Hanns Recabarren Diaz (2024), Implementación de una herramienta de realidad v...
Ejercicio P 9.8 Deflexión de Vigas
1. P9.8) Calcule la pendiente en ¨A¨ y ¨C¨ y la deflexión en ¨B¨ para la fig. P 9.8.
Además localice y calcule la magnitud de la deflexión máxima. Utilice el Método de
Área de Momentos.
Debemos de conocer el valor de las reacciones en ¨A¨ y ¨D¨, para ello, por
estática:
∑Fy = 0 Ray + Rdy = 2P = 30 Klb Rax = 0 Klb
∑Ma = 0 15*6 + 15*12 = 18Rdy
∴ Rdy = 15 Klb Ray = 15 Klb
Dibujando las áreas de momento:
P = 15Klb P = 15Klb
6 ft 6 ft 6 ft
A B C D
Rax
Ray Rdy
2. 6 ft6 ft 6 ft
P = 15Klb P = 15Klb
A B C
∆b
tb/a
Ymáx
Tg A
Tg C
Td/a
D
−
+
M/EI
18*Ray/EI
15*12 = 180 Klb.ft/EI
15*6 = 90 Klb.ft/EI
6Ay 12Ay
90Klb*ft/EI
X
15*(X – 6)
X*Ay
Øa
tQ/a
3. a) Pendiente en ¨A¨ y ¨C¨:
De la gráfica se observa que: Tg(Øa) =
𝑡 𝑑
𝑎
18
, pero para ángulos pequeños Tg(Øa) = Øa
∴ Øa =
𝑡 𝑑
𝑎
18
… (1)
La deflexión de ¨D¨ respecto a la TgA = 𝑡 𝑑𝑎 = Primer momento de área M/EI entre ¨A¨ y ¨D¨ con
respecto a ¨D¨.
𝑬𝑰 ∗ 𝒕 𝒅𝒂 =
𝟏𝟖∗𝟏𝟖∗𝑹𝒂𝒚∗𝟔
𝟐
+
𝟏𝟐∗−𝟏𝟖𝟎∗𝟒
𝟐
+
𝟔∗𝟗𝟎∗𝟐
𝟔
𝒕 𝒅𝒂 =
𝟏𝟒𝟓𝟖𝟎 −𝟒𝟑𝟐𝟎 −𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
𝒕 𝒅𝒂 =
𝟗𝟕𝟐𝟎
𝑬𝑰
… (2)
4. Ahora reemplazamos (2) en (1), obteniendo:
Øa =
𝑡 𝑑
𝑎
18
𝒕 𝒅𝒂 = 𝟗𝟕𝟐𝟎
𝑬𝑰 Øa =
𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
, se añade un signo negativo, ya que la Tg
tiene una pendiene negativa, pues desciende
hacia la dirección ¨X¨ positiva.
∴ Øa =
−𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
Øc = Øa + Øc/a , donde Øc/a = área bajo el diagrama M/EI entre ¨A¨ y ¨C¨.
𝐸𝐼 ∗ Øc/a = (12∗12∗Ray∗4)/(2) + (6∗−90∗2)/(2)
Øc/a =
𝟑𝟕𝟖𝟎
𝑬𝑰
∴Øc =
−𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
+
𝟑𝟕𝟖𝟎
𝑬𝑰
Øc = 𝟑𝟐𝟒𝟎
𝑬𝑰
rad
5. b) Deflexión en ¨B¨:
Deflexión ¨B¨ = Δb + tb/a , donde tb/a = Primer momento de área M/EI entre
A y B.
𝑬𝑰 ∗ 𝒕 𝒃
𝒂
=
𝟔∗𝟔∗𝑹𝒂𝒚∗𝟐
𝟐
tb/a =
𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
Por relaciones geométricas:
(Δb + tba)/(6) = (tda)/(18)
Δb =
9720
3𝐸𝐼
− 𝑡𝑏𝑎 Δb =
𝟐𝟕𝟎𝟎
𝑬𝑰
se añade un signo negativo
∴ Δb =
−𝟐𝟕𝟎𝟎
𝑬𝑰
Δb + tb/a
A D
Td/a
6ft 12ft
6. C) Calculo y ubicación de la deflexión máxima:
La deflexión máxima se ubica en el tramo central a una distancia ¨X¨ de ¨A¨.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= ØQ = 0 ØQ = Øa + ØQa
ØQa =
𝒙∗𝒙∗𝑹𝒂𝒚
𝟐
+
𝒙−𝟔 ∗𝟏𝟓∗ 𝒙−𝟔
𝟐
ØQa = 𝟕. 𝟓 ∗ 𝒙 𝟐 − 𝟕. 𝟓 ∗ 𝒙 − 𝟔 𝟐
∴ ØQ = 0 =
−𝟓𝟒𝟎
𝑬𝑰
+
𝟕.𝟓∗𝑿 𝟐 −𝟕.𝟓∗ 𝑿−𝟔 𝟐
𝑬𝑰
Desarrollando X = 9ft
tQ/a =
𝑥∗𝑥∗𝑅𝑎𝑦∗𝑥
6
−
𝑥−6 ∗15∗ 𝑥−6 ∗ 𝑥−6
6
tQ/a =
1755
𝐸𝐼
Ymáx =
4860
𝐸𝐼
−
1755
𝐸𝐼
con signo negativo Ymáx= -
𝟑𝟏𝟎𝟓
𝑬𝑰
Td/a =
9720
𝐸𝐼
9
Ymáx + tQ/a
9
7. Verificando los resultados con el programa FTOOL:
Considerando una sección rectangular:
I(inercia) =
𝑏∗ℎ3
12
, b = base
h = peralte
I =
50∗1003
12
= 4166666.667𝑓𝑡4
Módulo de Elasticidad (E) = 800000
𝐾𝑙𝑏
𝑓𝑡2
Y máx. =
−3105
800000000∗4166666.667
= -9.314*10−3ft
Øa =
−540
800000000∗4166666.667
= -1.62*10−13
𝑟𝑎𝑑 Øc =
3240
800000000∗4166666.667
= 9.72*10−13
𝑟𝑎𝑑
∆𝐵 =
−2700
800000000∗4166666.667
= -8.1*10−13 𝑓𝑡
50ft
100ft