Este documento describe cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones y 3 incógnitas utilizando el método de la matriz inversa. Explica cómo escribir el sistema como una ecuación matricial AX=B, calcular la matriz inversa A-1, y luego multiplicar A-1 por B para obtener la solución X. Aplica este método a un sistema de ejemplo y obtiene la solución x=1, y=1, z=0.

1. I. Para cada uno de los siguientes sistemas utiliza el método de la
matriz inversa para determinar su solución.
1)
5𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = 9
𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 2
−3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑧 = 1
Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden escribir como una ecuación
matricial, de forma que cualquier sistema lo escribiremos como AX=B, donde A es
la matriz de coeficientes, X la matriz de incógnitas y B la matriz de términos
independientes.
Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a resolver
la ecuación matricial AX=B
Como sabemos, no está definida la operación división entre matrices, por lo tanto,
debemos buscar la manera de despejar la X de la ecuación sin usar la división.
La definición del elemento inverso soluciona el problema, por tanto; la solución de
la ecuación será:
𝐴𝑋 = 𝐵 → 𝐴−1
𝐴𝑋 = 𝐴−1
𝐵 → 𝑋 = 𝐴−1
𝐵
Solución:
1. Calculamos la matriz de coeficientes y su determinante, el cual debe
cumplir con la condición: 𝐴 ≠ 0
|𝐴| = [
5 4 −2
1 1 −1
−3 4 5
] = 25 + 12 − 8 − (6 + 20 − 20) = 23
Por lo tanto, 𝐴−1
sí existe y es compatible determinado.
2. Procedemos a aplicar el método de la matriz inversa. Para ello, escribirmos
el sistema en forma matricial:
(
5 4 −2
1 1 −1
−3 4 5
)(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
9
2
1
)
Para calcular las incógnitas despejamos la ecuación, atendiendo a lo siguiente:

2. 𝐴𝑋 = 𝐵
𝐴−1
𝐴𝑋 = 𝐴−1
𝐵
𝑋 = 𝐴−1
𝐵
(
𝑥
𝑦
𝑧
) = (
5 4 −2
1 1 −1
−3 4 5
)
−1
(
9
2
1
)
Para encontrar la matriz inversa, seguimos el siguiente procedimiento:
a) Encontramos la matriz traspuesta:
𝐴𝑡
= [
5 1 −3
4 1 4
−2 −1 5
]
2. Encontramos la matriz adjunta de la anterior matriz:
𝐴1,1 = (−1)(1+1)
∙ [
1 −1
4 5
] = 1(5− (−4)) = 1(9) = 9
𝐴1,2 = (−1)(1+2)
∙ [
1 −1
−3 5
] = −1(5 − 3) = −1(2) = −2
𝐴1,3 = (−1)(1+3)
∙ [
1 1
−3 4
] = 1(4 − (−3) = 1(7) = 7
𝐴2,1 = (−1)(2+1)
∙ [
4 −2
4 5
] = −1(20 − (−8) = −1(28) = −28
𝐴2,2 = (−1)(2+2)
∙ [
5 −2
−3 5
] = 1(25 − 6) = 19
𝐴2,3 = (−1)(2+3)
∙ [
5 4
−3 4
] = −1(20 − (−12) = −1(32) = −32
𝐴3,1 = (−1)(3+1)
∙ [
4 −2
1 −1
] = 1((−4)− (−2)) = 1(−4 + 2) = 1(−2) = −2
𝐴3,2 = (−1)(3+2)
∙ [
5 −2
1 −1
] = −1(−5 − (−2)) = −1(−5 + 2) = −1(−3) = 3
𝐴3,3 = (−1)(3+3)
∙ [
5 4
1 1
] = 1(5− 4) = 1(1) = 1
Por tanto:

3. 𝑎𝑑𝑗(𝐴𝑡) = [
9 −28 −2
−2 19 3
7 −32 1
]
Por último, encontramos nuestra matriz inversa aplicando la fórmula:
𝐴−1
=
𝐴𝑑𝑗 (𝐴𝑡)
|𝐴|
𝐴−1
=
(
9 −28 −2
−2 19 3
7 −32 1
)
23
=
𝐴−1
=
[
9
23
−28
23
−2
23
−2
23
19
23
3
23
7
23
−32
23
1
23]
𝐴−1
𝐵 =
[
9
23
−28
23
−2
23
−2
23
19
23
3
23
7
23
−32
23
1
23]
[
9
2
1
]
Las filas de la primera matriz se multiplican por las columnas de la segunda:
=
[
9
23
∙ 9 +
−28
23
∙ 2 +
−2
23
∙ 1
−2
23
∙ 9 +
19
23
∙ 2 +
3
23
∙ 1
7
23
∙ 9 +
−32
23
∙ 2 +
1
23
∙ 1 ]
9
23
∙ 9 =
81
23

4. −28
23
∙ 2 = −
56
23
−2
23
∙ 1 = −
2
23
81
23
+ (−
56
23
) + (−
2
23
) =
23
23
= 1
−2
23
∙ 9 =
−18
23
19
23
∙ 2 =
38
23
3
23
∙ 1 =
3
23
(−
18
23
) +
38
23
+
3
23
=
23
23
= 1
7
23
∙ 9 =
63
23
−32
23
∙ 2 = −
64
23
1
23
∙ 1 =
1
23
63
23
+ (−
64
23
) +
1
23
=
0
23
= 0
Por tanto, la solución de la multiplicación de matrices es:
[
1
1
0
]
Por lo anterior, la solución del sistema de ecuaciones 3x3 es:
𝑥 = 1
𝑦 = 1
𝑧 = 0