DOCUMENTO

1. Docente: Demetrio
CCESA RAYME
Sesión 05 : Operaciones
con Matrices
Resolución de Problemas
Matemáticos

2. Matriz
Definición. Una matrizA es un ordenamiento o arreglo
rectangular de mn números reales denotado por:
Elemento de la matriz A
a11 a1n 
a21
A = 




a 
 m1 mn

 ⁝
a12 ...
a22 ... a2n
⁝ ⋱ ⁝
am2 ... a
Elemento que ocupa la
fila i y la columna j

3. a12 ...
a11 a1n 
a21
A = 




 ⁝
fila 1: f1

a
a22 ... a2n
⁝ ⋱ ⁝
am2 ... a
 m1 mn

fila m: fm
Columna 1
C1
Columna n
Cn
Observa que hay m filas y n columnas

4. ➢ Llamamos orden de la matrizA a la expresión mxn.
➢ Cuando m ≠ n diremos que la matriz es rectangular.
➢Cuando m = n diremos que A es matriz cuadrada, en este
caso también se dice que la matriz es de orden m.
4
-2 0
3 6
 2×3
-2
3 1 
 2×2
Dadas las matrices: A =
1
y B =
4
a11 = ? , a22 = ?, a23 = ?; b12 = ?; b21 = ?
Determinar:

5. Igualdad de Matrices. Dos matrices A y B, ambas del
mismo orden, son iguales si tienen los mismos
elementos.
1 -2
4 3 
 1

x + y, halle x e y.
Ejemplo. Si =
Rpta: x = 2 , y = - 4
 
2x 3
 

6. 1. Matriz Fila (o Vector Fila): Cuando tiene solo una fila.
-5 3 2
Ejemplo: M1×4 = 1
3×1
E = 2
2. Matriz Columna (o Vector Columna):Cuando tiene
una sola columna.
 6 
 
 
-7
Ejemplo:
0

0

0
B = 
0 0 0
0 
0 0
3. Matriz Nula: Cuando todos sus elementos son cero.
0 0 0
Ejemplo:A = 0 0
0

7. 4. Matriz Cuadrada: Cuando m = n (N ̊ filas = N ̊ columnas)
 8 -2 1
9
A =  3 -5

-6 0

2
Ejemplo:
diagonal principal
n


nn nn

a
A = 
 n1 n2
a2n

a1n 
a11
a21
⁝ 
a12 ...
a22 ...
⁝ ⋱
a ... a
 ⁝
Diagonal principal:

8. 5. Matriz Diagonal: Ocurre cuando los elementos que no
pertenecen a la diagonal principal son todos iguales a cero.

8

0
0
2 0 0
Ejemplo: D = 0 4
0
6. Matriz Identidad. Es una matriz diagonal, cuyos elemen-
tos de la diagonal principal son todos iguales a la unidad.
1 0 0 0
1 0
0 1
0 0
0 0

0
0

0 1

 
1 0
2x2 = 2 = 
0 1
 
1 0 0
 , 3x3 = 3 = 0 1
0
0 , 4 = 
0 1
 

9. 7. Matriz triangular superior: Es una matriz cuadrada
cuyos elementos que se encuentran debajo de la
diagonal principal son iguales a cero.
2 -3 1
B = 0 -5
0
7

0

4
0 


2
9 0 0 
C = -1 4 
3 -8
8. Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos
que están por encima de la diagonal principal son iguales
a cero.
Ejemplos
M. triangular
inferior
M. triangular
superior

10. 9. Matriz simétrica. Es una matriz cuadrada donde los ele-
mentos simétricos, respecto de la diagonal, son iguales.
Ejemplo: E = 3 7
1 3 8
2
7

8

8 diagonal principal

11. 10. Transpuesta de una matriz A: Es otra matriz denotada
por At en donde los elementos de la fila y la columna
están intercambiados.
A =
3
0
-1
7 -8
 
3 0 
7 
2 
 At = -1


2

-8
Ejemplo:

12. Operaciones con Matrices
1. Suma ( o resta) de matrices: Las matrices deben tener el
mismo orden. La suma o resta se realiza termino a termino.
-7 + 2 4 
Ejemplo: 0

2
 
5  6
1 -2 6 5  2 9 -4 -6
-1 2 0 3 
8 -3 -3 4 -
1


3 7 2 -1
= 2 -1 5 -3
5 1

8

4 

Ejemplo: 6 
 
24 -12
 

 4 − 2

1  =  0
2. Multiplicación de un escalar por una matriz
Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar
−3 2  -18 12 
6 0

13. La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma
dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión
que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij. Por
tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener
la misma dimensión.
La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
Ejemplo
Sin embargo, no se pueden sumar.
La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define
como: A–B = A + (–B)
Suma y diferencia de Matrices

14. Producto de una Matriz por un número
El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B =
(bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se
obtiene multiplicando aij por k, es decir, bij = k·aij.
Ejemplo:
El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A. Al
número real k se le llama también escalar, y a este producto,
producto de escalares por matrices

15. Operaciones con Matrices
Suma de Elementos = 21
Suma de Elementos = 5
Traza (A+B)=6
Traza (A − B)=0

16. 1 2 −3
4 1 0
−3 1 7
+
4 −2 1
0 2 −1
1 2 3
A B
Suma de elementos de A+B
Traza (A+B)

17. 1 2 −3
4 1 0
−3 1 7
+
4 −2 1
0 2 −1
1 2 3
5 0 −2
4 3 −1
−2 3 10
A
A + B =
B
Suma de elementos de A+B = 5+0-2+4+3-1-2+3+10=20
Traza (A+B)= 18

18. 1 2 −3
4 1 0
−3 1 7
−
4 −2 1
0 2 −1
1 2 3
M N
Suma de elementos de M+N
Traza (M+N)

19. 1 2 −3
4 1 0
−3 1 7
−
4 −2 1
0 2 −1
1 2 3
−3 4 −4
4 −1 1
−4 −1 4
M
M − N =
N
Suma de elementos de M-N = -3+4-4+4-1+1-4-1+4=0
Traza (M-N)= 0

20. A + B − C =

21. Suma Elem. = 27
Traz(A+B-C))= 10

22. − A − B + C =

23. Suma Elem. = -27
Traz(-A-B+C))=-10

24. 







−
−
2
5
3
1
2
1








−
−
3
1
1
1
2
2








−
5
7
9
5
2
4








−
−
−
5
7
9
5
2
4








−
5
7
9
5
2
4








2
0
1
1
2
4








−
9
5
2
4
2
1
CALCULAR: 2A− 3B
A = B =
a) b) c) d) e)

25. 3. Multiplicación de una matriz fila por una matriz columna.
Sea la matriz fila A = 
ai j 
1×p y la matriz columna B = 
bi j 
p×1
Definimos el producto de A con B como:
A X
1xp
B px1= C 1x1
“Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
11 a12
a
 □
21
b11 
b 
 

 
 

bp1


1p p1
a b
+ L +
11 12 21
a1p   = 11
a b + a b

26. Ejemplo: 2 -1 3 4
4. Multiplicación de Matrices. Sean las matrices
y
= 2(3)+ (− 1)(4)+ 3(− 2)+ 4(2)= 4
A = 
ai j

m×p
B = bij p×n
, definimos el producto de A con B,
B pxn = C mxn
como sigue: A X
mxp
tal que C = [ ci j ]
=
“Nº de columnas de A = Nº de filas de B”
donde cij = (fila i de A)(columna j de B)

27. 1 2 -1
3 1 4
-2 5

 , B =  4 -3
 

 2 1 

Ejemplo. Determine C=AB si: A = 
Solución
Se cumple: Nº de columnas de A = 3 = Nº de filas de B
2
-2
-1 4  = 4
Calculo de cij
c11 = (fila 1 de A)(columna 1 de B) = 1
c12 = (fila 1 de A)(columna 2 de B) = 1 2
 

 2 

 5 
-1−3 = - 2
 

 1 

De igual manera: c21 = 6, c22 = 16
Nos queda: 
1 2
3 1
-1-2 5 

 4
4  

 2 1 
 
 16 
6
4 − 2
-3
= C =

28. Observaciones importantes
1. El producto de matrices no siempre es conmutativo.
Ejemplo
 1 2
 B =
-9 8 7
5
Sean A = -3 4 
 6 4
 


 5

-6
T
enemos: AB =  51

11
 3 18 15
 -4 -5 , mientras que: BA= 
-81 10
 2 -28

11 8 
Se tiene que AB ≠ BA
Nota: Pero para cualquier matriz cuadrada A se tiene
AI=IA, donde I es la matriz identidad