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La varianza es la media aritmética del cuadrado de estadística varianza

  1. 1. La varianza es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a lamedia de una distribución estadística.La varianza se representa por σ2.Varianza para datos agrupadosPara simplificar el cálculo de la varianza vamos o utilizar las siguientes expresionesque son equivalentes a las anteriores.Varianza para datos agrupadosEjercicios de varianzaCalcular la varianza de la distribución:9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18Calcular la varianza de la distribución de la tabla:
  2. 2. xi fi xi · fi xi2 · fi[10, 20) 15 1 15 225[20, 30) 25 8 200 5000 [30,40) 35 10 350 12 250[40, 50) 45 9 405 18 225 [50, 60 55 8 440 24 200 [60,70) 65 4 260 16 900[70, 80) 75 2 150 11 250 42 1 820 88 050Propiedades de la varianza1 La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuacionessean iguales.2 Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.3 Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza quedamultiplicada por el cuadrado de dicho número.4 Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivasvarianzas se puede calcular la varianza total.Si todas las muestras tienen el mismo tamaño:Si las muestras tienen distinto tamaño:
  3. 3. Observaciones sobre la varianza1 La varianza, al igual que la media, es un índice muy sensible a las puntuacionesextremas.2 En los casos que no se pueda hallar la media tampoco será posible hallar la varianza.3 La varianza no viene expresada en las mismas unidades que los datos, ya que lasdesviaciones están elevadas al cuadrado.Varianza y desviación típicaComo forma de medir la dispersión de los datos hemos descartado: • , pues sabemos que esa suma vale 0, ya que las desviaciones con respecto a la media se compensan al haber términos en esa suma que son de signos distintos. • Para tener el mismo signo al sumar las desviaciones con respecto a la media podemos realizar la suma con valores absolutos. Esto nos lleva a la Dm, pero como hemos mencionado, tiene poco interés por las dificultades que presenta.Si las desviaciones con respecto a la media las consideramos al cuadrado, , denuevo obtenemos que todos los sumandos tienen el mismo signo (positivo). Esta esademás la forma de medir la dispersión de los datos de forma que sus propiedadesmatemáticas son más fáciles de utilizar. Vamos a definir entonces dos estadísticos queserán fundamentales en el resto del curso: La varianza y la desviación típica.La varianza, , se define como la media de las diferencias cuadráticas de npuntuaciones con respecto a su media aritmética, es decirPara datos agrupados en tablas, usando las notaciones establcidas en los capítulosanteriores, la varianza se puede escibir comoUna fórmula equivalente para el cálculo de la varianza está basada en lo siguiente:
  4. 4. Con lo cual se tieneSi los datos están agrupados en tablas, es evidente queLa varianza no tiene la misma magnitud que las observaciones (ej. si las observacionesse miden en metros, la varianza lo hace en ). Si queremos que la medida dedispersión sea de la misma dimensionalidad que las observaciones bastará con tomar suraíz cuadrada. Por ello se define la desviación típica, , como2.7.4.1 EjemploCalcular la varianza y desviación típica de las siguientes cantidades medidas en metros:
  5. 5. 3,3,4,4,5Solución: Para calcular dichas medidas de dispersión es necesario calcular previamenteel valor con respecto al cual vamos a medir las diferencias. Éste es la media:La varianza es:siendo la desviación típica su raíz cuadrada:Las siguientes propiedades de la varianza (respectivamente, desviación típica) sonimportantes a la hora de hacer un cambio de origen y escala a una variable. En primerlugar, la varianza (resp. Desviación típica) no se ve afectada si al conjunto de valores dela variable se le añade una constante. Si además cada observación es multiplicada porotra constante, en este caso la varianza cambia en relación al cuadrado de la constante(resp. La desviación típica cambia en relación al valor absoluto de la constante). Estoqueda precisado en la siguiente proposicion:5.2 LA VARIANZAOtra forma para asegurar que las diferencias entre la media y los puntosde un valor positivo, es elevándola al cuadrado. Al promedio de estasdistancias al cuadrado se le conoce como varianza. Varianza (S2 o σ 2): Es el resultado de la división de la
  6. 6. sumatoria de las distancias existentes entre cada dato y su media aritmética elevadas al cuadrado, y el número total de datos.Distinguimos dos símbolos para identificar la varianza: S2 para datos muestrales, y σ2para datos poblacionales. Note que la fórmula para la varianza muestral presenta en sudenominador al tamaño de la muestra menos uno, tendencia adoptada por losestadísticos para denotar una varianza más conservadora.Al igual que ocurre con la desviación media, podemos definir las fórmulas para datosagrupados en tablas tipo A y tipo B. Para las tablas tipo A tenemos:Una advertencia en el uso de esta medida, es que al elevar las distancias al cuadrado,automáticamente se elevan las unidades. Por ejemplo, si unidad trabajada en los datos escentímetros, la varianza da como resultados centímetros al cuadrado.5.2.1 Ejemplo: Varianza para datos no agrupadosLa siguiente muestra representa las edades de 25 personas sometidas a un análisis depreferencias para un estudio de mercado. 25 19 21 35 44 20 27 32 38 33 18 30 19 29 33 26 24 28 39 31 31 18 17 30 27Determinar la varianza.SOLUCIÓNPASO 1: Calcular la media aritmética.PASO 2: Calcular la varianzaEn este punto, la varianza es identificada por S2.La varianza equivale a 51,8567. Por elevar las unidades al cuadrado, carece de unsignificado contextual dentro del análisis descriptivo del caso.5.2.2 Ejemplo: Varianza para datos agrupadosCalcular la varianza a partir de la siguiente tabla de frecuencia (suponga que los datosson poblacionales).
  7. 7. Ni Lm Ls f Mc 1 [15 17) 2 16 2 [17 19) 5 18 3 [19 21) 13 20 4 [21 23) 4 22 5 [23 25] 1 24 Total 25SOLUCIÓNPASO 1: Calcular la media aritmética.PASO 2: Calcular la varianzaEn este punto, la varianza es identificada por S2.5.2.3 Cálculo de la varianza en ExcelExcel posee dos funciones propias para el cálculo de la media, diferenciando los datosmuestrales de los datos poblacionales. VAR: Calcula la varianza de una muestra. Formato: VAR(número1;número2;…) Categoría: Estadísticas VARP: Calcula la varianza de todos los datos de una población.
  8. 8. Formato: VARP(número1;número2;…) Categoría: EstadísticasMostremos su funcionamiento calculando la varianza en ambos casos a partir de lossiguientes datos: 138,2 195,8 124,5 101,7 137,1 130,3 110,0 101,4 104,5 128,5 135,5 197,5 159,6 140,7 103,2 134,3 191 180,6 189,9 186,3 116,4 155,3 146,6 199,1 188,4 113,8 121,9 135,7 142,6 125,6Los datos copiados en Excel desde la celda B2 deberían verse como sigue:Si los datos provienen de una muestra, emplearemos la función VAR, en cuyodenominador se tendría el valor 29 en vez de 30, equivalente al tamaño de la muestra.Activemos esta función en la celda B8.El resultado de la varianza muestral es de 1034,138051.En la celda B9 calculemos la varianza para datos poblacionales.La función de la varianza VARP, divide la sumatoria de las distancias al cuadrado porlos 30 datos, dando como resultado un valor menor que con la función VAR (lavarianza para la muestra es un valor más conservador).Para el cálculo de la varianza en datos agrupados en Excel, tomaremos la tabla defrecuencia dada en el ejemplo 5.2.2.Calculemos la media en la celda B10.En una columna adicional colocaremos las diferencias entre la marca de clase y lamedia elevadas al cuadrado multiplicadas por su frecuencia.Analicemos la fórmula empleada desde la celda C3.
  9. 9. La celda B10 esta fija indicando la media aritmética. Aparece el operador ∧, la cualeleva al cuadrado lo que esta dentro del paréntesis. Esta distancia se multiplica por elnúmero de veces que se repite (por su frecuencia). Al final calculamos su sumatoria.En la celda B11 calculamos la varianza.

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