teorema de bayes y regla de multiplicacion de probabilidad

1. Escuela de Ciencias de la Computación - UTPL
Estadística Analítica
Regla de la multiplicación
De la definición de probabilidad condicionada se deduce una forma de calcular la
probabilidad de la intersección de dos sucesos:
P [A ∩ B] = P [B] P [A|B]
si P[B] > 0.
Ejemplo.- Una caja contiene 10 fusibles, de los cuales 3 vienen defectuosos y los 7
restantes se encuentran en buen estado. Extraemos de forma sucesiva dos fusibles de la caja.
Se desea calcular la probabilidad de que el primer fusible extraído sea defectuoso, y el segundo
no defectuoso.
Consideramos los sucesos
Di: el i-ésimo fusible extraído sea defectuoso, i = 1, 2.
Ni:el i-ésimo fusible extraído sea no defectuoso, i = 1,
2. Entonces,
El resultado anterior se puede generalizar a tres o más sucesos. Así, si P [A1 ∩ A2] > 0.
P[A1 ∩ A2 ∩ A3] = P[A1]P[A2|A1]P[A3|A1 ∩ A2].
Obsérvese que si P[A1 ∩ A2] > 0, entonces P[A1] ≥ P[A1 ∩ A2] > 0, por lo que tiene
sentido calcular la probabilidad condicionada P [A2|A1].
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Estadística Analítica
Teorema: Dados A1, A2, . . . , An sucesos, si P [A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1] > 0, entonces
P[A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An] = P[A1] P[A2|A1] · ... · P[An|A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An−1].
Ejemplo.- Suponemos que en el ejemplo anterior, en el que teníamos 3 fusibles defectuosos y
7 en buen estado, extraemos sucesivamente cuatro fusibles y nos planteamos calcular la
probabilidad de que el primero sea defectuoso y el resto no lo sea.
La probabilidad que queremos calcular es P [D1 ∩ N2 ∩ N3 ∩ N4]. Utilizando la regla de la
multiplicación, podemos obtenerla de la siguiente manera:
Teorema de Bayes
Dado un sistema completo de sucesos, {A1, . . . , An}, con P [Ai] > 0, i = 1,. . . , n, y S
otro suceso cualquiera con P [S] > 0, se tiene
Demostración
Por la definición de probabilidad condicionada y utilizando la propiedad conmutativa
de la intersección:
Utilizando la regla de la multiplicación en el numerador y desarrollando el denominador
mediante el TPT se tiene que:
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Estadística Analítica
Ejemplo: Teniendo una urna con 3 bolas blancas y 5 negras tras dos extracciones sucesivas
vemos que el resultado de la segunda extracción ha sido una bola blanca, nos planteamos
cuál es la probabilidad de que en la primera extracción la bola fuera del mismo color,
tendremos que calcular:
Obsérvese que, por el TPT, el denominador coincide con P[B2] que ya ha sido calculado
anteriormente, por lo que, según el esquema:
la probabilidad que buscamos es:
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Estadística Analítica
Tomado de: Universidad de Sevilla. Regla de Multiplicación: [en línea], España. Disponible en:
http://ocwus.us.es/estadistica-e-investigacion-operativa/estadistica/temas/apartado2.pdf [consulta
14-06-2011]
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