Matemática

1. 36
Bloque
de
Álgebra
y
Funciones
APPLICA
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Una manera de averiguar cuántos litros de agua habrá en el tanque a las 11:00 a. m.,
consiste en hacer el cálculo de los litros que se vertieron durante las tres horas y, a
esta cantidad, restarle la cantidad de litros que se extrajeron en ese mismo tiempo.
• Al representar en la recta numérica la cantidad de litros de agua que se vierten en
el tanque, se obtiene la Figura 1.
Segúnloanterior,despuésde3horassehabrándepositado84Ldeaguaeneltanque.
• Por otra parte, el número de litros que se extraen del tanque puede representarse
como en la Figura 2.
Entonces, al cabo de tres horas habrán salido del tanque 15 L de agua.
• Finalmente, para calcular la cantidad de litros que habrá en el tanque a las 11:00 a.m.
se realiza la resta.
84 L 2 15 L 5 69 L
Para calcular el producto de dos números enteros, se multiplican los valores
absolutos de los factores. El producto es positivo si los factores tienen el mismo
signo, o es negativo si los factores tienen diferente signo.
10.1 Regla de los signos
Se puede determinar el signo del producto de dos números enteros si se aplica la
regla de los signos, que se resume como sigue.
• El producto de dos números
enteros de igual signo es positivo.
(1) ? (1) 5 1
(2) ? (2) 5 1
• El producto de dos números enteros
de diferente signo es negativo.
(1) ? (2) 5 2
(2) ? (1) 5 2
Ejemplo 1
Multiplicar 3 ? (24) significa moverse hacia la izquierda en la recta numérica y
hacer tres saltos, avanzando 4 unidades en cada uno (Figura 3).
Así, 3 ? (24) 5 212. Se verifica que, como los factores son de diferente signo, el
resultado sea negativo.
10
Explora
Desde las 8:00 a. m., a un tanque va-
cío se le vierten 28 L de agua cada
hora y se le extraen simultánea-
mente 5 L.
• ¿Cuántos litros de agua habrá en
el tanque a las 11:00 a. m.?
Multiplicación de números enteros
Ten en cuenta
El signo de la multiplicación (3) se
puede reemplazar por el punto (?) para
evitar confusiones con otros signos
matemáticos. Por ejemplo,
7 3 8
es equivalente a
7 ? 8
225 220 215 210 25 0 5 10 15
25 25 25
(13) ? (25) 215
0 28 56 84
128 128
128
(13) ? (128) 5 184
112 140
220 216 212 28 24 0 4 8 12
24 24 24
3 ? (24)
Figura 1
Figura 2
Figura 3
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Ediciones

2. 37
Bloque de Álgebra y Funciones
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Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (multiplicación) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
Ejemplo 2
Observa el resultado de estas multiplicaciones.
• 7 ? (28) 5 256 • (26) ? 9 5 254
• (212) ? (23) 5 136 • 11 ? 4 5 44
10.2 Propiedades de la multiplicación de números enteros
Enelconjuntodelosnúmerosenteros,lamultiplicacióncumpleciertaspropiedades.
En la Tabla 1 se describe cada una de ellas.
Propiedad Definición Ejemplo
Clausurativa
La multiplicación de dos o más núme-
ros enteros es otro número entero.
En general: a ? b 5 c, c [ Z
S22) ? S29D 5 18
Conmutativa
En toda multiplicación de números
enteros, el orden de los factores no
altera el producto.
En general: a ? b 5 b ? a
S25) ? 4 5 4 ? S25D
220 5 220
Asociativa
Se pueden asociar los factores de
distintas formas y el producto no se
altera.
En general: (a ? b) ? c 5 a ? (b ? c)
FS23D ? 4G ? (27)
5 S212) ? (27)
5 84
S23) ? [4 ? (27)]
5 S23) ? (228)
5 84
Elemento neutro
El elemento neutro de la multiplicación
es 1, pues el producto de un número
entero por 1 es el mismo número.
En general: a ? 1 5 1 ? a 5 a
1 ? (215) 5 (215) ? 1
5 215
Elemento nulo
El producto de un número entero con
0 es 0.
En general: a ? 0 5 0 ? a 5 0
(25) ? 0 5 0
Distributiva de
la multiplicación
con respecto a la
adición
La multiplicación de un número por
una suma es igual a la suma de los
productos de dicho número por cada
uno de los sumandos.
En general: a ? (b 1 c) 5 a ? b 1 a ? c
2 ? (215 1 3)
5 2 ? (212) 5 224
2 ? (215) 1 2 ? 3
5 (230) 1 6
5 224
Actividad resuelta
Resolución de problemas
1 Karina tiene ahorrados $ 2 752, pero debe $ 345 a cada uno de sus cinco
amigos. Indica, con un número entero, el saldo del que dispone Karina.
Solución:
• Primero se toma la cantidad de dinero que debe Karina y se multiplica por
5, que son los amigos a los que les adeuda.
(2345) ? 5 5 21725
• Luego, de los ahorros se resta la deuda.
2 752 2 1 725 5 1 027
Por lo tanto, Karina dispone de un saldo de 1$ 1 027.
Cálculo mental
Multiplicar por números cercanos
a las potencias de 10
Para multiplicar por 9, 11, 99, 101..., es
decir, por una potencia de 10 menos 1
(o más 1), se descompone en sumas
o restas de manera conveniente.
Por ejemplo:
28 ? 99 5 28 ? S100 2 1D
5 2800 2 28 5 2772
• Realiza las multiplicaciones.
a. 37 ? 9
b. 223 ? 101
c. 57 ? 11
Tabla 1
El servicio
Servir y mostrar solidaridad a
los compañeros y compañeras
es fundamental para trabajar en
equipo.
• ¿Por qué consideras necesario
tener una actitud servicial al
trabajar en equipo?
CULTURA del Buen Vivir

3. 38
Bloque
de
Álgebra
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Funciones
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10 Multiplicación de números enteros
0 4 8 12 16 20 24 28 32
14 14 14 14 14 14
221 218 215 212 29 26 23 0 3
23 23 23 23 23 23
Ejercitación
2 Calcula estos productos.
a. (28) ? (24) b. (231) ? (24)
c. (213) ? (242) d. (223) ? (26)
e. 42 ? (27) f. (218) ? (235)
g. 34 ? (22) h. (256) ? (236)
i. (25) ? 19 j. (24) ? 9
k. (23) ? 24 l. (27) ? 6
3 Halla el número que falta para obtener el resultado que
se muestra en cada caso.
a. 7 ? 5 35 b. (23) ? 5 224
c. 9 ? 5 2540 d. ? (215) 5 0
e. ? 25 5 2100 f. ? 200 5 2400
g. 12 ? 5 12 h. (217) ? 5251
i. 9 ? 5 272 j. ? (235) 5 140
Comunicación
4 Completa la Tabla 2.
Número 212 26 213 21 232 4
Doble
Triple
Cuádruple
5 Indica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F).
a. El producto de dos números enteros es otro número
entero. ( )
b. El producto de dos números enteros negativos es un
número entero negativo. ( )
c. El número 0 es el elemento neutro de la
multiplicación de los números enteros. ( )
d. La multiplicación de números enteros no cumple la
propiedad conmutativa. ( )
Razonamiento
6 Escribe como producto de dos factores los siguientes
resultados (puede haber más de una solución).
a. 214 b. 300
c. 6 d. 84
e. 225 f. 290
g. 275 h. 105
i. 88 j. 249
7 Resuelve y completa la Tabla 3.
a b c a ? b ? c a ? c ? (21)
27 231 9
29 20 22
5 213 0
212 8 28
16 14 211
Comunicación
8 Escribe la multiplicación queserepresentóen cadacaso.
a.
b.
Razonamiento
9 Resuelve.
a. (22) ? (22) ? (22)
b. (22) ? (22) ? (22) ? (22)
c. (22) ? (22) ? (22) ? (22) ? (22)
d. ¿Qué signo tiene el resultado de multiplicar
(22) por sí mismo 981 veces?
e. ¿Cuál es el signo del siguiente producto?
(21) ? (22) ? (23) ? (24)… ? (21056)
10 Reemplaza en las operaciones las letras por sus valores
correspondientes. Luego, calcula los resultados.
m 5 22 n 5 5 p 5 27 q 5 210
a. (m ? q) ? (n ? p) b. m ? (n 1 p)
c. (m 1 p) ? (n 2 q) d. (2m) ? p ? (2n) ? q
e. 2p ? (q 1 p) f. (m 2 q) ? p
11 Lee cada situación y justifícala dando un ejemplo.
a. Si multiplicas dos números enteros que no tienen el
mismo signo, ¿qué resultado obtendrás?
b. Si multiplicas dos números enteros negativos, ¿qué
resultado obtendrás?
c. Si multiplicas dos números enteros, ambos positivos,
¿el resultado será un número entero positivo o un
número entero negativo?
Desarrolla tus destrezas
Tabla 2
Tabla 3
Figura 4
Figura 5

4. 39
Bloque de Álgebra y Funciones
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Destreza con criterios de desempeño: Operar en Z (multiplicación) de forma numérica, aplicando el orden de operación.
12 Completalascasillasdecadacuadradoconnúmerosenteros,
deformaqueelproductoporfilasycolumnasseaelmismo.
a. 22
10 25
220
b. 25 3
23
2
13 Busca el camino más corto desde el punto A hasta el
punto B, de tal manera que cada número sea el doble del
anterior.Elcaminopuedeserdemaneravertical,horizontal
o diagonal.
A 212 16 35 77 21
27 24 46 24 12 25
214 228 43 56 112 45
28 256 2112 12 289 90
56 221 2224 2448 21216 457
30 264 448 2896 21792 2516
60 128 2235 21624 23584 B
14 Resuelve. Si p y q son números enteros, encuentra las
posibles soluciones para cada ecuación.
a. p ? q 5 245 b. p ? q 5 2448
c. p ? q 5 232 d. p ? q 5 54
e. p ? q 5 86 f. p ? q 5 296
15 Encuentraycorrigeelerrorenlassiguientesmultiplicaciones
de enteros.
a. [(21) ? 4 ? (217)] ? (8 ? 5)
5 (268) ? 40
5 22720
b. [(25) ? 4 ? (27) ? (28)] ? (23)
5 1120 ? (23)
5 3360
16 Completa las pirámides de las figuras 6 y 7, teniendo
en cuenta que la casilla superior es el resultado de la
multiplicación de las dos casillas inferiores.
a.
23 2 21 22
b.
28
2 24 2 21 4
Resolucióndeproblemas
17 ¿Cuál es el resultado de la multiplicación entre la suma
de (27) y (26) y la resta entre (24) y (24)?
18 Si el producto de dos números es 248 y la diferencia
entre el entero mayor y el entero menor es 16, ¿cuáles
son los dos números?
19 En la tienda de don Juan hay una nueva nevera. Si la
temperaturadesciende4ºCcadahoraunavezconectada
la máquina, y la temperatura actual es de 16 ºC, ¿cuál será
latemperaturadentrodeochohoras?
20 Al triplicar la temperatura registrada en un día muy
calurososeobtiene69ºC.¿Cuáleralatemperaturainicial?
21 Una piscina se llena a razón de 250 L por hora. ¿Cuántos
litros de agua tiene la piscina después de 7 horas?
Figura 7
Figura 6