Acerca de probabilidad

1. Matemáticas
Discretas
Probabilidad y tipos de eventos
Corín Salcido – Cesar Méndez

2. Inducción Matemática
• La inducción matemática es un razonamiento que permite demostrar
proposiciones que dependen de una variable n que toma una infinidad de
valores enteros.

3. 1+2n< 3n
-
• 1. Se cumple n=1
• 2. Se asume que se cumple n=k
• N=k+1
• 1) Si N es 1 entonces 1+2(1) MenorIgual3 a la 1
3MenorIg3
• Si n = 2
1+2(2) es MenorIg a 3ala2
5MenorIg9

4. Inducción Matemática
• Se asume que;
• 1+2K es MenorIg 3K
• 1+2(K+1) MenorIg3a la K+1
• 2K+3 MenorIg 3 a la K+1
• Se tiene 3(1+2K) MenorIg 3 a la K+1
• 6K+3 MenorIg 3 a la K+1
2k +3 +4K menorIg 3 a la K+1

5. Inducción Matemática
• Se concluye que
1+2(K+1) MenorIg 3ª la K+1

6. Regla de la Suma
• Si a los dos miembros de una ecuación, les sumamos o restamos el
mismo número o la misma expresión algebraica, obtenemos una
ecuación equivalente.

7. ¿Qué quiere decir esto?
• Imaginemos que tenemos una balanza en equilibrio:

8. Regla de la Suma
• Si colocamos el mismo peso en los dos platillos, la balanza seguirá en
equilibrio:

9. Regla de la Suma
• Esto es lo que ocurre en las ecuaciones al aplicar la regla de la suma, si
aumentamos o disminuimos la misma cantidad (" el mismo peso") en los dos
miembros de la igualdad ("en los dos platillos de la balanza"), la igualdad
sigue siendo cierta para el mismo valor de la incógnita, es decir obtenemos
otra ecuación equivalente.

10. Regla de la Suma
• Por ejemplo, dada la ecuación:
• x+5=14
• Podemos sumar (-5) en los dos miembros obteniendo la ecuación equivalente
que nos da la solución:
• x+5-5=14-5
• x=9

11. Regla de Multiplicación
• Requiere que dos eventos, A y B, sean independientes. Lo son si el hecho de
que ocurra uno no altera la probabilidad de que ocurra el otro. Una forma de
entender la independencia consiste en suponer que los eventos A y B
Ocurren en diferentes tiempos.
• Por ejemplo, cuando el evento B ocurre después del evento A, ¿influye A en
la probabilidad de que el evento B ocurra? Si la respuesta es no, entonces A y
B son independientes.

12. Regla de Multiplicación
1. Regla de multiplicación de probabilidades
Si se tienen varios eventos sucesivos e independientes entre sí, la probabilidad de que ocurran todos ellos
a la vez corresponde a la multiplicación de las probabilidades de cada uno de los eventos.
Ejemplos:
1. Si se responden al azar cuatro preguntas con cinco opciones cada una, ¿cuál es la
probabilidad de acertar a todas?
La probabilidad de acierto en cada una de las preguntas es 1/5. Por lo tanto, la probabilidad de acertar en
las cuatro es:

13. Regla de Multiplicación
• 2. Suponiendo que la probabilidad de tener un hijo o una hija es ½, ¿cuál es la probabilidad de
que al tener tres hijos, 2 solamente sean varones?
• Si H representa el nacimiento de un hombre y M el de una mujer, tenemos los siguientes casos
favorables: HHM – HMH – MHH
La probabilidad de cada uno de estos eventos es:

14. Combinaciones y Permutaciones
• "Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y
bananas": no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas,
uvas y manzanas" o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.

15. Combinaciones y Permutaciones
• "La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden.
"724" no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.

16. Combinaciones y Permutaciones
• Así que en matemáticas usamos un lenguaje más preciso:
• Si el orden no importa, es una combinación.
• Si el orden si importa, es una permutación.
• Por lo tanto una permutación es una combinación ordenada.

17. Combinaciones y Permutaciones
• Existen 2 tipos de Permutaciones; Repetición y sin repetición.
• Las Permutaciones con repetición son las mas fáciles de calcular.
• Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:
n × n × ... (r veces) = nr
(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así
sucesivamente.)
Por ejemplo en la cerradura de arriba, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:
10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

18. Permutaciones sin repetición
• En este caso, se reduce el número de opciones en cada paso.

19. Permutaciones sin repetición
• 16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000
Pero a lo mejor no se quieren elegir todas, sólo 3 de ellas, así que sería
solamente:
• 16 × 15 × 14 = 3360

20. ¿Pero cómo lo escribimos matemáticamente? Respuesta: usamos la
"función factorial"
• La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números
descendentes. Ejemplos:
• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24
• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040
• 1! = 1

21. Permutaciones sin repetición
• Así que si quieres elegir todas las bolas de billar las permutaciones serían:
• 16! = 20,922,789,888,000
• Pero si sólo quieres elegir 3, tienes que dejar de multiplicar después de 14.
¿Cómo lo escribimos? Hay un buen truco... dividimos entre 13!...
• 16 × 15 × 14 × 13 × 12 .../13x12 = 16 × 15 × 14 = 3360
• 16! / 13! = 16 × 15 × 14
• La fórmula se escribe:

22. Combinaciones
• Una combinación es un arreglo donde el orden NO es importante. La
notación para las combinaciones es C(n,r) que es la cantidad de
combinaciones de “n” elementos seleccionados, “r” a la vez.
Es igual a la cantidad de permutaciones de “n” elementos tomados
“r” a la vez dividido por “r” factorial. Esto sería P(n,r)/r! en notación
matemática.

23. Combinaciones
• Ejemplo: Si se seleccionan cinco cartas de un grupo de nueve,
¿cuantas combinaciones de cinco cartas habría?
• La cantidad de combinaciones posibles sería: P(9,5)/5! =
(9*8*7*6*5)/(5*4*3*2*1) = 126 combinaciones posibles.