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aplicados y de la vida cotidiana, dejando de lado la
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La crisis de los fundamentos en el siglo XX, se da por una
serie de descubrimientos que se realizaron entre los siglos
XVII y XIX, como lo fue el surgimiento de las geometrías no
euclidianas, la geometría analítica por Rene Descartes en
1637, el desarrollo de la teoría elemental de conjuntos a
finales del siglo XIX, el cálculo infinitesimal por Newton y
Leibniz a finales del siglo XVII, el descubrimiento de
paradojas en la teoría de conjuntos de Cantor y Kenneth
Russell, a comienzos del siglo XIX, entre otros.
Inconmensurabilidad
siglo VI a.c antigua Grecia
Tales, Pitágoras, Euclides, Apolonio y Arquímedes
consideraban que el Universo podía ser explicado en
base a los Números Naturales y Racionales, pero surgió
un inconveniente, al aplicar el Teorema de Pitágoras, se
encontraron con la cantidad √2 que no representaba
una cantidad finita, era claro que los sistemas de
numeración trabajados eran insuficientes, se requería el
concepto de número irracional
El quinto postulado de Euclides
siglo XIX a.c
Indica que por un punto exterior a una recta solo
puede pasar una paralela.
Aparecen los sofistas en cabeza de
Aristóteles: propone una metodología
basada en teorías de la definición y en
dar postulados, plasmado en el libro de
los elementos, muestra que la geometría
se divide en definiciones, axiomas,
nociones comunes y postulados,
principios a través de los cuales va a
demostrar todo. Por medio de la
geometría absoluta
Teoría de conjuntos
Georg Cantor entre 1874 y 895
Georg Cantor comenzó a trabajar en la teoría de conjuntos
como base del edificio matemático e introdujo los números
transfinitos divididos en números ordinales y no cardinales
Surgieron las paradojas:
Bertrand Russell encontró cosas paradójicas, como conjuntos compuestos
por otros conjuntos, o conjuntos donde el propio conjunto era elemento de
sí mismo. Lo que demostraba que algo no estaba bien plateado
En 1895 Cantor descubre la paradoja de los números cardinales con los siguientes resultados:
Teorema A: dado un número cardinal siempre es posible determinar otro mayor
Teorema B: existe un numero cardinal mayor que todos los demás.
Estos dos teoremas son contradictorios
Logicismo
Gottlob Frege(1848-1925) y Bertrand Russell (1872-1970)
Su objetivo principal fue superar la crisis producida por los fundamentos
pero en este también surgieron inconvenientes, por causa de
Frege el cual pretendía basar toda la Matemática en la lógica,
erradicara el problema del lenguaje, pero Russell observó que
había inconsistencias en los axiomas, obligándolo a corregir
sus propios postulados previos. Russell insistió y junto con
Alfred North Whitehead, publican “Principia Mathematica” que
aduce que los objetos matemáticos son objetos lógicos y los
principios matemáticos son leyes lógicas o derivadas de las
mismas.
Formalismo
David Hilbert (1862-1943)
Se formaliza la teoría axiomática basada en tres
reglas
• Deben ser consistentes
• Que sean completas
• Que se pueda ´robar que una posición es legal o
ilegal en una cantidad finita de partes.
• El concepto de infinitud, el cual hasta el momento
no estaba clarificado
Aseguraba que cualquier situación Matemática
puede ser resuelta acudiendo a la razón, y
plantea los 23 problemas sin solución
En 1920 Hilbert con ayuda Paul
Bernays fundamenta la
Matemática rechazando el
Intuicionismo
El intuicionismo
Leopold Kronecker- Jan Brower (1823-1891)
Aseguraba que los únicos números que existen son los Naturales; los racionales,
irracionales, imaginarios, trascendentes, son sólo símbolos, de allí nace su afirmación
que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción y
veían la Matemática como una extensión de la lógica
Weyl intentó fusionar los axiomas de Hilbert con el
intuicionismo de Brouwen, resultando una noción del
continuo matemático el cual está ligado al concepto
de infinitud
Henri Poincaré: la sucesión completa
de números naturales
Referencias – Unidad 1
Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . Recuperado
de http://hdl.handle.net/10596/10981
Rojas, R. (2018). El Lenguaje de las matemáticas. Historia de sus símbolos. México
Fondo de Cultura Económica. Recuperado de https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/105655?page=1
Tomasini, B.(2006). Filosofía y matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein. México,
D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. 137-153 Recuperado de https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/75802?page=1
Ruiz, A. (2003). Epistemología y construcción de una nueva disciplina científica la
didactique des mathematiques. Dialnet. Recuperado
de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381201
OVI - Unidad 1: Objeto Virtual de Información de Unidad 1.
Carlos,L. (2020). [OVI]. Epistemología de las Matemáticas. Una introducción general
[Archivo de video]. Recuperado de:
https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33923
Referencias- Unidad 2
•Cherubini, E. (2015). La noción del continuo matemático de hermann weyl
conciliando formalismo e intuicionismo. revista síntesis, 14-16. recuperado
a partir de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220
Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática.
Pro Mathematica, 2(3), 31-47. Recuperado a partir
de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053
Ruiz, A. (2003). Epistemología y construcción de una nueva disciplina
científicala didactique des mathematiques. Dialnet . Recuperado
de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381201
Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas.
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Paso 4 realizar transferencia de conocimientos

  • 2. Por Ana Solangie Varela García cód. 1032372430 Jhon Jairo Rodríguez cód. 1144153733 Manuel Fernando Martínez Moreno cód. 88279536 Yuly Alexandra García cód. 1071548735 Epistemología de las Matemáticas Grupo 551103_4 Presentado a Wualberto José Roca Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD Diciembre 2020
  • 3. Línea de tiempo Problema de la fundamentación Matemática, características de las causas de la rigorización y las crisis de los fundamentos
  • 4. Descripción del contexto Durante el siglo XX con el fin de establecer conceptos como funciones, derivadas, integrales y métodos del cálculo se rigorizan las Matemáticas, con el desarrollo de nuevas geometrías, la abstracción del Álgebra y el volcamiento de los ojos hacia la Aritmética, basados en criterios de la lógica para la solución de problemas aplicados y de la vida cotidiana, dejando de lado la Geometría intuitiva que había predominado hasta el momento.
  • 5. Definición de la problemática La crisis de los fundamentos en el siglo XX, se da por una serie de descubrimientos que se realizaron entre los siglos XVII y XIX, como lo fue el surgimiento de las geometrías no euclidianas, la geometría analítica por Rene Descartes en 1637, el desarrollo de la teoría elemental de conjuntos a finales del siglo XIX, el cálculo infinitesimal por Newton y Leibniz a finales del siglo XVII, el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos de Cantor y Kenneth Russell, a comienzos del siglo XIX, entre otros.
  • 6. Inconmensurabilidad siglo VI a.c antigua Grecia Tales, Pitágoras, Euclides, Apolonio y Arquímedes consideraban que el Universo podía ser explicado en base a los Números Naturales y Racionales, pero surgió un inconveniente, al aplicar el Teorema de Pitágoras, se encontraron con la cantidad √2 que no representaba una cantidad finita, era claro que los sistemas de numeración trabajados eran insuficientes, se requería el concepto de número irracional
  • 7. El quinto postulado de Euclides siglo XIX a.c Indica que por un punto exterior a una recta solo puede pasar una paralela. Aparecen los sofistas en cabeza de Aristóteles: propone una metodología basada en teorías de la definición y en dar postulados, plasmado en el libro de los elementos, muestra que la geometría se divide en definiciones, axiomas, nociones comunes y postulados, principios a través de los cuales va a demostrar todo. Por medio de la geometría absoluta
  • 8. Teoría de conjuntos Georg Cantor entre 1874 y 895 Georg Cantor comenzó a trabajar en la teoría de conjuntos como base del edificio matemático e introdujo los números transfinitos divididos en números ordinales y no cardinales Surgieron las paradojas: Bertrand Russell encontró cosas paradójicas, como conjuntos compuestos por otros conjuntos, o conjuntos donde el propio conjunto era elemento de sí mismo. Lo que demostraba que algo no estaba bien plateado En 1895 Cantor descubre la paradoja de los números cardinales con los siguientes resultados: Teorema A: dado un número cardinal siempre es posible determinar otro mayor Teorema B: existe un numero cardinal mayor que todos los demás. Estos dos teoremas son contradictorios
  • 9. Logicismo Gottlob Frege(1848-1925) y Bertrand Russell (1872-1970) Su objetivo principal fue superar la crisis producida por los fundamentos pero en este también surgieron inconvenientes, por causa de Frege el cual pretendía basar toda la Matemática en la lógica, erradicara el problema del lenguaje, pero Russell observó que había inconsistencias en los axiomas, obligándolo a corregir sus propios postulados previos. Russell insistió y junto con Alfred North Whitehead, publican “Principia Mathematica” que aduce que los objetos matemáticos son objetos lógicos y los principios matemáticos son leyes lógicas o derivadas de las mismas.
  • 10. Formalismo David Hilbert (1862-1943) Se formaliza la teoría axiomática basada en tres reglas • Deben ser consistentes • Que sean completas • Que se pueda ´robar que una posición es legal o ilegal en una cantidad finita de partes. • El concepto de infinitud, el cual hasta el momento no estaba clarificado Aseguraba que cualquier situación Matemática puede ser resuelta acudiendo a la razón, y plantea los 23 problemas sin solución En 1920 Hilbert con ayuda Paul Bernays fundamenta la Matemática rechazando el Intuicionismo
  • 11. El intuicionismo Leopold Kronecker- Jan Brower (1823-1891) Aseguraba que los únicos números que existen son los Naturales; los racionales, irracionales, imaginarios, trascendentes, son sólo símbolos, de allí nace su afirmación que no existen objetos matemáticos si no existen procedimientos para su construcción y veían la Matemática como una extensión de la lógica Weyl intentó fusionar los axiomas de Hilbert con el intuicionismo de Brouwen, resultando una noción del continuo matemático el cual está ligado al concepto de infinitud Henri Poincaré: la sucesión completa de números naturales
  • 12. Referencias – Unidad 1 Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/10981 Rojas, R. (2018). El Lenguaje de las matemáticas. Historia de sus símbolos. México Fondo de Cultura Económica. Recuperado de https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/105655?page=1 Tomasini, B.(2006). Filosofía y matemáticas: ensayos en torno a Wittgenstein. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. 137-153 Recuperado de https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/75802?page=1 Ruiz, A. (2003). Epistemología y construcción de una nueva disciplina científica la didactique des mathematiques. Dialnet. Recuperado de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381201 OVI - Unidad 1: Objeto Virtual de Información de Unidad 1. Carlos,L. (2020). [OVI]. Epistemología de las Matemáticas. Una introducción general [Archivo de video]. Recuperado de: https://repository.unad.edu.co/handle/10596/33923
  • 13. Referencias- Unidad 2 •Cherubini, E. (2015). La noción del continuo matemático de hermann weyl conciliando formalismo e intuicionismo. revista síntesis, 14-16. recuperado a partir de https://revistas.unc.edu.ar/index.php/sintesis/article/view/12220 Ortiz Fernández, A. (1988). Crisis en los fundamentos de la matemática. Pro Mathematica, 2(3), 31-47. Recuperado a partir de http://revistas.pucp.edu.pe/index.php/promathematica/article/view/6053 Ruiz, A. (2003). Epistemología y construcción de una nueva disciplina científicala didactique des mathematiques. Dialnet . Recuperado de https://dialnet.unirioja.es/servlet/articulo?codigo=5381201 Gómez, R. & Recalde, L. (2013). Epistemología de las matemáticas. Modulo. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. . Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/10981