Qmb11ch10a problematranspoete

1
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© 2009 South-Western, a part of Cengage Learning
Slides by
John
Loucks
St. Edward’s
University

2
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Capítulo 10, Parte A
Modelos de distribución y red
 Problema de transporte
 Problema de asignación
 Problema de transbordo

3
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Problemas de transporte, asignación y transbordo
 Un modelo de red es aquel que puede ser
representado por un conjunto de nodos, un
conjunto de arcos y funciones (por ejemplo, costos,
suministros, demandas, etc.) asociadas con los arcos
y / o nodos.
 Los problemas de transporte, asignación,
transbordo, ruta más corta y flujo máximo de este
capítulo, así como los problemas de árbol de
expansión mínimo y PERT / CPM (en otros
capítulos) son ejemplos de problemas de red.


4
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Problemas de transporte, asignación y
transbordo
 Cada uno de los cinco modelos de este capítulo
puede formularse como programas lineales y
resolverse mediante códigos de programación lineal
de propósito general.
 Para cada uno de los cinco modelos, si el lado
derecho de las formulaciones de programación
lineal son todos enteros, la solución óptima será en
términos de valores enteros para las variables de
decisión.
 Sin embargo, hay muchos paquetes informáticos
(incluido The Management Scientist) que contienen
códigos informáticos separados para estos modelos
que aprovechan su estructura de red.


5
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Problema de transporte
 El problema de transporte busca minimizar los
costos totales de envío de las mercancías desde m
orígenes (cada uno con un suministro si) a n
destinos (cada uno con una demanda dj), cuando el
costo unitario de envío desde un origen, i, a un
destino, j, es cij.
 La representación de la red para un problema de
transporte con dos fuentes y tres destinos se da en
la siguiente diapositiva.


6
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 Representación de la red

2
c11
c12
c13
c21
c22
c23
d1
d2
d3
s1
s2
Fuentes Destinos
3
2
1
1

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 Formulación de Programación Lineal

Uso de la notación:
xij = número de unidades enviadas desde
origen i a destino j
cij = costo por unidad de envío desde
origen i a destino j
si = oferta o capacidad en unidades en origen i
dj = demanda en unidades en destino j
continued

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 Formulación de programación lineal (continuación)
1 1
Min
m n
ij ij
i j
c x
 

1
1,2, , Supply
n
ij i
j
x s i m

 

1
1,2, , Demand
m
ij j
i
x d j n

 

xij > 0 para todo i y j

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 Casos especiales de formulación de LP
 El objetivo es maximizar los beneficios o ingresos:
•Garantía de envío mínima desde i to j:
xij > Lij
•Capacidad máxima de ruta desde i to j:
xij < Lij
•Ruta inaceptable:
Quitar la variable de decisión correspondiente.
Resolver como un problema de maximización.

10
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Problema de transporte: Ejemplo #1
Acme Block Company tiene pedidos de 80
toneladas debloques de concreto en tres ubicaciones
suburbanas de la siguiente manera:
Northwood -- 25 toneladas, Westwood -- 45 toneladas,
y Eastwood -- 10 toneladas. Acme tiene dos plantas,
cada una de que puede producir 50 toneladas por
semana. Gastos de envío por se muestra la tonelada de
cada planta a cada ubicación suburbana
en la siguiente diapositiva.
¿Cómo se deben hacer los envíos de fin de semana
para llenar? los pedidos anteriores?

11
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 Costo de envío por tonelada

Northwood Westwood Eastwood
Plant 1 24 30 40
Plant 2 30 40 42

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 Hoja de cálculo parcial que muestra datos de
problemas

A B C D E F G H
1
2 C
onstra
int X
1
1 X
1
2 X
1
3 X
2
1 X
2
2 X
2
3 R
H
S
3 #
1 1 1 1 5
0
4 #
2 1 1 1 5
0
5 #
3 1 1 2
5
6 #
4 1 1 4
5
7 #
5 1 1 1
0
8 O
bj.C
oeffic
ients 2
4 3
0 4
0 3
0 4
0 4
2 3
0
LH
SC
oeffic
ients

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 Hoja de cálculo parcial que muestra una solución
óptima

A B C D E F G
10 X11 X12 X13 X21 X22 X23
11 Dec.Var.Values 5 45 0 20 0 10
12 Minimized Total Shipping Cost 2490
13
14 LHS RHS
15 50 <= 50
16 30 <= 50
17 25 = 25
18 45 = 45
19 10 = 10
Eastwood Demand
Westwood Demand
Northwood Demand
Constraints
Plant 1 Capacity
Plant 2 Capacity

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 Solución óptima

From To Amount Cost
Plant 1 Northwood 5 120
Plant 1 Westwood 45 1,350
Plant 2 Northwood 20 600
Plant 2 Eastwood 10 420
Total Cost = $2,490

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 Informe de sensibilidad parcial (primer semestre))
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$C$12 X11 5 0 24 4 4
$D$12 X12 45 0 30 4 1E+30
$E$12 X13 0 4 40 1E+30 4
$F$12 X21 20 0 30 4 4
$G$12 X22 0 4 40 1E+30 4
$H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30
Adjustable Cells
Final Reduced Objective Allowable Allowable
Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
$C$12 X11 5 0 24 4 4
$D$12 X12 45 0 30 4 1E+30
$E$12 X13 0 4 40 1E+30 4
$F$12 X21 20 0 30 4 4
$G$12 X22 0 4 40 1E+30 4
$H$12 X23 10.000 0.000 42 4 1E+30

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 Informe de sensibilidad parcial (segundo semestre)

Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20
$E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20
$E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20
$E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10
$E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5
Constraints
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H. Side Increase Decrease
$E$17 P2.Cap 30.0 0.0 50 1E+30 20
$E$18 N.Dem 25.0 30.0 25 20 20
$E$19 W.Dem 45.0 36.0 45 5 20
$E$20 E.Dem 10.0 42.0 10 20 10
$E$16 P1.Cap 50.0 -6.0 50 20 5

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La Marina tiene 9,000 libras de material en Albany,
Georgia que desea enviar a tres instalaciones:
San Diego, Norfolk y Pensacola. Requieren 4.000,
2,500 y 2,500 libras, respectivamente. Gobierno
las regulaciones requieren una distribución equitativa
del envío entre los tres transportistas.

18
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Los costos de envío por libra para camión,
ferrocarril, y el tránsito aéreo se muestran en la
siguiente diapositiva.
Formular y resolver un programa lineal para determinar
el arreglos de envío (modo, destino y
cantidad) que minimizará el costo total de envío.

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Destination
Mode San Diego Norfolk Pensacola
Truck $12 $ 6 $ 5
Railroad 20 11 9
Airplane 30 26 28

20
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 Definir las variables de decisión

Queremos determinar las libras de material, xij ,
que se enviarán por modo i al destino j. En la tabla
siguiente se resumen las variables de decisión:
San Diego Norfolk Pensacola
Truck x11 x12 x13
Railroad x21 x22 x23
Airplane x31 x32 x33

21
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 Definir la función objetivo

Minimice el costo total de envío.
Min: (costo de envío por libra para cada modo por
emparejamiento de destino) x (número de libras
enviadas por modo por emparejamiento de
destino).
Min: 12x11 + 6x12 + 5x13 + 20x21 + 11x22 + 9x23
+ 30x31 + 26x32 + 28x33

22
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 Definir las restricciones
 Igualdad de uso de los modos de
transporte:
 (1) x11 + x12 + x13 = 3000
(2) x21 + x22 + x23 = 3000
(3) x31 + x32 + x33 = 3000
Requisitos de material de destino:
(4) x11 + x21 + x31 = 4000
(5) x12 + x22 + x32 = 2500
(6) x13 + x23 + x33 = 2500
No negatividad de las variables:
xij > 0, i = 1,2,3 and j = 1,2,3

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 The Management Scientist Output
OBJECTIVE FUNCTION VALUE = 142000.000
Variable Value Reduced Cost
x11 1000.000 0.000
x12 2000.000 0.000
x13 0.000 1.000
x21 0.000 3.000
x22 500.000 0.000
x23 2500.000 0.000
x31 3000.000 0.000
x32 0.000 2.000
x33 0.000 6.000

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 Resumen de la solución
 San Diego recibirá 1000 libras en camión
 y 3000 libras en avión.
 Norfolk recibirá 2000 libras en camión
 y 500 lbs. por ferrocarril.
 Pensacola recibirá 2500 libras por ferrocarril.
 El costo total de envío será de $ 142,000.


25
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Problema de asignación
 Un problema de asignación busca minimizar el costo
total de asignación de m trabajadores a m trabajos,
dado que el costo del trabajador i que realiza el trabajo
j es cij.
 Asume que todos los trabajadores están asignados y
se realiza cada trabajo.
 Un problema de asignación es un caso especial de un
problema de transporte en el que todos los
suministros y todas las demandas son iguales a 1; por
lo tanto, los problemas de asignación pueden
resolverse como programas lineales.
 La representación en red de un problema de
asignación con tres trabajadores y tres trabajos se
muestra en la siguiente diapositiva.


26
Slide

2
3
1
2
3
1
c11
c12
c13
c21
c22
c23
c31
c32
c33
Agents Tasks

27
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 Uso de la notación:
xij = 1 Si el agente I está asignado a la tarea
j
0 de otra manera
cij = costo de asignar el agente i a la tarea
j
continued

28
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 Linear Programming Formulation (continued)
1 1
Min
m n
ij ij
i j
c x
 

1
1 1,2, , Agents
n
ij
j
x i m

 

1
1 1,2, , Tasks
m
ij
i
x j n

 

xij > 0 for all i and j

29
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 LP Formulación de Casos Especiales
•El número de agentes supera el número de tareas:
•Number of tasks exceeds the number of agents:
Agregue suficientes agentes ficticios para ecualizar el
número de agentes y número de tareas.
Los coeficientes de función objetivo para estos
la nueva variable sería cero.
Los agentes adicionales simplemente permanecen sin asignar.

30
Slide
 Casos especiales de formulación de LP (continuación))
•Las alternativas de asignación se evalúan en
términos de ingresos o ganancias.:
Resolver como un problema de maximización.
•Una asignación es inaceptable:
• Quitar la variable de decisión correspondiente.
•Un agente puede trabajar t tareas:
1
1,2, , Agents
n
ij
j
x t i m

 


31
Slide
Un contratista eléctrico paga a sus subcontratistas
una tarifa fija más kilometraje por el trabajo realizado.
En un día determinado, el contratista se enfrenta a tres
trabajos eléctricos asociados con varios proyectos. A
continuación se presentan las distancias entre los
subcontratistas y los proyectos.
Projects
Subcontractor A B C
Westside 50 36 16
Federated 28 30 18
Goliath 35 32 20
Universal 25 25 14
¿Cómo se deben asignar los contratistas para minimizar
los costos totales de kilometraje?
Problema de asignación: ejemplo

32
Slide
 50
36
16
28
30
18
35 32
20
25 25
14
West.
C
B
A
Univ.
Gol.
Fed.
Projects
Subcontractors

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
Min 50x11+36x12+16x13+28x21+30x22+18x23
+35x31+32x32+20x33+25x41+25x42+14x43
s.t. x11+x12+x13 < 1
x21+x22+x23 < 1
x31+x32+x33 < 1
x41+x42+x43 < 1
x11+x21+x31+x41 = 1
x12+x22+x32+x42 = 1
x13+x23+x33+x43 = 1
xij = 0 or 1 for all i and j
Agents
Tasks

34
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 La asignación óptima es:
 Subcontractor Project Distance
Westside C 16
Federated A 28
Goliath (unassigned)
Universal B 25
Total Distance = 69 miles

35
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Problema de transbordo
 Los problemas de transbordo son problemas de
transporte en los que un envío puede moverse a
través de nodos intermedios (nodos de transbordo)
antes de llegar a un nodo de destino en particular.
 Los problemas de transbordo se pueden convertir en
problemas de transporte más grandes y resolverse
mediante un programa de transporte especial.
 Los problemas de transbordo también se pueden
resolver mediante códigos de programación lineal de
propósito general.
 La representación de red para un problema de
transbordo con dos orígenes, tres nodos intermedios y
dos destinos se muestra en la siguiente diapositiva.


36
Slide
Transshipment Problem

2
3
4
5
6
7
1
c13
c14
c23
c24
c25
c15
s1
c36
c37
c46
c47
c56
c57
d1
d2
Intermediate Nodes
Sources Destinations
s2
Demand
Supply

37
Slide

 Usando la notación:
 xij = número de unidades enviadas del nodo i al nodo
j
 cij = costo por unidad de envío del nodo i al nodo j
 si = suministro en el nodo de origen i
 dj = demanda en el nodo de destino j

continued

38
Slide
all arcs
Min ij ij
c x

arcs out arcs in
s.t. Origin nodes
ij ij i
x x s i
 
 
xij > 0 for all i and j
arcs out arcs in
0 Transhipment nodes
ij ij
x x
 
 
arcs in arcs out
Destination nodes
ij ij j
x x d j
 
 
 Formulación de programación lineal (continuación)
continued

39
Slide
 Casos especiales de formulación de LP
 Oferta total no igual a la demanda total
 Función objetivo de maximización
 Capacidades de ruta o mínimos de ruta
 Rutas inaceptables
 Las modificaciones del modelo LP requeridas aquí
son
 idénticos a los requeridos para los casos especiales
en
 el problema del transporte.


40
Slide
Las instalaciones de Northside y Southside de
Zeron Industries suministran a tres empresas (Zrox,
Hewes, Rockrite) estanterías personalizadas para sus
oficinas. Ambos ordenan estanterías de los mismos
dos fabricantes, Arnold Manufacturers y Supershelf,
Inc.
Actualmente las demandas semanales de los
usuarios son 50 para Zrox, 60 para Hewes y 40 para
Rockrite. Tanto Arnold como Supershelf pueden
suministrar como máximo 75 unidades a sus clientes.
Los datos adicionales se muestran en la siguiente
diapositiva.
Problema de transbordo: ejemplo

41
Slide
Debido a los contratos de larga data basados en
pedidos anteriores, los costos unitarios de los
fabricantes a los proveedores son:
Zeron N Zeron S
Arnold 5 8
Supershelf 7 4
Los costos para instalar las estanterías en las
diversas ubicaciones son:
Zrox Hewes Rockrite
Thomas 1 5 8
Washburn 3 4 4
Transshipment Problem: Example

42
Slide

ARNOLD
WASH
BURN
ZROX
HEWES
75
75
50
60
40
5
8
7
4
1
5
8
3
4
4
Arnold
Super
Shelf
Hewes
Zrox
Zeron
N
Zeron
S
Rock-
Rite

43
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 Decision Variables Defined
xij = amount shipped from manufacturer i to supplier j
xjk = amount shipped from supplier j to customer k
where i = 1 (Arnold), 2 (Supershelf)
j = 3 (Zeron N), 4 (Zeron S)
k = 5 (Zrox), 6 (Hewes), 7 (Rockrite)
•Función objetiva definida
• Minimize Overall Shipping Costs:
Min 5x13 + 8x14 + 7x23 + 4x24 + 1x35 + 5x36 + 8x37
+ 3x45 + 4x46 + 4x47

44
Slide
 Restricciones definidas
 Amount Out of Arnold: x13 + x14 < 75
Amount Out of Supershelf: x23 + x24 < 75
Amount Through Zeron N: x13 + x23 - x35 - x36 - x37 = 0
Amount Through Zeron S: x14 + x24 - x45 - x46 - x47 = 0
Amount Into Zrox: x35 + x45 = 50
Amount Into Hewes: x36 + x46 = 60
Amount Into Rockrite: x37 + x47 = 40
Non-negativity of Variables: xij > 0, for all i and j.

45
Slide
 La solución de Management Scientist

Objective Function Value = 1150.000
Variable Value Reduced Costs
X13 75.000 0.000
X14 0.000 2.000
X23 0.000 4.000
X24 75.000 0.000
X35 50.000 0.000
X36 25.000 0.000
X37 0.000 3.000
X45 0.000 3.000
X46 35.000 0.000
X47 40.000 0.000

46
Slide
 Solución

ARNOLD
WASH
BURN
ZROX
HEWES
75
75
50
60
40
5
8
7
4
1
5
8
3 4
4
Arnold
Super
Shelf
Hewes
Zrox
Zeron
N
Zeron
S
Rock-
Rite
75

47
Slide
 La solución del científico de gestión (continuación)
 Constraint Slack/Surplus Dual Prices
1 0.000 0.000
2 0.000 2.000
3 0.000 -5.000
4 0.000 -6.000
5 0.000 -6.000
6 0.000 -10.000
7 0.000 -10.000

48
Slide
 The Management Scientist Solución (continuación)
OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES
Variable Lower Limit Current Value Upper Limit
X13 3.000 5.000 7.000
X14 6.000 8.000 No Limit
X23 3.000 7.000 No Limit
X24 No Limit 4.000 6.000
X35 No Limit 1.000 4.000
X36 3.000 5.000 7.000
X37 5.000 8.000 No Limit
X45 0.000 3.000 No Limit
X46 2.000 4.000 6.000
X47 No Limit 4.000 7.000
Transshipment Problem: Example

49
Slide
 The Management Scientist Solución (continuación)
RIGHT HAND SIDE RANGES
Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit
1 75.000 75.000 No Limit
2 75.000 75.000 100.000
3 -75.000 0.000 0.000
4 -25.000 0.000 0.000
5 0.000 50.000 50.000
6 35.000 60.000 60.000
7 15.000 40.000 40.000

50
Slide
Fin del Capítulo 10, Parte A

Qmb11ch10a problematranspoete

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