Evaluación numérica de la respuesta dinámica

1. ING. ERLY MARVIN ENRIQUEZ QUISPE Pág. 1
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA
RESPUESTA DINÁMICA
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA
Ing. Erly Marvin Enriquez Quispe
ing_erlyenriquez@hotmail.com
1. INTRODUCCIÓN
Por lo general, la solución analítica de la ecuación de movimiento para un sistema
de un solo grado de libertad no es posible si la excitación [fuerza p(t) o aceleración del
terreno üg(t)] varía arbitrariamente con el tiempo o si el sistema no es lineal.
̈ ̇
Donde:
√
̇
̈
Tales problemas pueden abordarse mediante métodos numéricos paso a paso en el
tiempo para la integración de ecuaciones diferenciales. Existe una gran cantidad de
información, incluyendo los capítulos más importantes de varios libros, sobre estos
métodos para resolver distintos tipos de ecuaciones diferenciales que se presentan en
el área general de la mecánica aplicada.
2. MÉTODO DE NEWMARK
2.1 PROCEDIMIENTO BÁSICO
En 1959, N. M. Newmark desarrolló una familia de métodos paso a paso en el
tiempo basándose en las siguientes ecuaciones:
̇ ̇ [ ] ̈ ̈
̇ [ ] ̈ [ ] ̈

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Los parámetros β y γ definen la variación de la aceleración durante un paso de
tiempo (Δt) y determinan las características de estabilidad y precisión del método. La
selección típica de γ es de 1/2, y 1/6 ≤ β ≤ 1/4 es satisfactoria desde todos los puntos de
vista, incluido el de la precisión. Estas dos ecuaciones, en combinación con la ecuación
de equilibrio (1) al final del paso de tiempo, proporcionan la base para calcular , ̇
y ̈ en el tiempo i + 1 a partir de , ̇ , y ̈ conocidas en el tiempo i. Para
implementar estos cálculos es necesario iterar debido a que la ̈ desconocida
aparece en el lado derecho de la ecuación (1a).
2.2 CASOS ESPECIALES
Figura 1. Variación de la aceleración de la masa durante el intervalo Δt según el valor β
en el método Beta de Newmark
2.3 SISTEMAS LINEALES EN FUNCIÓN DE LA MASA Y RIGIDEZ
De la ecuación (1b) se puede expresar de la siguiente manera:
̈
̇
( ) ̈
Si se sustituye la ecuación (2a) en la ecuación (1a) resulta:
̇ ( ) ̇ ( ) ̈
Ahora sustituyendo las ecuaciones (2a) y (2b) en (1) se tiene:
[ ] [ ( )] ̇ [ ( ) ( )] ̈
[ ]

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Si:
( )
( ) ( )
Entonces:
̇ ̈
Donde ̈ para la fuerza inercial producida por el sismo. Finalmente
hallamos ̇ y ̈ de las ecuaciones (2b) y (2a) respectivamente.
2.4 SISTEMAS LINEALES EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA ANGULAR
En la ecuación (1) si ̈ entonces la ecuación sería:
̈ ̇ ̈
Si sabemos que: ⁄ √ ⇒ ⁄ la ecuación (4) sería:
̈ ̇ ̈
Ahora sustituyendo las ecuaciones (1a) y (1b) en (5) se tiene:
̈
̈ [ ] ̇ [ ] ̈
[ ]
Si:
Entonces:
̈
̈ ̇ ̈
Finalmente hallamos ̇ y de las ecuaciones (1a) y (1b) respectivamente.

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3. EJEMPLO DE APLICACIÓN
T: Periodo de la Estructura (s) 0.20
ωn: Frecuencia natural angular (rad/s) 31.42
ξ: Fracción de amortiguamiento crítico 0.05
ϒ: Coeficiente gama 0.50
β: Coeficiente beta 0.17
Δt: Variación del tiempo (s) 0.02
A 1.10 C 22.88
B 986.96 D 0.16
t (s) u''gi u''i u'i ui
0.00 0.00 0.00 0.00 0.0000
0.02 -14.25 12.99 0.13 0.0009
0.04 -7.78 1.67 0.28 0.0053
0.06 -6.30 -5.05 0.24 0.0107
0.08 1.49 -15.31 0.04 0.0139
0.10 3.00 -13.76 -0.25 0.0117
0.12 -1.75 -1.65 -0.41 0.0047
0.14 1.73 2.87 -0.39 -0.0034
0.16 5.06 6.23 -0.30 -0.0105
0.18 0.14 14.68 -0.09 -0.0147
0.20 -4.58 17.17 0.23 -0.0135
0.22 0.27 4.63 0.44 -0.0064
0.24 6.34 -9.98 0.39 0.0024
0.26 3.44 -11.98 0.17 0.0081
0.28 1.71 -10.63 -0.06 0.0092
0.30 -2.35 -3.40 -0.20 0.0065
0.32 -4.16 2.58 -0.20 0.0022
0.34 -0.10 1.95 -0.16 -0.0014
0.36 -4.36 8.23 -0.06 -0.0037
0.38 -3.77 6.77 0.09 -0.0033
0.40 3.12 -2.78 0.13 -0.0008
0.42 0.36 -1.99 0.08 0.0014
0.44 2.89 -5.35 0.01 0.0025
0.46 8.30 -9.22 -0.13 0.0014
0.48 -0.83 3.71 -0.19 -0.0023
0.50 -6.09 11.03 -0.04 -0.0049
0.52 -2.19 5.62 0.12 -0.0039
0.54 -3.51 3.25 0.21 -0.0004
0.56 -6.27 1.16 0.26 0.0044
0.58 -2.99 -6.73 0.20 0.0092
0.60 2.42 -13.68 0.00 0.0114
0.62 1.57 -9.61 -0.24 0.0089
0.64 0.79 -2.39 -0.36 0.0028
0.66 7.57 -1.60 -0.40 -0.0048
0.68 5.94 7.38 -0.34 -0.0124
0.70 -1.77 18.73 -0.08 -0.0169
EVALUACIÓN NUMÉRICA DE LA RESPUESTA DINÁMICA - NEWMARK
Sismo de Lima del 17/10/1966 N-S
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4. CONCLUSIONES
- El método de Newmark nos permite determinar con gran precisión la respuesta
dinámica elástica de un sistema de un grado de libertad, ya sea en función de su
masa y rigidez o en función de su frecuencia angular.
5. BIBLIOGRAFÍA
- ANIL K. CHOPRA. (2014). Dinámica de Estructuras (Cuarta Edición). México,
Pearson Educación.