El documento explica los conceptos de divisibilidad, propiedades y criterios de divisibilidad. La divisibilidad se refiere a si un número es divisible por otro de forma exacta. Se describen propiedades como la transitiva y reflexiva. Los criterios de divisibilidad para los números 7, 11, 13 y 17 indican reglas para determinar la divisibilidad sin realizar la división.

1. La Divisibilidad
Concepto, propiedades, criterios y ejercicios

2. Concepto:
Un número a es divisible por otro b cuando la división a÷b es exacta, es decir,
resulta un número entero.
Ejemplos:
 El número 15 es divisible por 3 porque la división es exacta: 15/3=5
 El número 15 también es divisible por 5 porque 15/5=3

3. Concepto:
Los criterios de divisibilidad son reglas que sirven para saber si un número es
divisible por otro sin necesidad de realizar la división. Se aplican para:
1. Descomponer números en factores
2. Simplificar fracciones

4. Propiedades:
 Propiedad Transitiva: Si b≠0, a/b y b/c, entonces a/c.
Podemos comprobarlo así:
- 𝑆𝑖 𝑑 𝑦 𝑒 ∈ ℤ
- 𝑆𝑖 𝑏 = 𝑎. 𝑑 ∧ 𝑐 = 𝑏. 𝑒
⇒ c = a. d . e → c = a. d. e ⇒ 𝑎 𝑐
 Propiedad Reflexiva: Todo número es divisible por sí mismo (a/a).
Podemos comprobarlo así: a = a . 1
𝜖 ℤ
 Si a/b, entonces a/b.c
- 𝑆𝑖 𝑑 ∈ ℤ
⇒ b = a. d → bc = a. d c → bc = a d. c ⇒ 𝑎 𝑏. 𝑐
𝜖 ℤ

5. Propiedades:
 Si c≠0, ac/bc si y solo si a/b
- 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
16
4
= 4 →
16
4
×
2
2
→
32
8
= 4
 Si a/b y a/c, entonces a/bx+cy, para cualesquiera combinación
-𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜:
𝑆𝑖:
6
2
= 3,
4
2
= 2 →
6 4 +4 5
2
→
24+20
2
→
44
2
= 22

6. Criterios de divisibilidad:
1. Criterio del 7:
 Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la
cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 o un
múltiplo de 7.
 Ejemplos:
• 343  34 - 2(3) = 28 28 es múltiplo de 7
• 105  10 – 2(5) = 0
• 2261  266 – 2(1) = 224
Se repite el proceso: 224  22 – 2(4) = 14  14 es múltiplo de 7

7. Criterios de divisibilidad:
2. Criterio del 11:
 Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras
que ocupan los lugares impares y la de los pares es 0 o un múltiplo de 11.
(𝛴 de N° en lugar impar) – (𝛴 de N° en lugar par) = 11° ó 0
 Ejemplos:
• 121  (1+1)-(2)= 0
• 2728  (8+7)-(2+2)  15-4= 11
• 4224  (4+2)-(2+4)  6-6= 0

8. Criterios de divisibilidad:
3. Criterio del 13:
 Un número es divisible por 13 cuando la diferencia entre el número sin la
cifra de las unidades y 9 veces la cifra de las unidades es 0 o un múltiplo
de 13.
 Ejemplos:
• 247  24 - 9(7)  24 – 63= -39  -39 es múltiplo de 13
• 182  18 – 9(2)  18 – 18 = 0
• 3705  370 – 9(5)  370 – 45 = 325
Se repite el proceso: 325  32 – 9(5) 32 – 45 = -13

9. Criterios de divisibilidad:
3. Criterio del 17:
 Un número es divisible por 17 cuando la diferencia entre el número sin la
cifra de las unidades y 5 veces la cifra de las unidades es 0 o un múltiplo
de 17.
 Ejemplos:
• 357  35 - 5(7)  35 – 35= 0
• 561  56 – 5(1)  56 – 5 = 51  5- 5(1) = 0
• 2703  270 – 5(3)  270 – 15 = 255
Se repite el proceso: 255  25 – 5(5) 25 – 25 = 0

10. Ejercicios Aplicativos:

11. Ejercicios Aplicativos: