El documento describe el análisis de varianza de la regresión múltiple, que descompone la variación de la variable dependiente Y en dos componentes: la variación alrededor de los valores predichos por la regresión y la variación de los valores predichos alrededor de la media. Compara estos estimadores mediante una prueba F para determinar si el modelo lineal es adecuado. También introduce el coeficiente de determinación R2 y el coeficiente de correlación múltiple R, y describe pruebas parciales para determinar si variables adicional

1. 18/11/21 11:03 Anova de la regresión múltiple
www.hrc.es/bioest/Reglin_11.html 1/2
Análisis de la varianza de la regresión
De
un modo similar a RLS se puede descomponer la
variación de la variable Y de dos componentes: uno
la variación de Y
alrededor de los valores predichos por la regresión y otro con la variación de
los valores
predichos alrededor de la media. Si el modelo lineal no es
adecuado, ambos estimadores estimarían la
varianza de Y y si es adecuado
no. Comparando ambos estimadores con la prueba de la F se contrasta lo
adecuado del modelo. Para el ejemplo 5
Obsérvese
que, a diferencia de la RLS, este contraste no es equivalente al realizado
sobre los
coeficientes.
Se
define también el coeficiente de determinación como el cociente entre la
suma de cuadrados de la
regresión y la suma de cuadrados total (R2
= SSR/SST) y a su raíz cuadrada (R) se le denomina
coeficiente
de correlación múltiple.
Además
de esta prueba global del modelo basada en el análisis de la varianza, se
pueden plantear
pruebas parciales sobre si una variable, o un grupo de
variables, añadidas a un modelo previo lo
mejoran.
Se
tiene un modelo
y
se añade una nueva variable X*, con el primer modelo se tiene una SSR(Y,X1,...,Xk)
y con el nuevo otra
SSR(Y,X1,...,Xk,X*), la
diferencia entre ambas será lo que ha mejorado la suma de cuadrados por añadir
la variable X* y tendrá 1 grado de libertad.
SSR(Y,X*|X1,...,Xk)
= SSR(Y,X1,...,Xk,X*) - SSR(Y,X1,...,Xk)
= SSE(Y,X1,...,Xk) - SSE(Y,X1,...,Xk,X*)
y el cociente
llamado F parcial, tendrá una distribución F con 1 y n-(k+2) grados de libertad en la hipótesis nula de
que la nueva variable X* no mejore el modelo. Evidentemente este contraste es totalmente equivalente a
contrastar que el coeficiente a* de la nueva variable es cero con la prueba basada en la t.
Del
mismo modo, si al modelo original se le añaden p variables X1*,...,Xp*,
se puede definir

2. 18/11/21 11:03 Anova de la regresión múltiple
www.hrc.es/bioest/Reglin_11.html 2/2
SSR(Y,X1*,...,Xp*|X1,...,Xk)
= SSR(Y,X1,...,Xk,X1*,...,Xp*)
- SSR(Y,X1,...,Xk) = SSE(Y,X1,...,Xk)
-
SSE(Y,X1,...,Xk,X1*,...,Xp*)
que
tiene p grados de libertad, y el cociente
se
distribuye como una Fp,n-(k+p+1) en la hipótesis nula de que
las nuevas p variables X1*, ..., Xp* no
mejoren el modelo con respecto a las k variables originales y permite
contrastar dicha hipótesis.
Ejemplo 6
Con
los datos del ejemplo 5, realizar el
contraste de la F parcial para añadir la variable ejercicio a un
modelo
que sólo contenga la edad y las grasas consumidas.
La tabla de anova correspondiente al modelo con EDAD y GRASAS es
Por
lo tanto, comparando esta tabla con la del modelo completo
SSR(COLEST,EJERC|GRASAS,EDAD)
=
SSR(COLEST,GRASAS,EDAD,EJERC) - SSR(COLEST,GRASAS,EDAD) = 49275,94 - 48940,18 = 335,76
por
tanto Fpar=335,76/3381,83=0,099
que
se distribuye como una F1,16. Como F0,05(1,16)
= 4,49 no se puede rechazar la hipótesis de que
EJERC no mejora el modelo. Obsérvese
que esta Fpar es exactamente el cuadrado del valor de t
correspondiente al coeficiente de EJERC en
el modelo con las tres variables independientes.