Este documento presenta una serie de actividades y problemas de análisis matemático para resolver, incluyendo el cálculo de ecuaciones de rectas normales y tangentes a curvas, límites de funciones, representación gráfica de funciones, aplicación de teoremas como Bolzano, Rolle y Lagrange, problemas de optimización, cálculo de integrales indefinidas y definidas, y más. Se pide resolver cada problema y cuestión planteada.

1. ACTIVIDADES DE ANÁLISIS
MATEMÁTICAS II
Fuente: Proyecto Matex

4.  Considerando la curva :
a) Calcula la ecuación de la recta normal a la curva en el punto de abscisa x = - 1.
b) Determina el punto en el que la recta tangente es paralela al eje de abscisas.
 Considerando la curva :
a) Calcula la ecuación de la recta normal a la curva en el punto de abscisa x = - 1.
b) Determina el punto en el que la recta tangente es paralela la recta .
 Calcula los siguientes límites de funciones:
a) (sol=1/2) d) (sol= no existe)
b) (sol=e2
) e) (sol=1/2)
c) (sol=+∞) f) (sol=1)

5. Representa gráficamente las siguientes funciones.

7. Problemas de los teoremas de Bolzano, Rolle y Lagrange
 Demuestra que la función , tiene un único punto de corte con
el eje de abscisas.

8. Problemas de optimización
 La altura de una piedra lanzada verticalmente hacia arriba cumple la
ecuación x 6 39,2 t 4,9 t 2
, donde x se mide en metros y t en segundos.
¿Cuál es la máxima altura que alcanza? ¿En qué momento? ¿Cuál es la
velocidad en ese instante?
Solución: Llega a 84,4 m., cuando han transcurrido 4 seg., siendo en ese instante su
velocidad cero.
 Una empresa ha realizado un estudio acerca de los costes de producción
llegando a la conclusión de que producir x unidades de un objeto dado tiene
un coste (en euros) expresado por f (x) 0´25x2
25x 700
a) ¿Cuántas unidades han de producirse para tener un coste de 175 euros?
b) Halla el número de unidades que se deben producir para que el coste sea
mínimo.
c) ¿Cuánto es ese coste mínimo?
Solución: a) 30 o 70 unidades b) 50 unidades c) 65 euros
 Suponemos que el rendimiento r de un alumno en un examen de una hora
viene dado por r(t) 300 t 1t, donde 0 t 1 es el tiempo (en horas)
transcurrido desde el comienzo del examen. Se pide:
a) ¿En qué momentos el rendimiento es nulo?
b) ¿En qué momento se obtiene el mayor rendimiento y cuál es?
c) ¿En qué momentos aumenta o disminuye el rendimiento?
Solución: a) Al comienzo y al final del examen b) A mitad de examen y es 75
c) Aumenta en la primera media hora y disminuye en la segunda media hora
 El área (en cm2) afectada por una infección cutánea se desarrolla a partir del
instante t = 0 según la función:
, donde t se da en días. Determinar:
a) La superficie afectada por la infección en el instante inicial.
b) El momento en que el área afectada es máxima y el valor de dicha área.
c) El comportamiento de la infección cuando transcurren muchos días. ¿Se
estabiliza o desaparece?
Solución: a) 10 cm2 b) t = 3, siendo el área afectada 6+1/10cm2
c) Tiende a estabilizarse, tendiendo hacia 10 cm2
Integrales indefinidas

9. Aplicación de las integrales definidas: Cálculo de áreas