1. El documento explica las ecuaciones fundamentales para determinar el tamaño óptimo de muestra para la estimación de medias, totales poblacionales, proporciones y varianzas. 2. Se describen los pasos a seguir que incluyen calcular el tamaño de muestra inicial n y corregirlo si n/N es mayor o igual a 5%. 3. También se presenta un ejemplo numérico para calcular el tamaño de muestra requerido para estimar un promedio con un 20% de error y 95% de confianza.

1. 30
MuestreO
TAMANO OPTIMO BDE MUESTRA
1.ECUACION FUNDANENTAL DEL MUESTREO
Sabemos que el valor correcto de un parámetro
a través de un censo,es decir,por el estudio de toda
Sin enbargo,en muestreo l tomar una muestra de tamaño n sólo
se puede determinar
la población,
revi,
samos una fracción n/N de una poblacion de tamario N y en base ae1la
inferimos el valor delparánetro poblacional.ES evidente que en.es
tas condiciones existirá un error en 1a estimacion.siempre o casi
siempre existirá un error;pero este es controlable.Asi, conocemos
gue la varianza de la media muestral es:
s
Vy) = (--.
N
la cual se encuentra en función -del tàmaño de muestra,Cuano n aumen
ta la varianza v(G) disminuye hasta alcanzar e2 el caso 1imite ñ=
en el que la varianza del estinador se anula ,el muestreo se convier
te en censo y el error de estimación d = 0;
Bntonces el muestreo 1leva involucrado un error que denota
mos por d;éste es un determinado porcentaje del valor dl paránetro
en consideración,diganos: * "
d-(x%) Y¥ d=(x*)Y o d=(x*)P.
El investigador debe estar consciente de este error,con respecto al
parámetro poblacional existe un determinado porcentaje de é que es
tá dispuesto a aceptar como error de muestreO.
Sin embargo como el azar estápresente en cada muestra gue
se elige;el invstigador no puede asegurar para todas las muestras
posibles un mismo error.Yaque como se señala en la siguiente dis
tribución de un
estinador,bajoi
la aproxinación normal( Ver Gra
fico),los intervalos de
magni
tud d a la
derecha e
izquierda
del parámetro Y,por lo genéral
no cubren a toda la. distribu
ción;por lo cual en las áreas
punteadas sigue, existiendo pro
babilidad,es deci:,oportunidad
de que algunas muedtras sean
elegidas y arrogen un error ma
yor a å.
.
d= %Y
O0
E()=Y
Para tomar en
consideración este hecho,se introduce E* con
cepto de
CONFIANZA;es decir,se acepta un error d=(x%)Y cOn una con
fianza del 95% en el
sentido de que si se
muestreara repeiu de
ces,en promedi0,95 de cada 100 muestras tc.drian máximo un er
ve
magnitud d,y 5 de ellas tendian un error mayor.
En
muestreo,la PRECISION con que se desea una
estina
d& indicada po un error d
ilual a x* del paránetro y una cn
-entre 0 9 100%,Evidentemente las confianzas más solicitadas **
lanna
estimación que
próximas al 100%.

2. e s t r e O 37-
Como 4a.desviación estandaz del estimador está dada por el cOciente
entre el error estipulado(d! y el valor de la abscisa 2 en la dis
tribución' normal que nos deia en la parte cena! de: la curva un a
rea 1gual a 1a confianza csvecifica?a 'se'veritlca gie:
.
1.lamada VA
RIANZA DESE
ADA para el
estimador.
c/2
de donde,
expres1on que se conoce con el nombre de ECUACION FUNDI'ENTAL DEL
MUBSTRE0,y que relaciona la precisión;la confiinaa, y la varianza
deseada o estinada para nuestro estimador.
2.TAMANO DE MUESTRA PARA. LA ESTIMACION DE MFDIAS.
Como
se desea estimar la media entonces en la ecuación fundamental
sustituimos 1a varianza del estimador por la correspondiente varian
2a de la média muestral.Asi:
.
.
yCon rem
de donde; tamaño de muestra áptimo para muestreo S2n
plazo es:
sIN REMPLAZO: ON REMPLAZO
( - - )
E l denominador de esta expresión tiende a"l
cuando N es grande,por l0 cual usamos al nu
merador como primera aproximación al tamafñio
de la muestra. Esto es
Tamaño optimo.pa
muestreo con rem
plazo
o -2
y realzar la corrección del tamaño
de la manera siguiente:
(II) n

3. -38
Muestreo
eesa
se
desea
T
l
a
s
p
a
r
a
e
n
c
o
n
t
r
a
r
el
tamaño
óptimo
de
muestra
cuando
e
s
t
i
m
a
r
un
VALOR
PROMEDIO.
Las
e
x
p
r
e
s
i
o
n
e
s
(I)
y
(TII)
constituyen
Las
e
c
u
a
c
i
o
n
e
s
n
e
e
e
BL
p
r
o
c
e
d
i
m
i
e
n
t
o
d
e
s
c
r
i
t
o
,
s
e
puede
r
e
s
u
m
i
r
e
n
:
l
.
Primero
s
e
determina
n
2.
Si
no/N
será
no
5
%
.
e
n
t
o
n
c
e
s
el
tamaño
óptimo
Esto
es
n
Con
la
n
/
N
5
%
entoneces
se
corrige
el
valor
n
e
c
u
a
c
i
ó
n
para
n
.
n
asi
d
e
t
e
r
m
i
n
a
d
o
e
s
e
l
tamaño
de
mues
tra
óptino
3.TAMANO
DE
MUESTRA
PARA
ESTIMACION
DEL
TOTAL
POBLACIONAL
Como
s
e
desea
estinar
el
total
poblacional
Y
entonces,
e
n
la.
ecuación
fundamental
del.
muestreo
remplazamos
la
varianza
del
estimador
por.
la
correspondiente
del
Total
Poblacional.
As1
varianza
del
estinador
-
'
PARA.
MUESTREO
CON
REMPLAZO
PARA
MUESTRE
SIN
REMPLAZO
n
N
de
donde
el
tamaño
óbtimo
de
muestra
es:
22s2/a2
NZS
2
N
De
maner
similar.
a
la
determinación
del
tamaño
de
muestra
pata
la
media,,primero
calculamos
n
(tamaño
de
muestra
para
muesTE
con
remplazo)
;sln/N
es
meinor
que
è
l
5%,asunimos
como
tamai
de
muestra
optimo,
a
o
Esto
es
n=
n
Sl
nN
es
mayor
o'
igual
qu
el
5%
Coregimos
valor
con
la
expreslon
para
n."
donde
n
Nzs
N
No
olvidar
que
cuando
n/N>
se
considera
SIN
rèmplazo.
5%
entonces
el
muestreo

4. Muestreo
-39
.
4.
TAMANO
DE
MU
ESTRA
PARA
LA
ESTIMACION
DE
LA
PRPORCION
POBLACITONAL.
Analogamente
a
los
casos
anteriormente
presentados,en
la
ecuacion
fundamental,remplazamos
la
varianza
del
estima
dor
por
la
correspondeente
varianza
del
estimador
de
la
proporción
poblacional.
Así;obtenemos
para:
MUESTREO
SIN
REMPLAZz0
MUESTREO
CON
REMPLA
ZOO
zPO
:
PO
n
-
-
22PO
-
l
)
a
-
N
donde
n
es
el.
tamaño
demuestra
..
(n-1
Tue
corresponde
al
muestreo
con
.
.
*
remplaz0.
V
.
En
la
practica
calculamos
primero
n
Si
n/N
5%en
tonces,
nesel
tanaño
de
muestra
óptimo-si
nN
-S%
s
e
realiza
la
corrección
del
valor
con
la
expresión
para
n.
5,ESTIMACION
BE
VARIANZAS
Y
LA
PROPORCION.
Las
fórmulas
para
obtener
el
tamano
de
muestra
se
encuen
tran
en
Son
desconocdos;en
este
caso
se
recomienda
términos
de
S
9
PIparametros
que
generalmente
1.Sustitiirlos
por
valores
estimados.
Bsto
reguiere
de
información
adicionalpreguntas
adicionales,
al
usuario
de
las
estimuciones,estudios
adicionales
en
la
poblaçión
objetivo,uso
de
información
azrojada
Por
encuestas
anterio
r
e
s
y
a
veces,Conjeturas
sobre
1a
población,
En
el
caso
de
porcentajes,
se
puede
preguntar
al
inte
resado,acerça
del
rango
de
valores
en
que
creegue
s
e
en
cuentra
se
tiene
alguna
idea
de
ello.
el
porcentaje
gue
le
interesa,pues
casi
siempre
2,Suponer
normalidad
en
la.
distribucióon
de
la
caracte.
risticas
en
estudio,se
puede
preguntar
por
los
valores
estre
mos
que
se
'dan
en
la
población
y
con
ello
estimar
grue'sa
mente
el
rango
de
variación.Como
en
6
desviaciones
estan
está
contenida
practicamente
la
distribución,se
pue
dar

5. -40-
Muestre
6
S
R
,
d
e
donde.
S.
=
R/6
R/4
,valor
más
conser
de
hace
En
la
practica
s
e
suele
tomar
vador
que
el
a
n
t
e
r
i
o
r
.
3.Prueba
Filoto.
Es
el
p
r
o
c
e
d
i
m
i
e
n
t
e
más
s
e
g
u
r
o
y
f
r
e
c
u
e
n
t
e
m
e
n
te
usado
para
estimar.
variangas,
Se
s
e
l
e
c
c
i
o
n
a
de
la
pobla
ción
una
muestra
pequeña:
y
en
base.
a
e
l
l
a
s
e
e
s
t
i
m
a
n
l
a
s
va
rianzas
4,5i
t
e
n
e
m
o
s
dós
o
más
valores
de
P,aquel
gue
hace
máximo
el
producto
PQ
e
s
el
valor
que
está
más
c
e
r
c
a
de
P
=
50%.
y
por
c
o
n
s
i
g
u
i
e
n
t
e
el
tamaño
de
muestra
c
o
r
r
e
s
p
o
n
d
i
e
n
t
e
ser
s
a
-
t
i
s
f
a
c
t
o
r
i
o
para
e
l
estudio.
-
.
6.TAMANO
DE
MUESTRA
Y
PARAMETROS
A
ESTIMAR
1.Cuando
existe
un
único
parámetro
poblacional
a
estimar
una
única
pregunta
el
tamaño
óptinò
se
obtiene
aplicando
d
i
r
e
c
t
a
m
e
n
t
e
las
fór
mulas
anteriormente
mencionadas.
gobierna
al
tamaño
de
muestra
2.
Cuando
existen
varios
párámetros
a
estimar
o
varias
pregun
tas
que
son
importantes
en
el
cuestionario
y
cada
unofa
de
ellos(as)
debe
ser
estimado(a)
condetrminada
precisión
en
tonces
s
e
calcula
el:
tamaño
de
muestra
para
cada
uno
de
e
1los(as)
y
se.elige
el
mayor
tamaño.
7.TAMANo
DE
MUESTR:
EJEMPLOS
EJEMPLO
N
1.Por
estudios
realizados
en
años
anteriores
en
una
empresa
en
plena
producçión,se
conbce
que
el
pro
es
de
3.3
medio
de
horas
extras
por
trabajador
horas
diarias
con
una
varianca
de
4.18
horas.Si
en
el
presen
te
año
l
a
misma
empresa
se
encuentra
en
plena
producción,y
ecuenta
con
120
trabajadores
los
cuales
registran
sus
horas
dia
rias
de
trabajo
en
tarjetas
de
control;deterninar
el
tamaño
de
muestra
necesario
para
estimar
el
promedio
de
horas
extras
diarias
con
un
error
no
supérior
al
20%
y
una
confianza
95%.
.
del
.
.
Solución
Precisión:
d=
20*Y
=
(0.20)(3.3)
=
0.66
Relatividad:
3/2
o.025
1.96
luego;
(1.96)(4.18)
36.86
d
(o.66)
Como
"=30.8
30.71%
10%>
5%
N
120

6. Muesteo
41--
entonces,
aplicamos
orrección:
.
38.86
28.19
2
0.3071
N
Por
consiguiente
el
tamaño
de
muestra
aprppiado
es
jetas
de
control.
de
29
tar
NOTA.
En
este
caso
actua
fuertemente
l
a
fracción
30,71
en
e
l
calculq
del
tamaño
de
muestra.
S
i
N
fuera
2,000,el
tamaño.
de
muestra
n
37
tarjetas
ya
que
la
fracción
de
meestro
e
s
infer2or
al5%
sería
de
BU
EMPLO
2.Una
empresa
de
fabricación
de
electrodometicos
ha
en
cargado
a
una
empresa
de
investigación-de
mercados
rea
lizar
un
estudio
sobre
las
condiciones
dl
mercado
de
máguinas
de
afeitar
en
una
regtor
en
la
que
segrn
el
eenso,el
número
de
varanés
mayores
de
15
años
es
de
200,000Segin
un
sondeo
previorealizado,se
afeitan
-
con
maguina
un
80%
dedicha
población.
Determinar
el
tamaro
de
muestra
a
seleccionar
si
se
de
dea
un
nivel
de
confianza
del
95
con
un
matgen
de.
e-
rror
muestral
del
3%
Solución
z
(1.96)(e0)(
20)
P
0.80
+80%
P=0.20
0.03
3%
O
32
1
.
9
6
682.9
Como
682.9
0.34%<5%
200,000
ehtonCes
ei
tamario
de
muestr
óptimo
es
e
683
tamaño
de
NOTA.El
resultado
obtenido
significa
que
el
Za
muestra
debe
ser
por
1o
menos
683
unidades
pa
za
estarseguros
con
una
probabi1idad
que
losiresultados
de
la
mu
stra
son
válidos,dentro
d
e
l
márgen
deerror
admitido
del
3%
de
95%
de
.
.
.
'
'
.
.
.

7. -42
Muestreo
la
experiencia
prematrimonial
de
les
e
s
t
u
d
i
a
n
t
e
s
de
la
Universidad
que
cuenta
con
una
poblacion
estudian
til
de
l10,000
alumnos.
Hallar
el
tamaño
de
muestra
si
se
piensa
trabajar
a
un
nivel
del
95%
de
confianza
y.con
un
margen
de
error
permitido
del
2%
BJEMPEO
3,-Se
prettende
realizar
un,estudio
de
las
actitudes
hacia
.
Solución
Como
el
valor
del
paránetro
es
desconocido
asumimos
P
=
50%,toda
vez
que
nos
proporciona
un
tamaño
de
muestra
apropiado.As1
50%
22PO
(1.96o.s0)(0.50)
P
d
2%
2
.96
(0.02)
2
,
4
0
2
5%
Como
nN
2,
401/10,O00
24.01%
10%
entonces
2,401
1,936
2
0,240.
V
EJEMPL04-Un
economista
desea
hacer:
un
estudio
sobre
los
profe
sores
de
una
Universidad
en.
zeferencia
a
a
cantidad
de
dinero
pôr
semana
que
cada
profesor
dedica
a
la
a
limentación
de-su.fami1ia.Påra
ello
acude
a
los
nive
les
adninistrativos
correspondientes,a
Fin
de
Conse
guir
un
listado
de
los
2,000
profesores
que
tzabajan
en
la
institucin.Los
niveles
administrativos
superio
restambfen
tienen
necesidad
de
obtener
alguna
infor
mación
entre
los
profesores
y
se
ponen
de
za
aproveshar
esa
encuesta
y
para
introducir
51
pre
guntas
adicionales.
Una
vez
que
el
economista
tiene
estructurado
el
cues
tionario,le
pid
a
un
estadistioo
que.
1e
estime
el
ta
maño
demuestra
apropiado
para
el
estudio,Indicar
el
procedimiento
y
determinar
el
tamañño
de
muestra
apro
piado.
acuerdo
pa
Solución
1.E1
estadistico
interroga
a
los
encargados
del
estudio
sobre
cual
es
la
prgunta
más
importante
en
el
estudid,a
lo.
cua1
responden
que
todas
por
igual.
2.El
estadistico
vuelve
a
hacer
la
misma.
pregunta
de
una
y
otra
manera
y
al
finl
el
grupo
1legó
a
la
conclusión
de
que
las
preguntas
verdaderamente
importantes
son
las
7
pr
formulada
meras.

8. -43
Muestreð
3.Con
la
información
obtenida,analiza
el
cuestionario,formu
là
mas
preguntas
y
11ega
a
las
siguientes
conclusiónes:
Con
la
prinera
pregunta
se
trata
de
estinar:
una
media:.t:**
Con
la
segunda
pregunta
,tambien
se
trata.de
éstimar
una
media
Con
la
3ra,
4ta
,5ta,6ta
y
7mg'
se
trata
de
estimar
un
pórcentaje
O
proporción
'
4.
Determina
la
precisión
con
qie
sé
desea
cada
estimación.El,
econo
mista
decé
gue
se
en
alrrede
or
de
1,000
Intis
ya
"que
la
mayoría
de
los
maestros
son
casados,
entre
30
y
50
años
de
edad
y
el
aivel
dé
sueldos
de
la
Universidad
es
regular.Además
añade
gue
el
ha
hecho
algunos
son
deos
gue
arrojan
resultados
congraentes
con
sus
supuestos.Con
estos
datos
el
estadístico
estima
gruesamente
una
varianza
de
50,000
y
Como
se
pide
un
error
del
5%
y
una
confianza
del
95%,seobtien
:
la
media
gue
é1
le
interesa
debé
encontrar
5.Tama
.o
de
muestaa:
250,000).
d
5%(1,000)
=
50
Z
2(aproximadamente)
s2-
50,0oo
S04
Similarmente
para
1
amedia
de
la
pregunta
2
se
obtiene
una
muestra-
de
tamaño
93.
A1
preguntar
sobre
el
porcentaje.
de
la
pregunta
3,le
indican
gue
éste
debe.
encontrarse:
entre
30%
y
60%
quea
desean
estimar
con
un
5*
de.
error.y.
un
95%
de
confianza.Lueg9
2pg
s2150(50)
400
o
.
400
334
4o0
2,000
De
la
misma
manera
se
träbaja
el
resto
de
porcentajes
hastà
obtener
los
resultados
Sgtes:
Pregunta:
3
Tamaño
de
Muestra
80
98
334
300
200
200
370
Se
concluye
gue
el
tamaño
de
mustra:
a
usár
es
de
370:
NOTA.-En
este
ejemplc
se
trata
de
ilustrar
la
situación
usual
en
muchas
encuéstas,donde
se
incluyen
cada
vez,
mayor
numero
de
preguntas.

9. -44
Muestreo
e
m
p
l
e
a
para
s
e
l
e
c
c
i
o
n
a
r
los
elementos
de
la
p
o
b
l
a
c
i
ó
n
que
por
O
n
s
t
I
t
u
i
r
la
m
u
e
s
t
r
a
.
e
v
i
t
a
n
d
o
el
sesgo
que
resulta
ge;:
La
p
r
e
t
r
e
n
c
i
a
po
construidas
de
manera
gue
se
g
a
r
a
n
t
i
z
a
estaat
pasan
4.1.7ABLA
DE
NUMEROS
ALEATORIOS
p
o
b
l
a
c
i
ó
n
a
l
e
s
.
4Cemente
la
a
l
e
a
t
o
r
i
e
d
a
d
de
sus
elementos,los
cuales
nan
sido
obtenidos
a
v
e
s
de
c
o
m
p
u
t
a
d
o
r
a
s
.
u
s
a
n
d
o
.
f
u
n
c
i
o
n
e
s
construidas
para
tal
Tin.
ciertas
unidades
Estas
tablas
estän
p
r
o
c
e
d
i
m
i
e
n
t
o
más
usual
para
la
selección
de
l
o
s
elementos
m
,
Hacer
corresponder
al
numero
de
cifras
que
tiene
el
tamaño
d
población(N)
igual
numero
de
columnas
de
la
tabla
.Así
pot
eiem
p
l
o
,
s
i
t
N
=
3
0
0
,
e
n
t
o
n
c
e
s
e
n
la
tabla
se
cons1deran
t
r
e
s
columnas
de
numeroS
aleator105
aante
el.empled
de
la
tabla
de
númerós
a
l
e
a
t
o
r
i
o
s
,
c
o
n
s
1
S
t
e
en:
n:
los
numerós
menores
iguales
al
tamaño
de
población
,hasta
completar
el
numero
de
ob
servaciones
de
la
muestra.
Sí
en
nuestro
ejemplo
el
tamafño
de
muestra
fuera
diez(n=10)
;de
las
tres
columnas
se
obtendrian
to
dos
los
números
menores
o
iguales
a.
300
hasta
Completar
diez
gue
es
el
tamaño
de
la
muestra.
De
agotarse
los
numeros
de
las
tres
colunnas
iniciales
"SIN"
com
pletar
el
numero
de
observaciones
de
1a
muestra,se
continua
con
las
tres
columnas
siguientes,pero,
desde
la
primera
fila
de
la
,
i
i
,
D
e
las
colümnas
consideradas
se
e
x
t
r
a
Tabla.
y
así
sucesivamente.
NOTA-
Si
un
número
se
repite,sólo
se
considera
una
vezi
iii.Para
seleccionar
la
primera
columna
inicial
de
la
tabla,bastà
lanzar
al
aire
un
lapicera
yasumir
el
núnero.de
la
tabla
indi
cado
por
la
purnta
de
éste
como
el
primer
núumero
de'
la
primera
coluina
inicial.A
la
fila
y
columna
de
la
tabla
que
corres-
ponden
a
este
numero
sé
le
denomina
arrangue
aleatorio.y
denota
por
y
columna
de
la
tabla
Asi,
arranque
aleatorio
(5,8);
quee1'
número
ubicado
en
la
5ta
fila
y
8va
columna
de
la
tabla
es
el
primer
núnero
de
la
primera
colunna,
a
partir
de
1a
cual
se
consideran
las
colun
nas
restantes,dando
inicio
a
la
selección
de
los
elementos
mues
trales.
se
A
(F,C)
donde
.
y
C
denotan
el
número
de
fila
i
NOTA.-Para
evitar
la
perdida
o
desperdicio
de
muchos
rios
se
recomienda
el
empleo
de:
i)
INTERVALOS
los
cuales
se
forman
de
acuérdo
al
tamaño
de
1a
población.Asi,cuando
N=300
tenemos
los
Sgtes:
(1)
De
001'a
suv
(2)
De
301
a
600
(3)
De
601
a
900
Si
el
núnero
de
la
tabla
pertenece
al
2do
intervalo
,entonces
se
le
esta
300;si
pertenece
al
3er
intervalo,se
le
resta
600
obteniendo
de
esta
manera
numeros
aleatorios
menores
de
300
4i)
DIVISIONES
SUCESIVAS
de
çada
uno
de
los
números
aleatorios
de
tabla
y
el
tamaño
de
la
población;considerandose
al
residuo
a
dicha
división
como
el
numero
de
la
observación
poblacional
q
Dasa
a
formar
la
muestra.Asi,
para
N=300
y
n=10;los
números
la
tabla
132,544
y
526
divididos
entre
300
dan
como
cociente
.'
números
aleato
la
e
0,1
y
1y
como
residuos
132,244
y
26
respectivanente
ta
completar
diez.
nte
y
asi
has