es
Como estas rectas son perpendiculares, resulta que las asíntotas de una hipérbola
equilátera son perpendiculares entre sí. Por esta razón la hipérbola se llama hipérbola
rectangular.
Una forma simple y útil de la ecuación de la hipérbola equilátera es:Observación.-
x = y
x + y = 0
(0, a)
(a, 0)
(0,-a)
(-a, 0)
X
Y
FIG. 3.30

51
(2)
Las asíntotas de esta hipérbola son los ejes coordenados X e Y, pues
La gráfica se muestra en la figura 3.31.
Si las asíntotas son paralelas a los ejes coordenados y C(h, k) es el centro
de la hipérbola, entonces la ecuación (2) se puede escribir de la forma
(3)
La gráfica se indica en la figura 3.32
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HiH? ? HiHk
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k? ? #_ # ? ?
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Observación.
C > 0
x = 0 asíntota
y = 0 asíntota0
C < 0
X
Y
Fig. 3.31

52
:
La ley de la oferta y la demanda son dos de las relac fundamentales en
cualquier análisis económico. La cantidad de cualquier artículo que será adquirida
por los consumidores depende del precio en que el articulo este disponible. Una relación que
especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores están dispuestos a
comprar, a varios niveles de precios, se denomina . La ley más simple
es una relación del tipo.
(1)
en donde es el precio por unidad del articulo y y son constantes. La grafica de una ley
de demanda se llama la . Obsérvese que se ha expresado en términos de
. Estos nos permite calcular el nivel de precio en que cierta cantidad puede venderse.
D.2.- Teoría Económica.
D.2.1. Teoría Microeconómica
D.2.1.1.- El sistema de mercado.
D.2.1.1.1. Oferta y demanda
la ley de la demanda
curva de demanda
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C (h, k)
C > 0
0
C < 0
X
Y
Fig.3.32

53
0
b
0
Curva de demanda lineal
(a)
Curva de oferta lineal
(b)
Es un hecho perfectamente conocido que si el precio por unidad de un articulo aumenta,
la demanda por el articulo disminuye, porque menos con midores podrán adquirirlo,
mientras que si el precio por unidad disminuye (es decir, el articulo se abarata) la demanda se
incrementará.
la ecuación tiene una inclinación que
baja hacia la derecha, como se aprecia en la parte (a) de la figura25. Puesto que le precio
por unidad y la cantidad demanda no son números negativos, la grafica de la ecuación (1)
sólo debe dibujarse en el primer cuadrante.
La cantidad de un artículo determinado que sus proveedores están dispuestos a
ofrecer depende del precio al cual puedan venderlo. Una relación que especifique la cantidad
de cualquier artículo que los fabricantes(o vendedores) puedan poner en el mercado a varios
precios se denomina
La grafica de una ecuación de la oferta(o ley de la oferta) se conoce como
. En general, los proveedores inundarán el mercado con una gran cantidad de artículos,
si pueden ponerle un precio alto, y con una cantidad más pequeña
En otras palabras, la pendiente de la relación de demanda de la
ecuación (1) es negativa. De modo que la gráfica de
ley de la oferta.
curva de la
oferta
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FIGURA 3.33

54
0
Oferta
Punto de equilibrio del mercado
Demanda
Fig. 3.34
de artículos si el precio obtenido es más bajo. En otras palabras, la oferta aumenta al subir el
precio. Una curva de demanda lineal típica aparece en la parte (b) de la figura 3.33. El precio
corresponde a un precio bajo del cual los proveedores no ofrecerán el articulo.
Si el precio de cierto articulo es demasiado alto, los consumidores no lo adquirirán,
mientras que si es demasiado bajo, los proveedores no venderán. En un mercado
competitivo, cuando el precio por unidad depende solo las cantidad demandada y de la
oferta, siempre existe una tendencia del precio a ajustarse por si mismo, de modo que la
cantidad demandada por los consumidores iguale la cantidad que los consumidores están
dispuestos a ofrecer. Se dice que ocurre en un precio
cuando la cantidad demandada es igual a la cantidad ofrecida. Esto corresponde al punto de
intersección de las curvas de la oferta y la demanda.
Algebraicamente, el precio de equilibrio del mercado y la cantidad de equilibrio
se determina resolviendo las ecuaciones de la oferta y la demanda simultáneamente para y
. Notemos que el precio y la cantidad de equilibrio sólo tienen cuando no son
negativas.
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D.2.1.1.2. Punto de equilibrio del mercado:
el punto de equilibrio del mercado

55
D.2.1.1.3. Impuestos especiales:
Con frecuencia. el gobierno grava con impuestos adicionales ciertos artículos con el
propósito de obtener más ingresos o dar más subsidios a los productores para que hagan
accesibles estos artículos a los consumidores a precios razonables. Consideraremos el efecto
de un impuesto adicional o subsidio sobre el punto de equilibrio del mercado con las
suposiciones siguientes.
1. La cantidad demandada por los consumidores sólo depende del precio; es decir, que la
ecuación de la demanda no cambia.
2. La cantidad ofrecida por los proveedores está determinada por el precio recibido por
ellos. El precio recibido por el proveedor es igual al precio pagado por el consumidor
menos la cantidad gravada. Si denota el precio aceptado por unidad por el proveedor
y si con denotamos el impuesto por unidad, entonces la cantidad pagada por unidad
por el consumidor es
Ejemplo:
La ley de la demanda para cierto artículo es y la ley de oferta es
. ¿Qué subsidio provocará que la cantidad demandada se incremente en
dos unidades?
Solución :
Sea el subsidio por unidad paras elevar el punto de equilibrio de la demandada de
25 a . Entonces la ecuación de la oferta conforme a un subsidio de
unidades está dada por:
.
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56
(En este caso , en donde es el precio del mercado y es el precio
recibido por los proveedores). La ecuación de la demanda permanece sin cambio, y
haciendo que y tomen el lugar de y respectivamente, nos da
Dado que , sustituimos este valor en la ecuación
Por lo tanto . Sustituyendo ahora y obtenemos
.
En consecuencia, . Un subsidio de 24 por unidad incrementará la demanda en
2 unidades
El análisis económico de la conducta humana en el trabajo, en los mercados de bienes
y servicios, en el mercado de servicios laborales, en mercados financieros y en las
transacciones que se realizan entre unos y otros en situaciones tanto sociales como
económicas, están basado en la idea de que nuestra conducta puede entenderse como una
respuesta a la escasez.
Todo lo que hacemos puede entenderse como una elección que maximiza la utilidad, la
cual esta sujeta a las restricciones impuestas por nuestros recursos limitados y por la
tecnología. Si las preferencias de los individuos permanecen estables frente a las cambiantes
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D.2.1.2.-La teoría del consumidor.

57
restricciones, entonces, contamos con una oportunidad de predecir su respuesta ante un medio
en evolución.
Muchos economistas han contribuído a que comprendamos la conducta humana pero
tres sobresalen de los demás. Son: Jeremy Bentham (1748 – 1832), William Stanley Jevons
(1835 – 1882) y Gary Becker (1930).
, quien vivió en Londres (y cuyo cuerpo embalsamado se conserva hasta el día
de hoy en un gabinete de cristal en la University of London), fue el primero que utilizó el
concepto de para explicar y describir las elecciones humanas. La diferencia entre
explicación y descripción no era tan marcada en la época de Bentham. Fue fundador de la
seguridad social y abogó por la estabilidad laboral. Los salarios mínimos y los beneficios
sociales como la educación y la atención médica gratuitas.
En sus días, se ganó la fama sobre todo por su proposición (la cual resultó
errónea) de que las fluctuaciones económicas eran provocadas por las manchas solares. Fue
uno de los descubridores del concepto de .
Becker, ha usado las ideas de Bentham y Jevons para explicar una amplia gama de
elecciones humanas incluyendo las decisiones que hacen las mujeres acerca del número de
hijos que tendrán, del tipo del trabajo que realizarán y de cuanto trabajarán.
La clase de conducta que llamamos “racional” se caracteriza por una relación entre dos
conjuntos de datos subyacentes a la decisión de un individuo: sus y sus
El individuo racional dentro de las oportunidades disponibles, decidirá en
tal forma que satisfaga de la mejor manera posible sus Preferencias.
Bentham
utilidad
Jovens
Utilidad Marginal
D.2.1.3.-El óptimo del consumo.
Preferencias
Oportunidades.

58
Línea de Restricción Presupuestal
E
Óptimo de Consumidor
Curva de Indiferencia
M0
L
Haciendo referencia específica a la decisión de consumo y empleando el concepto de
Utilidad, tenemos que: el individuo racional seleccionará de entre sus Oportunidades, la
canasta de bienes o combinación de consumo que maximice su Utilidad. Este proceso de
selección se denomina , la posición a la que llega (la canasta
de consumo elegida) es el .
El Óptimo del Consumidor es la posición en la que maximiza la Utilidad o satisfacción
sujeto a su ingreso limitado (M), es el punto sobre la línea de Presupuesto (LM) que toca la
Curva de indiferencia más alta alcanzable en el punto E (convexa hacia el
origen)
En el punto E, la Línea de Presupuesto es tangente a la curva de indiferencia y en cuyo
caso generalmente estará en el interior del espacio de bienes. Esto se denomina una
. Pero si no existe tangencia, entonces, una u otra de las intersecciones de la Línea de
Presupuesto con los ejes estará sobre la Curva de indiferencia más alta alcanzable. Esto se
denomina una
En el modelo simplificado, que excluye tanto el sector publico como el comercio
exterior, la demanda agregada se compone de las demandas d consumo y de inversión. La
“Optimización del Consumo”
“Óptimo del Consumidor”
Solución
Interior
Solución de Esquina.
D.2.2.- Teoría Macroeconómica
D.2.2.1.- Función de consumo
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Fig. 3.35

59
DAo
Yo Renta, producción Y
DA
0
GRAFICO 3.36
demanda de bienes de consumo no es, en realidad, autónoma, sino que aumenta con la renta:
las familias que tiene rentas más elevadas consumen más que las que tiene generalmente
niveles superiores de consumo total. La relación entre el consumo y la renta se denomina
función de consumo.
Suponemos que la demanda de consumo aumenta con el nivel de renta.
(4)
Esta función de consumo aparece representada en el Grafico 3.36. El nivel de consumo es
proporcional a la renta, ya que por cada incremento de la renta igual a 1 dólar, el consumo
aumenta en 90 centavos. La pendiente de la función de consumo es c. A lo largo de dicha
función, el nivel de consumo aumenta con la renta
El coeficiente es lo suficientemente importante como para tener un nombre especial.
Se llama propensión marginal a consumir o propensión marginal al consumir o
propensión marginal al consumo.
. En nuestro
caso, la propensión marginal a consumir es inferior a unidad, lo que implica que por
La función de consumo.
La propensión marginal a consumir es el
incremento del consumo por cada unidad de incremento de la renta
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C= cY

60
cada dólar de incremento de la renta solo se gasta en nsumo una fracción c, de ese
dólar

61
E) MATERIALES Y MÉTODOS
E.1.- MATERIALES:
Los materiales que utilizamos para cumplir con nuestra investigación fueron de dos
tipos: De ejecución y de impresión.
Los materiales de ejecución fueron los siguientes:
Papel bond 60 gr.
Papel copia.
Papel carbón.
Folders y fasteners.
Engrapadora.
Grapas.
Perforador.
Archivadores.
Lápices y otros materiales de escritorio.
Fotocopias.
Servicio de cómputo para el tipeo.
Otros.
Los materiales de impresión fueron:
Papel bond 60 gr.
Servicio de tipeo.
Servicio de cómputo para la impresión.
Fotocopias.
Anillado.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•

62
E.2.- MÉTODOS:
a. Universo o Cobertura de la investigación.
La investigación tiene que ver con las aplicaciones de la Geometría analítica a la
Economía.
b. Hemos recurrido al método deductivo para captar primero la teoría matemática que
fundamenta la Geometría Analítica y luego a la aplicac de dichos métodos
matemáticos en la solución de problemas de la Economía.
c. Hemos utilizado las técnicas matemáticas apropiadas correspondientes a la Geometría
Analítica para resolver problemas económicos.

63
Curva de demanda
lineal
Pendiente
negativa
Pendiente
positiva
Curva de oferta
lineal
(a) (b)
Estrategias: Ya que la ecuación de demanda es lineal, la curva de demanda debe ser una línea recta.
Tenemos que la cantidad y el precio están relacionados linealmente de tal modo que cuando
, y cuando . Estos datos pueden ser representados en un plano de coordenadas
por los puntos (100,58) y (200,51). Con estos puntos podemos encontrar una
ecuación de la recta, esto es, la ecuación de demanda.
F) FORMULACIÓN DE RESULTADOS
F.1.-APLICACIÓN A LA DETERMINACION DE UNA ECUACION DE
DEMANDA.
Suponga que la demanda por semana de un producto es de 100 unidades cuando el
precio es de s/.58 por unidad, y de 200 unidades si son a s/.51 cada una. Determinar la
ecuación de demanda, suponiendo que es lineal.
Curva de demanda y de oferta lineales.
Solución:
La pendiente de la recta que pasa por (100, 58) y (200, 51) es
.
Una ecuación de la recta (forma punto – pendiente) es
.
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Fig.5.1
Fig. 5.2

64
Estrategia: Para maximizar el ingreso debemos determinar la función de ingreso, . Utilizando la relación
Tenemos
Con la ecuación de demanda podemos expresar en términos de , de modo que sea estrictamente una función
de .
Simplificando, da la ecuación de demanda
Por costumbre, una ecuación de demanda (así como una ecuación de oferta) expresa
en términos de y define una función de . Por ejemplo, la ecuación (1) define como
una función de y es llamada la por el producto.
La función de demanda para un producto es , donde es el
precio (en nuevos soles) por unidad cuando unidades son demandadas (por semana)
por los consumidores. Encontrar el nivel de producción que maximizará el ingreso total
del productor, y determinar ese ingreso.
Solución:
Tenemos
.
Observe que es una función cuadrática de , con a = -2, b =1000 y c =0. Ya que
( parábola que abre hacia abajo), es máximo en el vértice , donde
El valor máximo de esta dado por
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F.2.- APLICACIÓN PARA LA DETERMINACIÓN DEL INGRESO MÁXIMO.
Ingresototal = (precio) (cantidad),

65
125,000
250 500
FIGURA 5.3
Grafica de la función de
ingreso
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Así, el ingreso máximo que el fabricante puede recibir es de $125,000, y ocurre en un
nivel de producción de 250 unidades. La Figura 5.3 muestra la grafica de la función de
ingreso. Sólo la parte para la que y se dibuja, ya que la cantidad y el
ingreso no pueden ser negativos.
Sea la ecuación de oferta para el producto de un fabricante y
suponga que la ecuación de demanda es .
a. Si se carga un impuesto de s/.1.50 por unidad al fabricante, ¿cómo será afectado
el precio de equilibrio original si la demanda permanece igual?
Solución: Antes del impuesto, el precio de equilibrio obtenido resolviendo el
sistema.
Por sustitución
,
F.3.- APLICACIÓN AL EFECTO DE LOS IMPUESTOS SOBRE EL
EQUILIBRIO.

66
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Por tanto, s/.58 es el precio de equilibrio original. Antes del impuesto del
fabricante ofrecía unidades a un precio de por unidad.
Después del impuesto venderá las mismas unidades con el s/.1.50 adicional
por unidad. El precio por unidad será , de modo que la
nueva ecuación de oferta es:
Resolviendo el sistema
Dara el nuevo precio de equilibrio.
El impuesto de s/.1.50 por unidad incrementó el precio de equilibrio en s/.0.70
(ver la Figura 5.4). Observe que también existe una disminución en la cantidad

67
200100
51.5
50
60
70
(100, 58)
Curva de oferta después del impuesto
Curva de oferta antes del impuesto
Figura 5.4
Equilibrio antes y
después del impuesto
q
p
de equilibrio, de a , a causa del cambio en el precio de
equilibrio. (En los ejercicios se le pide que determine el efecto de un subsidio
dado al fabricante, lo cual reduciría el precio del producto)
b. Determinar el ingreso total obtenido por el fabricante en el punto de equilibrio
antes y después del impuesto.
Solución: Si unidades de un producto son vendidas a un precio de dólares
cada una, entonces el ingreso total, que denotaremos con estará dado por
Antes del impuesto del ingreso en (100,58) es (en dólares)
Después del impuesto es
que es una disminución.
Un consumidor considera equivalentes todas las combinaciones que produce el
mismo nivel de Utilidad, al locus de tales combinaciones le llamamos
ya que el consumir es indiferente en cuanto a la combinación particular
que consuma.
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F.4.- APLICACIÓN EN LAS CURVA DE INFERENCIA.
Curva de
Indiferencia,

68
0
A
B
Horas de trabajo (w)
Salario por horas (s)
0
1
2
1 2
Zapato Izquierdo
Zapato Derecho
Una Curva de Indiferencia presenta un nivel constante satisfacción, es el lugar
geométrico de puntos de consumo igualmente deseables. dibuja normalmente
convexa desde abajo, desacuerdo con la Ley de Utilidad Marginal Decreciente.
A medida que una Curva de Inferencia se encuentra más es decir, más a la
derecha indica un nivel mayor de Utilidad. En consecuencia, entre más alta sea la Curva
de Indiferencia, mayor será la preferencia por las combinaciones situadas en dicha
Curva.
Formas particulares de las curvas de indiferencia
El trabajo produce desutilidad, para que un trabador acepte
trabajar un mayor número de horas, tiene que pagarle un salario diario mayor.
: Esta forma adoptan, cuando se tratan de bienes
perfectamente complementarios.
1.- Curvas Ascendentes:
2.- Rectas Horizontales o Verticales
??
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Fig. 5.5
Fig. 5.6

69
Mandarinas
0
Naranjas
Espacio de Bienes
0
y
x
Restricción Presupuestal
Espacio del Presupuesto
y
0
x
3.- Rectas Inclinadas:
F.5.- APLICACIÓN A LA RESTRICCIÓN PRESUPUESTAL
El Espacio de Bienes
El espacio del Presupuesto
Recta de Balance, Línea de Presupuesto, Recta Presupue o
Restricción Presupuestaria.
Esta forma adoptan, cuando se tratan de bienes perfectamente
sustituibles que se cambian siempre en la siguiente proporción 2 por 1 y 3 por 1.
es el plano o cuadrante x-y que representa todas las posibles
combinaciones de los artículos de consumo.
es el conjunto de todas las combinaciones que se
pueden comprar gastando todo o parte de un ingreso dado, es solo una parte (o un
subconjunto) del Espacio de Bienes.
Cuando un consumidor tiene una renta monetaria fija y la gasta en dos únicos bienes
cuyos precios están dados por el mercado, se ve obligado a desplazarse a lo largo de una
línea recta llamada
Fig. .5.7
Fig. .5.8
Fig. .5.9

70
C= a + bY; ,
Hallar los valores de equilibrio de ingreso
(renta) y el consumo en términos de a, b y
las variables exógenas y
Es la condición
de equilibrio
RENTA NACIONAL= GASTO TOTAL
Función de
consumo
Es una función de comportamiento
Y = renta nacional
C: gasto de consumo
= inversión
= gastos públicos
= consumo autónomo
= propensión marginal
al consumo
Variables
Endógenas
Exógenas Constante
Incógnitas
Parámetros
La línea de Presupuesto es el conjunto de combinaciones de bienes que se pueden
adquirir cuando se gasta todo el ingreso. La pendiente de las recta es la negativa de la
razón de los precios, depende de la relación de los do de mercado y la distancia
al origen de coordenadas depende de la magnitud del ingreso.
El consumidor se mueve por esta Recta de Balance hasta alcanzar la Curva de
Indiferencia más alta posible. En ese punto, la Recta tocará pero no
tocará a una Curva de Indiferencia. Por lo tanto, el equilibrio se encuentra en el punto de
tangencia en el que la pendiente de la restricción presupuestaria (la relación de precios)
es exactamente igual a la pendiente de la Curva de Inferencia (la relación de sustitución
o cociente entre las Utilidades Marginales de los dos bienes).
En equilibrio, las Utilidades Marginales son proporcionales a los precios. La
disminución de la renta desplaza paralelamente la Recta de Balance hacia el origen de
coordenadas, haciendo, por lo general, que disminuya la cantidad comprada de a os
bienes. La variación del precio de uno solo de ello, permaneciendo todo lo demás
constante, hará girar la Recta de Balance, alterando su pendiente.
Dado el modelo Keynesiano de la renta:
Dado el modelo Keynesiano de la renta:
F.6.- APLICACIÓN EN LA DETERMINACIÓN DEL EQUILIBRIO EN EL
ANÁLISIS DEL INGRESO NACIONAL
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71
Al resolver el sistema de ecuaciones se obtiene el punto de equilibrio:
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72
G) DISCUSIÓN DE RESULTADOS
La aplicación de la matemática a la ciencia económica ha revelado como muy
importante a partir de la segunda mitad del siglo XX, sólo porque los últimos
Premios Nobel en Economía se han concedido por aplicac de la matemática a
fenómenos caóticos y simulaciones en Economía (ver anexo 1), sino también porque la
matemática es una disciplina necesaria y obligatoria para realizar análisis económico,
por lo que el economista recurre a símbolos matemáticos cuando plantea problemas
económicos, además, recurre a teoremas matemáticos conocidos como ayuda en su
razonamiento.
Sin embargo, esto no ha sido así siempre ya que la ciencia económica ha seguido un
largo proceso de desarrollo desde que tuvo su partida nacimiento con la publicación
de la monumental obra de Adam Smith “Investigaciones acerca de las causa y la
naturaleza de la riqueza de las naciones” (1776). En ese entonces nos quedamos
satisfechos con poco más que la “mano invisible” que hacia que los hombres
encontraran la felicidad colectiva a través de la búsqueda de su felicidad individual, tal
como si una fuerza superior los guíara. Tras los intentos de Ricardo y Marx para entrar
más en la esencia del valor de las cosas, tuyo que transcurrir todavía mucho camino para
que al fin Walras diera una explicación más formal que la de Smith. Walras nos diría
entonces en sus “elementos de Economía Política Pura” 1903) que los hombres
actuaban en el campo económico tal y como si resolvieran un sistema de ecuaciones
simultaneas. Walras, sin embargo, estaba limitado por su concepción apriorística de la
ciencia, que lo había considerar que bastaba con unos no axiomas y una buena
lógica para hacer ciencia, de manera que ni siquiera se plateo la necesidad de la
verificación empírica de su modelo.

73
Como en todas las innovaciones importantes, hubieron de concurrir elementos para que
la matemática dejara de ser elemento subsidiario para mejor las teorías y se
convirtiera en instrumento indispensable de la economía. En primer lugar, el aporte
sustantivito de la corriente lógico positivista que, sin despreciar la necesidad de los
axiomas iníciales en la ciencia y su consecuente modelo lógico, planteó la necesidad de
contrastar sus deducciones con la realidad, en segundo lugar, la fuerza de la revolución
keynesiana que irrumpió en el mundo académico con su “Teoría general de la
Ocupación, el Interés y el Dinero” (1936) para romper los clásicos y plantear
soluciones a los problemas generales por la gran depresión, impulsando el interés por
formalizar y contrastar las teorías existentes. Por cierto Keynes fue el espaldarazo final
a una ruptura con los clásico que ya avizoraba por Marx con sus observaciones sobre la
crisis capitalista y fuera documentada por Kalecki de sus trabajos sobre los ciclos
económicos. Y, en tercer lugar, la acumulación de estadísticas económicas que
permitían realizar proyecciones sobre los acontecimientos económicos.
Todos los elementos no se hicieron, si no reforzar la necesidad de la rigurosidad
del análisis y con ello hacer mas importante las matemática en el análisis matemático. Y
no se piense que porque los modelos de la economía enrumbaron por el análisis
econométrico en el que la aleatoriedad era su signo distintivo, la matemática perdiera
importancia. Al contrario: La matemática no solo se constituyó en el fundamento de los
modelos económicos, sino que los modelos econométricos no reducían para nasa su
importancia, sino que más bien la hacían mayor. En primer lugar, porque dentro de un
modelo econométrico, siempre hay un modelo matemático y, segundo lugar, porque las
propias distribuciones de probabilidad de las variables aleatorias requerían de una pauta
matemática que la guiara. Y esto es así porque que la y así el resto de
distribuciones de probabilidad.

74
Actualmente las aplicaciones matemáticas a la economía se han reforzado con el
desarrollo con la aparición de modernas y potentes com oras (Pentium IV) y
paquetes (Como econometric view, SPSS, Stella, etc.) apropiados no solo para realizar
rápidamente los cálculos, que hace 20 años seria imposible imaginar, sino que además
permiten acumular ingentes datos históricos y hacer simulaciones alterando ex
profesamente las variables des sistema que se halla formulado, convirtiendo los
modelos explicativos en modelos predictivos y de decisión.
La economía, es su esfuerzo por formular modelos que reflejen de la manera mas
aproximada posible la realidad, tiene a la matemática un aliado invalorable. Nos
atrevemos a decir, que sin la matemática seria muy difícil avizorar un desarrollo tal
como el que esta teniendo la economía, ya que la matemática no solo le permite
formular modelos, sino que le garantiza su lógica interna y su rigurosidad, ya que es
posible probar a través de ella la necesaria consistencia e independencia de los
que se formulan. La consistencia de los modelos garantiza la vigencia del principió de
no contradicción entre los enunciados del sistema y la independencia de los enunciados
garantiza que el modelo tenga solución única, evitando redundancias y afirmaciones
vacías en el sistema.
Dentro de las ciencias sociales creemos que la economía es la que mas ha
aprovechado de la matemática para avanzar, constituyéndose en el soporte técnico para
el planeamiento, la solución y seguimiento de los problemas ómicos no solo del
país, sino también del mundo, de manera que en ese sentido de la matemática permitirá
a los economistas hacer propuestas cada vez mas coherentes y variables, de ahí nuestro
interés de poder tocar esta problemática.
Por cierto, nosotros nos hemos limitado a un área particular de la matemática que
son las ecuaciones diferenciales. Y hasta entonces, vemos que las aplicaciones son

75
múltiples y a pesar de su complejidad, en realidad facilitan la capacidad de formular los
problemas y encontrarles una solución optima que sin el uso de la matemática seria
imposible de imaginar.
Si bien es cierto, los textos de economía tratan en algunas casos de formalizar las
aplicaciones matemáticas a los temas económicos, la verdad es que no son muy
abundantes y en todo caso no son exhaustivos, limitándose a remitirnos a la bibliografía
especializada que nunca esta al alcance de los estudiantes y profesores que la requieren.
En ese sentido, nuestro trabajo difiere de dichos textos porque ha planteado con
profundidad y detalle cada aplicación de las ecuaciones diferenciales a la solución de un
problema económico.
El objetivo de este trabajo es brindar a los estudiantes universitarios que llevan cursos
de matemática básica en las diferentes áreas del saber humano, la importancia
imprescindible de la Geometría Analítica Plana en la economía.
Deseamos que este trabajo sea de utilidad a los estudiantes y también a nuestros colegas
que están vinculados con el quehacer de la Matemática, pues las aplicaciones
desarrolladas están expuestas en forma sencilla, clara y detallada para ser entendido con
mayor facilidad en el proceso de aprendizaje. Hemos desarrollado primero la parte
teórica con la rigurosidad Matemática debida, en forma sistemática y didáctica; luego
se presentan 6 Aplicaciones ilustrativas de la Geometría Analítica a la Economía,
desarrolladas en lo posible en forma detallada.

76
H) REFERENCIALES
1. ALPHA C., Chian Métodos fundamentales de economía Matemática.
Colombia. McGraw-Hill.2001.
2. ARYA JAGDISH, C. Matemáticas aplicadas a la administración y a la
economía. México. Prentice Hall Hispanoamericana.1992.
3. AYRES, Jr., Frank. Calculo Diferencial e Integral. Colombia. McGraw-Hill.
1973.
4. BEER, Gerald Alan. Matemáticas aplicadas para Economía y Negocios. España.
5. CABALLERO FERNÁNDEZ, R. Métodos matemáticos para la Economía.
McGraw-Hill.1992
6. FEREGUSON, C.E. Microeconomía. México. FCE. 1969.
7. FERGUSON, C. E. y GOULD, J. P. Teorías Microeconómica. México. Fondo
de Cultura Económica 1991.
8. FIGUEIREDO, D. Ecuaciones diferenciales aplicadas. Colección matemática
Universitaria. Impa, Rio de Janeiro, Brasil 2001.
9. HAEUSSLER, Ernest F., Jr. y RICHARD S., Paul. Matemáticas para
Administración, Economía, ciencias sociales y de la vida. México. Prentice
Hall.1997.
10. HUANG, David S. Introducción al uso de la matemática en el análisis
económico. México. Siglo Veintiuno Editores S. A. 1970.
11. KENNETH, J., ARROW, F. Y HAHN, H. Análisis general competitivo.
México. Fondo de Cultura Económica. 1977.
12. KEYNES, John. Teoría general de la ocupación, el interés y el dinero. México.
Fondo de Cultura Económica. 1971.

77
13. LEITHOLD, Louis. El calculo con geometría analítica. México. Harper & Row
latinoamericana. Segunda Edición 1973.
14. LUDLOW-WIECHERS, Jorge A. Economía Matemática I (la caja de
herramientas, los instrumentos para pensar). México. Editorial LIMUSA, S.A.
de C.V. 1987.
15. LUDLOW-WIECHERS, Jorge A. Economía Matemática II (Temas selectos de
la teoría económica). México. Editorial LIMUSA, S. A. de C.V. 1987.
16. PINDYCK, Robert y RUBINFELD, Daniel. Microeconomía. Madrid. Prentice
Hall. 5° Edición 2001.
17. PINZÓN ESCAMILLA, Álvaro. Calculo Diferencial. México. Harper &Row
Latinoamericana. 1981.
18. ROEL, Virgilio. Modelos Económicos: Una introducción a la econometría.
Lima. Editorial Minerva. 1974.
19. SIMONS G. Ordinary Differential Equations with applications and Historical
Notes. McGraw-Hill. 1972.
20. SMITH, Adam. Investigación sobre la naturaleza y las causas de la riqueza de
las naciones. México. Fondo de Cultura Económica. 1997.
21. TRUJILLO CALAGUA, Gustavo Herminio. Recientes desarrollos en
econometría Aplicada: Un recuento histórico. Lima. Universidad Nacional
Mayor de San Marcos. 2000.
22. VARIAN, Hal R. Análisis microeconómico. España. Antoni Bosch Editor.
Tercera Edición. 1992.
23. WEBER, Jean E. Matemática para administración y Economía. México.

78
24. YAMANE, Taro. Matematicas para Economistas. Barcelona. España. Ediciones
Ariel S. A. 1972.
25. htto: //es. Wikipedia.org/wiki/crecimiento_econ%C3%B3mico
26. http: //www.eumed.net/cursecon/economistas/precmios_nobel.htm

80
Programación lineal
función objetivos.
soluciones factibles puntos
factibles), solución optima
Algunas veces se desea maximizar o minimizar una función sujeta a ciertas
restricciones(o ). Por ejemplo, un fabricante puede querer maximizar una
función de utilidad sujeta a las restricciones de prod impuestas por las limitantes
sobre el uso de la maquinaria y la mano de obra.
Ahora consideraremos cómo resolver tales problemas cuando la función que será
maximizada o minimizada es Una función lineal en y tiene la forma
,
Donde a y b son constantes. También requeriremos que las correspondientes
restricciones estén representadas por un sistema de desigualdades lineales (involucrando
“ ”) o ecuaciones lineales en , además de que todas las variables sean no
negativas. Un problema que involucra a todas estas condiciones es llamado
La programación lineal fue desarrollada por George B. Danzig al final la
década de 1940, y fue utilizada primero por la Fuerza Aérea de Estados Unidos como
una ayuda en la toma de decisiones. Actualmente tiene una amplia aplicación en análisis
industrial y económico.
En un problema de programación lineal, la función a ser maximizada o minimizada es
llamada Aunque por lo regular existe un numero infinito de
soluciones para el sistema de restricciones (llamadas o
la meta es encontrar una que sea un (esto es, una que de el
valor máximo o mínimo de la función objetivo).
condiciones
lineal.
problema de
programación lineal.
? ?
? ? ?: ? ?:
? ? ? ? ?

81
C (20, 10)
B
Y
60
A
30
0 24 30
3
1
2
X
Teorema:
Ejemplo :
Sea F(x, y) una función objetivo, sujeta a un sistema de inecuaciones lineales en x e y
(restricciones), que determina una región R poligonal convexa, cerrada y acotada.
Entonces F(x, y) alcanza su valor máximo (mínimo) en un vértice de la región R.
Resolver el siguiente sistema de inecuaciones lineales,
… (1)
… (2)
… (3)
… (4)
Geométricamente, cada inecuación representa un semiplano, incluida la recta frontera.
El conjunto solución del sistema: es el conjunto de pares ordenados de números reales
que satisfacen a la vez las 4 inecuaciones.
Solución: el conjunto de pares ordenados de número reales , que satisfacen el
sistema anterior es la región sombreada.
Esta región poligonal convexa de los puntos solución, se denomina región de puntos
posibles.
?? ? ?? ? ?:
? ? ? ? ?:
? ? ?
? ? ?
??_??

82
L1
L2
300
90
180
100
P ( , )
Sean las rectas:
L1 :
L2 :
P= ? L1 L2
2
( x, y) G(x, y)= x+ 0.8y
(0.0)
(90.0)
(0.100)
(48.84)
0
90
80
115.2 máximo
Con frecuencia deseamos conocer cuales de los puntos posibles maximizan o minimizan
cierta función, que depende de un sistema de inecuaciones dado.
Ejercicio:
Una imprenta produce para la promoción de un colegio dos tipos de recuerdos del tipo
A y B. Cada unidad del tipo A produce una ganancia de $/.1.0 de tipo B $ /0.8.
Para fabricar un recuerdo del tipo A se necesitan dos minutos en la maquina I y un
minuto en la maquina II. Un recuerdo del tipo B requie de un minuto en la maquina I
y 3 minutos en la maquina II. Hay 3 horas disponibles en la maquina I y 5 horas
disponibles en la maquina II para procesar el pedido. ¿Cuantos recuerdos de casa de tipo
debe producir la imprenta para maximizar la ganancia?
A) 48 y 84 B) 60 Y 32 C) 65 Y 42 D) 72 Y 50 E) 40 Y 68
Solución:
Sea x: N° de piezas del tipo A y: N° de piezas del tipo B
Sea G(x, y)= x + 0.8y la ganancia obtenida sujeto a las restricciones
?? ??
?? ? ? ? ?:
? ? ?? ? ?:
? ? ? _? ? ?
?? ? ??? ? ?:
?? ? ? ? ?:
? ? ?? ? ?:
?? ? _?? ? ?
?? ? ?? ? ?: ?? ? ?:
?? ? ?:Tabulando

84
Diseño
experimental
Abstracción
experimental
Abstracción
teoría
Modelo lógico
Conclusiones
lógicas
Conclusiones
para el
Mundo real
Interpretación
estadística
Observaciones
Argumento
lógicoExperimentación
Interpretaciones
teóricas
ANEXO 1
Para Ferguson (1969: 12) “Quien observe el mundo real los fenómenos económicos
se enfrentara a un conjunto de datos que, por lo menos a simple vista, carecen de
sentido. Para descubrir un orden en esta masa de hechos y arreglarlos en alguna forma
inteligible, se requiere elaborar teorías que expliquen var aspectos del
comportamiento humano. Al abstraernos del mundo real podemos llegar a un nivel de
sencillez en el que se pie3den analizar las acciones humanas. Pero en este proceso del
mundo real del que se ocupa. O sea, que la simplificación es necesaria, pero al mismo
tiempo se requiere una teoría que capte la esencia del problema económico fundamental
que se debe resolver”.
Y, al ocuparse del análisis con modelos, continua “Por esta razón es importante prestar
atención al empleo del análisis con modelos en general, antes de ponernos a estudiar
modelos económicos específicos. Conviene hacerlo en forma esquemática, con el
auxilio del siguiente diagrama:
Generalmente es el mundo real el que sirve como punto partida, por lo menos en
forma provisional. Un problema especifico, o simplemente un deseo de entender, nos
mueve a trasladarnos del complicado mundo de la realidad al dominio de a sencillez
Mundo real

85
lógica. Por medio de una abstracción teórica reducimos las complejidades del mundo
real a proporciones manejables. El resultado es un modelo lógico que presumiblemente
sirve para explicar el fenómeno que se observa. Por medio de un argumento lógico (o
sea de la deducción), llegamos luego a conclusiones lógicas o de modelo. Pero estas
deben transformarse, por medio de una interpretación teórica en conclusiones relativas
al mundo real.
Resumamos lo que llevamos visto hasta aquí. Haciendo partido de un porción del
mundo real, el economista llega a conclusiones acerca del mundo real, por medio de
instrumentos absolutamente teóricos. Su primer paso implica una abstracción del mundo
real hacia un modelo lógico simplificado. El segundo requiere el ejemplo de un
argumento lógico para llegar a una conclusión en abstracto. En el ultimo para se vuelve
al mundo real por medio de una interpretación que prod conclusiones en términos
del mundo concreto, sensible, de la realidad física.
Es posible que el mismo resulto se obtenga con otro método. Llamémoslo el método
estadístico, para distinguirlo del método deductivo que acabamos de examinar.
Partiendo igualmente del mundo real, por medio de una bstracción experimental,
podemos llegar a elaborar un experimento. O sea, que p medio de un proceso de
simplificación podemos elaborar un modelo estadístico ue nos sirva para analizar el
mundo real. Pero en este caso obtenemos observaciones medio de la
experimentación, en lugar de elaborar teoremas por medio de la educación lógica. Con
una adecuada interpretación estadística, estas observaciones nos llevan a conclusiones
sobre el mundo real.
No hay un completo acuerdo sobre el mérito de estos dos métodos, pero aquí
consideramos que ambos son complementarios, es decir, el método deductivo y el

86
estadístico se refuerzan mutuamente, en lugar de ser instrumentos de análisis
completamente excluyentes. Sin embargo, en virtud de q las opiniones profesionales
están divididas en cuanto a la metodología, vamos a hacer en este capitulo un breve
examen de las tres posiciones que se obtiene con más frecuencia.2
(pp. 12-12).
Se refiere Ferguson a lo que llama
Al referirse al apriorismo extremo Ferguson manifiesta que “En uno de los grupos se
encuentran los teóricos que sólo es aplicable el lado derecho de nuestro diagrama. Este
grupo, prominente a partir de John Stuart Mill, tiene miembros modernos la talla de
Mises3
, Robbins4
y Knight5
, todos los cuales creen, al parecer, que la teoría económica
no puede ser corroborada o refutada en el terreno puramente empírico. En su opinión,
“… la ciencia económica es un sistema de verdades apriorísticas, un producto de la
razón pura…, un sistema deducción pura a partir de una serie de postulados…”6
Una de las explicaciones mas claras de la posición de autores se encuentra en la
definición que da Mises de un praxólogo, o sea, lo que Machlup llamó un apriorístico
extremo. De acuerdo con Mises, un praxólogo es aquel que cree: a) que las premias y
los axiomas fundamentales de la economía son absolutamente verdaderos; b) que, por lo
tanto, los teoremas y conclusiones deducidos de estos axiomas según las leyes de la
lógica, son también absolutamente verdaderos; c) que en consecuencia no hay necesidad
de probar empíricamente los axiomas o los teoremas, y que los teoremas deducidos
no se podrían probar aunque conviniera hacerlo. Es así como el apriorismo extremo
depende de la introspección y la lógica para elaborar el conjunto de los principios
económicos.” (pp. 13-14)
2
Lo que resta de este anexo se basa en el ensayo de Friz Machlup, “ en southern Economic
Journal, vol XXII(1995), pp 1-21,
3
Ludwing von Mises, Human Action(New Haven, Conn.:Yale University Press, 1959)
4
Lionel Robbins, An Essay on the Nature and Significance of Economic Science(2°Edicion; Londres: Macmillan & CO., Lid., 1935).
5
Frank H. Knight, “The limitation of scientific Method Economics”, en R.G. Tugwell (compilador), The Trend of Economic (Nueva
York: Crofts, 1930). Reimpreso en The Ethics of Completition (Nueva York: Harper, 1935)
apriorismo extremo, ultraempiricismo y positivismo
lógico.
The Problem of Verification in Economics”,

87
6
Machlup,op.cit.,o.7.
7
T.W.Hutchinson,The Significance and Basic postulates of economic theory ( Londres: macmillan & Co., Ltd., 1938)
8
Machlup.op.cit.,p. 7
9
P.w. Bridgman, the logic of modern physics(nueva york: york:the macmillan Co., 1927)
10
Vease, porejemplo, Anatol rapoport, operacional philosophy(nueva york: harpers, 1954)
Ferguson se refiere al , en los siguientes términos: “En el polo opuesto
se encuentra un grupo encabezado por T. W. Hutchinson7
a cuyos miembros llama
Machlup ultraempiricos. Fundamentalmente, este grupo “… se niega a reconocer la
legitimidad de emplear proposiciones que no se puedan ficar independientes, a
cualquier nivel de análisis.”8
En lugar de partir de un sistema de axiomas, los
ultraempiricos prefieren al parecer principiar por un nto de lo que ellos llaman
hechos. Por supuesto, al partir de los hechos se sacrifica la misma sencillez que se está
buscando. Este enfoque implica inmediatamente todas las complejidades del mundo
real, y priva al análisis del empleo del único instrumento –el análisis de modelos- que le
permitiría escapar del caos de hechos sin importancia obtener conclusiones más o
menos generales.”(p.14)
Ferguson se refiere al positivismo lógico en los siguientes términos: “A la ultima
posición metodológica se le conoce como el “positivismo lógico”. La han establecido
claramente Bridgman9
y varios “filósofos operacionales10
, y es ampliamente aceptada
por economistas modernos. 11
Los economistas positivistas aceptan que los axiomas o
supuesto básicos de la teoría no se pueden corroborar empíricamente en forma
independiente. Al mismo tiempo, consideran posible y conveniente someter a prueba las
hipótesis deducidas, probando así indirectamente el sistema de axiomas en que se basa
la teoría económica.” (p.14)
“En resumen, dice Ferguron, los apriorísticos creen que ningún aspecto de la teoría
económica es susceptible de una demostración empírica; por el contrario,
ultraempiricismo
los empíricos

88
11
Se encuentraejemplos en P.A. Samuelson, Foundations of EconomicAnalysis (Cambridge, Mass.; Harvard University Press, 1947;Milton Friedman., “The Methodology of
Positive”, en Essays in Positive Economics (chicago:Universit icago Press, 1953), pp.3-43; y Machlup, op.cit.
consideran que todos los aspectos de la teoría puede y n ser sometidos a pruebas
empírica en cada etapa en una cadena de análisis. Los economistas positivistas asumen
una posición intermedia. Afirman que deben someterse a pruebas las conclusiones (o
teoremas) de un modelo. Si se encuentra que esas conclusiones corresponden a la
realidad en forma suficientemente aproximada, se consideraran aceptables los supuestos
básicos en que se funda el modelo. Por esta razón, la mía positivista enfatiza
primordialmente la capacidad de predicción de un modelo: si las predicciones que se
derivan de un modelo resultan “mejores” que las que se obtienen con otro modelo, se
declara provisionalmente que el primero resulta prefer le. Si posteriormente se elabora
una teoría que explica una mayor proporción de los hechos imp o en términos
de probabilidades se ajusta a la realidad, se considerará a esta teoría superior a la
anteriormente aceptada. En todo caso, la prueba es pragmática: se prefiere la teoría que
explique mejor los fenómenos observables de la vida económica” (pp. 14-15)

89
ANEXO 2
RELACIÓN DE PREMIOS DE ECONOMÍA
1. 1. 2010 PETER A. DIAMOND, DALE T. MORTENSEN YCHRISTOPHER A.
PISSARIDES por "sus análisis de mercados con fricciones de búsqueda".
2. 2009 ELINOR OSTROM Y OLIVER E. WILLIAMSON por "sus aportaciones
a la teoría económica de la gobernanza"
3. 2008 PAUL KRUGMAN por "sus aportaciones a la teoría de la Economía
Internacional y la Geografía Económica"
4. 2007 LEONID HURWICZ, ERIC S. MASKIN Y ROGER B. MYERSON por
"haber establecido las bases de la teoría del diseño de mecanismos"
5. 2006 MUHAMMA YUNUS obtuvo el Premio Nobel de la paz “por sus esfuerzo
para crear desarrollo económico y social desde abajo”.
6. 2006 EDMIND S. PHELPS en reconocimiento a sus análisis sobre “las
compensaciones intertemporales en las políticas macroeconómicas”.
7. 2005 ROBERT J. AUMANN Y THOMAS C. SCHELLING por haber ampliado
nuestra comprensión del conflicto y la cooperación mediante el análisis de la
Teoría de Juegos.
8. 2004 EDWARD C. PRESCOTT y FINN E. KYDLAND por sus contribuciones
a la dinámica macroeconómica: la consistencia del tiempo en .la política
macroeconómica y las fuerzas que regulan los ciclo económicos”.
9. 2003 ROBERT F. ENGLE por haber desarrollado métodos de analizar las seies
temporales con volatilidad variante en el tiempo (ARCH) y CLIVE W.J.
GRANGER por haber desarrollado métodos de análisis de series temporales con
tendencias comunes (cointegracion).

90
10. 2002 DANIEL KAHNEMAN por haber integrado los avances de la
investigación psicológico en el análisis económico y VERNON L. SMITH por
haber establecido los experimentos de laboratorio como un instrumento en el
análisis económico emperico.
11. 2001 GEORGE A. AKERLOF, A MICHAEL SPENCE y JOSEPH E.
STIGLITZ por sus análisis de los mercados con información asimétrica.
12. 2000 JAMES J. HECKMAN y DANIEL L. McFADDEN por desarrollar la
teoría y los métodos de análisis de datos estadísticos que son actualmente
utilizados ampliamente para estudiar comportamiento individuales en economía
y en otras ciencias sociales
13. 1999 ROBERT A. MUNDELL por sus análisis sobre las políticas fiscales y
monetarias bajo sistemas monetarios y su análisis de la áreas optimas de divisas.
14. 1998 AMARTYA SEN por sus contribuciones a la economía del bienestar.
15. 1997 ROBERT C. MERTON y MYRONR S. SCHOLES por desarrollar un
nuevo método para determinar el valor de los derivados.
16. 1996 JAMES A. MIRRLEES y WILLIAM VICKREY por sus fundamentales
contribuciones a la teoría económica de los incentivos bajo información
asimétrica.
17. 1994 JOHN C. HARSANYI, JOHN F. NASH Y REINHARD SELTEN sus
pioneros análisis del equilibrio en la teoría de los juegos no cooperativos.
18. 1995 ROBERT LUCAS por haber desarrollado y aplicado la hipótesis de las
expectativas racionales y haber por tanto transformado el análisis
macroeconómico y profundizado la comprensión de la política económica.

91
19. 1993 ROBERT W. FOGEL Y DOUGLASS C. NORTH por haber renovado la
investigación de la historia económica aplicando la teoría económica y métodos
cuantitativos para explicar el cambio económico e institucional.
20. 1992 GARY S. BECKER por haber extendido el dominio del análisis
microeconómico a un amplio campo del comportamiento y interacion
humanos, incluyendo comportamiento no mercantiles.
21. 1991RONALD H. COASE por su descubrimiento y clarificación del significado
de los costes de transación y los derechos de propiedad para la estructura
institucional y el funcionamiento de la economía.
22. 1990 HARRY M. MARKOWITZ , MERTON M. MILLER y WILLIAM F.
SHARPE por sus trabajo pionero en la teoría de la economía fincanciera.
23. 1989 TRYGVE HAAVELMO por su clarificación de los funamentos de la
teoría de la probabilidad para la econometría y su análisis de estructuras
económicas simultaneas.
24. 1988 MAURICE ALLAIR por sus contribuciones pioneras a teoría de los
mercados y la eficiente utilización de los recursos.
25. 1987 ROBERT M. SOLOW por sus contribuciones a la teoría del crecimiento
económico.
26. 1986 JAMES M. BUCHANAN, JR. Por su desarrollo de las bases contractuales
y constituciones de la teoría de la adopción de decisiones económicas y
políticas.
27. 1985 FRANCO MODIGLIANI por sus pioneros análisis del ahorro y de los
mercados financieros.

92
28. 1984 SIR RICHARD STONE por haber hecho contribuciones undamentales al
desarrollo de los sistemas de cuentas nacionales y haber por tanto mejorado
substancialmente las bases del análisis económicos empírico.
29. 1983 GERARD DEBREU por haber incorporado nuevos método analíticos a al
teoría económica y por sus rigurosa reformulación de la teoría del equilibrio
general.
30. 1982 GEORGE J. STIGLER por sus saminales estudios de las estructuras
industriales, el funcionamiento de los mercados y las causas y efectos de la
reglamentación pública.
31. 1981JAMES TOBIN por sus análisis de los mercados financieros y sus
relaciones con la decisiones de gasto, empleo, producción y precios
32. 1980 LAWRENCE R. KLEIN por la creación de modelos económicos y la
aplicación al análisis de las fluctuaciones económicas y políticas económicas.
33. 1979 THEODORE W. SCHULTZ y SIR ARTHUR LEWIS por su investigación
pionera en el desarrollo económico con atención particular a los problemas de
los países en desarrollo.
34. 1978 HERBERT A. SIMON por su investigación pionera en proceso de
adopción de decisiones en las organizaciones económicas.
35. 1977 BERTIL OHLIN y JAMES E MEADE por su rupturista contribución a la
teoría del comercio internacional y los movimientos internacionales de capitales.
36. 1976 MILTON FRIEDMAN por sus resultados en lo campos del análisis del
consumó, historia y teoría monetaria y por su demostración de la complejidad de
la política de estabilización.

93
37. 1975 LEONID VITALIYEVICH KANTOROVICH Y TJALLING C.
KROOPMANS por sus contribuciones a la teoría de la optima localización de
recursos.
38. 1974 GUNNAR MYRDAL y FRIEDRICH AUGUST VON HAYEK por su
trabajo pionero en la teoría del dinero y las fluctuaciones económicas y por su
penetrantes análisis de la interdependencia de los fenómenos económicos,
sociales e institucionales.
39. 1973 WASSIL Y LEONTIEF por el desarrollo del método input-output y por su
aplicación a importantes problemas económicos.
40. 1972 SIR JOHN R. HICKS y KENNETH J. ARROW por sus contribuciones
pioneras a la teoría del equilibrio económico general y la teoría del bienestar.
41. 1971SIMON KUZNETS por sus empíricamente fundamentadas interpretaciones
del crecimiento económico que ha conducido a una nueva y más profunda
comprensión de la estructura económica y social y el proceso de desarrollo.
42. 1970PAUL A SAMUELSON por el trabajo científico a través del cual ha
desarrollado la teoría económica estadística y dinámica y contribuida
activamente a elevar el nivel del análisis en la ciencia económica.
43. 1969 RAGNAR FRISCH y JAN TINBERGEN por haber desarrollado y
aplicado modelos dinámicos al análisis de los procesos económicos.
Tomando de http://www.eumed.net/cursecon/economistas/premios_nobel.htm

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