DOCUMENTO

1. Resolución de Problemas
Matematicos I
Teoría de Conjuntos
Docente: Demetrio
CCESA RAYME

3. Agrupación de objetos.
Extensión o Tabulación A = a,e,i,o,u
Comprensión A =x/ x es unavocal
Diagramas de VENN-EULER Representación Gráfica
REPRESENTACIÓN
A los objetos se los llama elementos.
NOTACIÓN
Letras del abecedario, en mayúscula
Ejemplo

4. a  A
CARDINALIDAD: Número de elementos: N(A
CONJUNTO
FINITO
Cantidad finita
de elementos
CONJUNTO
INFINITO
Cantidad no finita
de elementos
CONJUNTO
UNITARIO
Un sólo elemento
CONJUNTO
VACÍO No tiene elemento 
CONJUNTO
REFERENCIAL
Conjunto
Universo
Re U
A = 
a,e
B = x / x es un número real
C = 
N(A) = 5
N (B) = 
N(C) = 1
N () = 0
CONJUNTOS RELEVANTES
PERTENENCIA: 

5. CUANTIFICADORES
UNIVERSAL
➢TODO
•para todo 
EXISTENCIAL
➢ALGÚN
•Existe por lo menos uno


6. SUBCONJUNTOS
El conjunto A es subconjunto de B si y sólo
si los elementos de A están contenidos en B
(A   xx A → x B
(B  A) xx B → x A
El conjunto B es subconjunto de A si y sólo
si los elementos de B están contenidos en A

7. SUBCONJUNTO PROPIO
A
IMPORTANTE
(B  A)  
B  A  (B = A)

Ejemplo:
A = a,e,i,o,u
B = i,u
e
B
a
i u
o
1.xx A → x A (A  A)
2.xx → x A (  A)
0 → x A  1

8. CONJUNTO POTENCIA
Sea A un conjunto. El Conjunto Potencia de A , denotado como P(A),
está formado por todos los subconjuntos de A. Es decir:
A = 1,,
S1 = 
1 S4 = 
1, S7 = 1,,= A
S2 =  S5 = 1, S8 = 
S3 =  S6 = ,
P(A) = {1},{},{},{1,},{1,},{,}, A,
N(P(A)) = 2N ( A)
P(A) = S / S  A
Ejemplo

9. Ejercicios:
B = 
1,,
S1 = 1
S2 = 
,
S3 =
S4 =
P(B) = 
1,,, B, 
Ejercicios: Hallar P(P(B))

10. IGUALDAD
A = B sí y solo sí tienen los mismos elementos
(A = B) x x
(A = B) (A  B) (B  A)
CONJUNTOS DISJUNTOS.
A y B son DISJUNTOS si y sólo si, no tienen
elementos en común

11. OPERACIONES
INTERSECCIÓN A B = 
x/ x A  x B
Para tres conjuntos A B C = x / x

12. OPERACIONES
Para otros casos
A
B
A  B→A  B = A
A
B
B  A→A  B = B
A B
A  B = 

13. UNIÓN
AB =x/ x A xB
N(AB) = N(A)+N(B)−N(AB)
N(ABC) = N(A) + N(B) + N(C) − N(A B)− N(AC) − N(BC)+ N(ABC)
A B C = x/ x A xB  xC

14. DIFERENCIA
A− B = x / x A xB
sólo A
B − A = x/ x  B  x  A
sólo B
Analice otras situaciones

15. DIFERENCIA SIMÉTRICA
AB = (A− B)(B − A)
Ejemplo
A = 
1, , ,, B = 
a, ?
A  B = 
1, , ,,, a, ?
A B = 
, 

1, , 

a, ?
1,,,a,?
A − B =
B − A =
AB =

16. COMPLEMENTACIÓN DE CONJUNTO
AC
= Re− A

17. ALGEBRA DE CONJUNTOS
UNION INTERSECCIÓN
AB Conmutativa AB
A(BC)= (AB)C Asociativa A(BC)= (AB)C
A A Idempotencia A A
A = A Identidad ARe = A
ARe = Re Absorción A   = 

18. Propiedades
distributivas
A(BC)= (AB)(AC)
A(BC)= A
Complementación
C
=
ReC
= 
Doble
Complementación (AC )C
= A
De Morgan
(A B)C
= AC
 BC
(A B)C
= AC
 BC

19. Otras:
A AC
= Re
A  AC
= 
A−(BC)= (A− B)(A−C)
A−(BC)= (A− B)(A−C)
A(B − A)= A B
A−(AB)= A− B

20. A − C = 1,2,7 (B − C)− A = 8,9
N (A)= N (B)= 6
Re A
B
C
7 1
2
3
4
8
9
5
6
10
A = 
1,2,3,4,7,10
B = 
1,2,3,4,8,9
C = 
3,4,10
Solución:
A B = 1,2,3,4
(A B  C)C
= 5,6
Hallar A, B y C
Ejemplo
Sean A, B y C conjuntos no vacios tales que:
Re = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

21. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
De los 180 profesores de una universidad, 135 tienen
Grado de Doctor, 145 tienen título de Investigador;
de los doctores 114 son investigadores.
Re:Total de Profesores
31
Doctores
(135)
Investigadores
(145)
21 114
14
(180)

22. No Doctores
D
D
o
o
c
c
t
t
o
o
r
r
e
e
s
s
DETERMINE:
a) Elnúmerodeprofesores nosondoctores.
Resp. 45

23. b) Elnúmerodeprofesores quesonInvestigadores oDoctores
Doctores Investigadores
31
114
21
Resp. 166

24. c)El númerodeDoctoresquenosonInvestigadores
Resp. 21
SOLO
Doctores
21

25. d) Elnúmerodeprofesores queNOsonInvestigadores
Resp. 35
No Investigadores
Investigadores
14
21

26. e) El número de profesores que no son investigadores ni doctores
Resp. 14
Investigadores
Doctores
14

27. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Al entrevistar a 100 estudiantes se obtuvieron los siguientes
resultados: 60 practican fútbol, 50 practican básquet y 15 no
practican fútbol ni básquet. Determine el número de alumnos
que practican fútbol y básquet.
Solución:
Re:100
F
(60)
B
(50)
15
x
60-x 50-x
60-x+x+50-x=85
x=25
Segundo Método:
N(F  B) = N(F) + N(B) − N(F  B)
85 = 60+ 50 − x
x=25

28. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
En un Instituto Superior, ocurrió que, de 1600 estudiantes:
• 801 aprobaron Matemática
• 900 aprobaron Economía
• 752 aprobaron Contabilidad
• 435 aprobaron Matemática y Economía
• 398 aprobaron Matemática y Contabilidad
• 412 aprobaron Economía y Contabilidad; y,
• 310 aprobaron Matemática , Economía y Contabilidad
Re: Total de Estudiantes (1600)
310
125
88 102
Mat
(80
.1)
278
Econ.
(900)
363
252
Cont.
(752)
82
Solución:

29. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
a) Sólo una materia
Mat. Econ.
Cont. Resp. 893
278
Sólo Mat.
Solo Econ.
363
252
Solo Cont.

30. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
b) Exactamente 2 materias
Mat. Econ.
Cont.
Resp. 315
125
Solo Mat. y Econ.
Solo Mat. y Cont.
88
Solo Econ. y Cont.
102

31. Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
c) Ninguna materia
Mat.
Econ.
Cont..
No Mat. y No Cont. y No Econ.
82
Resp. 82

32. Ejemplo 3
Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
d) Al menos una materia
Mat
.
1518
Re:1600
Mat.
E
E
c
c
o
o
n
n
.
.
82
Cont.

33. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determinar cuántos de estos estudiantes aprobaron:
e) Cuando mucho 2 materias.
Cont.
Econ.
Mat.
278 363
252
125
102
88
Resp. 1208

34. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Una fábrica produce 100 artículos por hora de los
cuales 60 pasan el control de calidad . El resto de
artículos tuvieron fallas del tipo A, tipo B y tipo C, y
se repartieron del modo siguiente:
•8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
•12 artículos con sólo falla de tipo A
•3 artículos con fallas de los 3 tipos
•5 artículos con fallas de tipo A y C
•2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B.
•El número de artículos que tuvieron una sola falla
de tipo C o de tipo B fue el mismo.

35. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Solución:
Art. Sin f
Re: Total de
A B
•8 artículos con fallas del tipo A y tipo B
•12 artículos con sólo falla de tipo A
?
•3 artículos con fallas de los tipos
3
12 5
•5 artículos con fallas de tipo A y C
2
•2 artículos con sólo falla de tipo C y tipo B.
2
•El número de artículos que tuvieron una
sola falla de tipo C o de tipo B fue el
mismo.
x
x
C
12 + 5 + 3 + 2 + 2 + x + x = 40
x = 8

36. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determine:
a)¿Cuántos artículos tuvieron fallasdetipoB?
Art.B = 5 + 3 + 2 + 8 =18
Art. Sin f
Re: Total de Art. =100
A B
C
5 8
2
3

37. PROBLEMAS DE CARDINALIDAD
Determine:
b) ¿Cuántos artículos tuvieron sólo una falla?
12+ 8 + 8 = 28
Re: Total de
A B
C
8
12
8

38. 2) Escribe una formula
para el área sombreada.
(
1) Dibuja un diagrama de Venn apropiado y utiliza
la siguiente información para colocar el número de
elementos de cada región.
n(A) = 57, n(A B)= 35, n(A B)= 81, n(A
n(A C )= 21,
Tarea