...

1. Estadística Descriptiva y Probabilidades
SESIÓN 10

2. TEMARIO
1. Conceptos generales variable aleatoria
2. Variable aleatoria discreta: Distribución Binomial

3. LOGRO DE LA SESIÓN
•Al finalizar la sesión, el estudiante aplica los
conceptos de variable aleatoria para asociar el
resultado de un experimento aleatorio de tipo
discreto Binomial o de Poisson.

4. VARIABLE ALEATORIA
Variable aleatoria
Es la descripción numérica del resultado de un experimento.
Una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
Las variables aleatorias se designan por letras mayúsculas: X, Y, Z, etc., y a sus valores por
letras minúsculas.
La variable aleatoria
atribuye a cada
elemento un
número fijo y
determinado
Lo que es aleatorio es el
experimento sobre cuyo
espacio muestral se
define la variable
aleatoria

5. VARIABLE ALEATORIA
Variable aleatoria: Discreta y continua
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
El rango está determinado por un conjunto finito
o infinito numerable de valores.
El rango está determinado por un conjunto
infinito no numerable de valores.
Ejemplos:
- Número de alumnos matriculados por curso.
- Cantidad de preguntas correctamente
contestadas en una evaluación de personal.
- Número de Ingenieros que participan en un
proyecto.
Ejemplos:
- Temperatura del ambiente en °C.
- Peso en Kg de lotes de mercadería.
- Tamaño en MB de una aplicativo en ANDROID.

6. VARIABLE ALEATORIA
𝐷𝑋 = 𝛺 = CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS
Sea el experimento: Lanzar 3 monedas
P(X=x)
1
8
3
8
3
8
1
8
Variable aleatoria: discreta
Espacio muestral
SSS
CSS, SCS, SSC
CCS,CSC,SCC
CCC
Rx
0
1
2
3
𝑅𝑋 = 0,1,2,3
P=f(x)
0 1 2 3 X
1/8
3/8
1/8
3/8
𝑅𝑥
𝑃 𝑥 = 1
Función de Probabilidad
 





1
1
)
(
)
2
,
0
)
1
i
i
x
f
i
x
f
Propiedades:
Variable Aleatoria: X: Número de caras obtenidas
+

7. VARIABLE ALEATORIA
P=f(x)
0 1 2 3 X
1/8
3/8
1/8
3/8
Función de Probabilidad
Variable aleatoria: Discreta
𝑅𝑥
𝑃 𝑥 = 1
Variable aleatoria: continua






1
)
(
)
2
0
)
(
)
1
dx
x
f
x
f
Si: a < b, se tiene que




b
a
dx
x
f
b
x
a
P )
(
]
[

8. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
1. El experimento consiste en una secuencia de n pruebas, donde n se fija antes del experimento.
Probabilidad éxito = 𝑝
Probabilidad fracaso = 𝑞 = 1 − 𝑝
2. Las pruebas son independientes, por lo que el resultado de cualquier prueba no afecta al resultado
de cualquier otro.
3. En cada prueba, solo hay 2 posibles resultados: éxito, fracaso
Distribución discreta: Binomial

9. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
𝑃(𝑋 = 𝑥) =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥
 Un tratamiento médico puede ser: efectivo, no efectivo.
 El cliente de un banco puede ser catalogado como: moroso, no moroso.
 Un artículo producido puede ser defectuoso, no defectuoso.
𝜇 = 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
Distribución Discreta: Binomial
Para construir una distribución binomial es necesario conocer el número de pruebas que se
repiten (n) y la probabilidad de que suceda un éxito en cada una de ellas (p).
Usos:
Notación: X ~ B(n,p)
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒: 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛
Además: y 𝜎2 = 𝑉 𝑥 = 𝑛𝑝𝑞

10. EJERCICIO
Ejercicio 1: Distribución discreta binomial
65 de cada 100 alumnos de un colegio del interior
del país cursan estudios universitarios al terminar la
secundaria. En un grupo de 8 alumnos elegidos al
azar de un determinado colegio del interior del país
que están culminando la etapa escolar, halle la
probabilidad de que estudien una carrera:
a) Exactamente 3 alumnos
b) Más de 6 alumnos
c) Calcule la media

11. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
Solución: Distribución Discreta: Binomial
X: Número de alumnos que estudian una Carrera universitaria.
Fracaso: {No estudien una carrera} → 𝑞 = 0.35
Éxito: {Estudien una carrera} → 𝑝 = 65/100 = 0.65
X ~ B(n=8, p=0.65)
3 alumnos estudien un carrera universitaria (X=3)
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥
𝑞𝑛−𝑥
𝑃 𝑋 = 3 =
8
3
∙ 0. 653 ∙ 0. 355 = 0.08
La probabilidad que estudien 3 alumnos de un total de 8 una carrera es 0.08.
Solución a:
𝑃 𝑋 = 7 + P(X = 8)
8
7
∙ 0. 657 ∙ 0. 351 +
8
8
∙ 0. 658 ∙ 0.350
𝑃 𝑋 > 6 =
𝑃 𝑋 > 6 = 𝑃 𝑋 > 6 = 0.169
La probabilidad que estudien más de 6 alumnos de un total de 8 una carrera es 0.169
Más de 6 alumnos estudien (X>6)
Solución b:
𝑋 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8
Solución c:
𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝
𝐸 𝑋 = 8 0.65 = 5.2
Media

12. EJERCICIO 2
Distribución discreta binomial
La probabilidad de que se encuentre un articulo
defectuoso en la línea de producción es 0,2. De 10
artículos elegidos al azar, calcular la probabilidad de
que haya 6 artículos defectuosos.
Solución:
X: Número de artículos defectuosos en 10 artículos.
X ~ B(n=10, P=0,2)
𝑃 𝑋 = 6 =
10
6
∙ (0. 2)6 ∙ 0. 84 = 0.0055
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥

13. EJERCICIO 3
Distribución discreta binomial
Si se eligen cinco números al azar con reemplazo del
conjunto {1,2,3,. . . ,50}, ¿Cuál es la probabilidad de
que tres sean mayores que 30?
Solución:
X: Número de valores de los 5 elegidos mayores que 30.
X ~ B(n=5, p=20/50=2/5)
𝑃 𝑋 = 3 =
5
3
∙ (2/5)3 ∙ (3/5 )2 = 0.2304
𝑃 𝑋 = 𝑥 =
𝑛
𝑥
𝑝𝑥 𝑞𝑛−𝑥

14. Resolveremos el
siguiente ejercicio
de manera
individual
EJERCICIO INDIVIDUAL

15. EJERCICIO INDIVIDUAL Nº1
Se conoce por experiencias anteriores que el 20%
de las plantas de limonero son atacadas por cierta
plaga. Si se desea llevar a cabo un experimento con
10 plantas. ¿Cuál será la probabilidad de que:
a) 5 plantas sean atacadas?
b)3 o más plantas sean atacadas?

16. ¿Qué hemos aprendido?
CIERRE
1.¿Cuál es la diferencia entre una
variable aleatoria discreta y una
variable aleatoria continua?
2. ¿Cuándo se usa una distribución
binomial?
CIERRE