ESTRUCTURAS DISCRETAS

1. ESTRUCTURAS DISCRETAS
PROPOSICIONES
CARLOS J MEDINA
15.385.618
29/10/2014
PROFESOR: DOMINGO MENDEZ

2. 1. PROPOSICIONES
Definición
Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado
que tiene una y solamente una alternativa; definidas como "verdadero" o
"falso“.
1: Verdadero
0: Falso
Ejemplo:
• Los estudiantes de UFT son aplicados (verdadero).
• Todo estudiante es universitario (falso).
Notación: Las proposiciones se notarán con letras minúsculas p, q, r, s, t

3. 2. IDENTIFICAR LOS CONECTIVOS LOGICOS
Los conectivos lógicos son:
negación, conjunción o producto lógico, disyunción o suma lógica (inclusivo), condicional o
doble implicación, disyunción exclusiva.
A continuación se muestra la sintaxis de acuerdo a los tipos.

4. 3. IDENTIFICAR LAS DISTINTAS FORMAS PROPOSICIONALES.
Se clasifican en:
Proposición atómica o simple
proposición molecular o compuesta
Podemos identificar una proposicion Cuando no contiene conectivos
lógicos diremos que es una proposición atómica o simple; y en el caso
contrario, diremos que es una proposición molecular o compuesta.
• Ejemplos de Proposiciones Atómicas
• -Coro es un municipio de Miranda.
• -Los estudiantes de UFT son aplicados.
• -El oxígeno es un gas.

5. 4. LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL.
1. Leyes Idempotentes
Cuando los operando de una operación son iguales,
el compuesto es lógicamente equivalente al
operando.
1.1 p p  p
1.2 p p  p
2. Leyes Asociativas
En una expresión que contiene dos o más del mismo
conectivo asociativo en una línea, el orden de las
operaciones, no importa, siempre y cuando la
secuencia de los operandos no cambia.
2.1. (P  q)  r  p  (q  r)
2.2. (P  q)  r  p  (q  r)
3. Leyes Conmutativas
Los operandos del conectivo pueden ser
intercambiados (uno por el otro), mientras que la
preservación de equivalencia lógica de la expresión
original.
3.1. P  q  q  p
3.2. P  q  q  p
4. Leyes Distributivas
4.1. P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
4.2. P  ( q  r )  ( p  q )  (p  r)
5. Leyes de Identidad
5.1. P  F  P
5.2. P  F  F
5.3. P  V  V
5.4. P  V  P
6. Leyes de Complementación
6.1. P  ~ P  V (tercio excluido)
6.2. P  ~ P  F (contradicción)
6.3. ~ ~ P  P (doble negación)
6.4. ~ V  F, ~ F  V
7. Leyes De Morgan
7.1. ~ ( P  q )  ~ P  ~ q
7.2. ~ ( P  q )  ~ P  ~ q

6. 5. APLICAR ALGUNOS MÉTODOS DE DEMOSTRACIÓN EN
MATEMÁTICA E INGENIERÍA.
• Demostración Directa
En la demostración directa debemos probar una implicación:
P  q. Esto es, llegar a la conclusión q a partir de la premisa p mediante una
secuencia de proposiciones en las que se utilizan axiomas, definiciones, teoremas o
propiedades demostradas previamente.
• Demostración Indirecta
Dentro de este método veremos dos formas de demostración:
• Método del Contrarrecíproco:
Otra forma proposicional equivalente a p C nos proporciona la Ley del
contrarrecíproco: P  C  ~ C  ~ P.
Esta equivalencia nos proporciona otro método de demostración, llamado el método
del contrarrecíproco, según el cual, para demostrar que p C, se prueba
que ~ C  ~ P.
• Demostración por Reducción al Absurdo: Veamos que la proposición p  q
es tautológicamente equivalente a la proposición (p  ~ q)  (r  ~ r) siendo r una
proposición cualquiera, para esto usaremos el útil método de las tablas de verdad.

7. 6. CONSTRUIR UNA RED DE CIRCUITOS LÓGICOS DE UNA FORMA
• Ejemplo: Construir el circuito correspondiente a
cada una de las siguientes expresiones:
• p  (q  r)
• (p  q)  [( p  r)  ~ s)]
PROPOSICIONAL.

8. 6. CONSTRUIR UNA RED DE CIRCUITOS LÓGICOS DE UNA FORMA
PROPOSICIONAL.
Sol
(p q) (~ p q) (~ p ~ q)  [(p  q) (~ p  q)]  (~ p  ~ q)
 [(p  ~ p)  q]  (~ p  ~ q)
 [F  q]  (~ p  ~ q)
 q  (~ p ~ q)
 ( q  ~ p)  (q  ~ q)
 ( q  ~ p)  F
 ( q  ~ p)
Así, el circuito se simplifica a: