ejercicios de mate 1

1. SEMANA 1
CONJUNTOS I
1. Si: { } { } { }
{ }
A ;a; a ; a,b ;
= φ φ
Indicar las proposiciones que son
verdaderas.
I. a ⊂ A ∧ {a, b} ⊂ A
II. {φ} ∉ A ∨ {φ} ⊂ A
III. φ ⊂ A ∧ φ ∈ A
A) solo I B) solo II
C) solo III D) II y IV
E) II y III
RESOLUCIÓN
{ } { } { }
{ }
A ;a; a ; a,b ;
= φ φ
I. a ⊂ A ∧ {a, b} ⊂ A
F F = F
II. {φ} ∉ A ∨ {φ} ⊂ A
F V = V
III. φ ⊂ A ∧ φ ∈ A
V V = V
I y III son verdaderas
RPTA.: D
2. Dados los conjuntos:
{ }
( )
{ }
A x N 2x 13
B x A x² 2x A
= ∈ ≤
= ∈ − ∉
Indicar si es verdadero o falso, las
siguientes proposiciones.
I. ∃ x ∈ A / x² − 5 > 4
II. ∀ x ∈ (A − B) / 2x + 5 < 8
III. ∃ x ∈ (A − B) / x² ∈ B
A) VVF B) FVF C) VFV
D) VFF E) VVV
RESOLUCIÓN
{ }
{ }
( )
{ }
A x N 2x 13
A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
B x A x² 2x A
= ∈ ≤
⇒ =
= ∈ − ∉
x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6
x² − 2x = 0 ;−1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24
⇒ B = {1; 4; 5; 6}
I. ∃ x ∈ A / x² − 5 > 4
(V)
II. ∀ x ∈ (A − B)/2x + 5 < 8
(F)
III. ∃ x ∈ (A − B) / x² ∈ B
(V)
RPTA.: C
3. Sea { }
A n Z n 600
+
= ∈ ≤
Calcule la suma de elementos del
conjunto B; si
{ }
3
B a 2 a A a A
= + ∈ ∧ ∈
A) 1000 B) 1296 C) 1312
D) 1424 E) 1528
RESOLUCIÓN
{ } { }
( ) 3
a es cubo perfecto
A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600
B a 2 a A a A
+
= ∈ ≤ =
 
 
= + ∈ ∧ ∈
 
 
 
⇒ a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2
B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2
elementos 8 x 9
2 8
2
de B
1312
 
 
= + + + +
 
 
 
   
= +
   
 
 
=
∑
Nota:
( )
3
2
N
n n 1
S
2
 
+
=  
 
RPTA.: C
4. Halle el cardinal del conjunto B e
indicar el número de subconjuntos
ternarios que tiene.
( ) ( )
{ }
CONJUNTOS
LÓGICA
B x Z x 8 x 2
siendo : p q p q A B
+
= ∈ > → =
 
 
′
→ ≡ ∨ <> ∪
 
 
∼
A) 48 B) 42 C) 63
D) 56 E) 45
´

2. RESOLUCIÓN
( ) ( )
{ }
B x Z x 8 x 2
+
= ∈ > → =
(x > 8) → (x = 2)
∼ (x> 8) ∨ (x = 2)
⇒ x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8
⇒ n(B) = 8
#Subconjuntos 8 8!
C
3! 5!
3
Ternarios de B
6 x7x8
56
6
 
= =
 
 
= =
RPTA.: D
5. Dados los conjuntos unitarios
A = {a + b; a + 2b−3; 12} y
B = {xy
; yx
; 16};
halle el valor de (x + y + a² + b)
A) 81 B) 92 C) 96
D) 87 E) 90
RESOLUCIÓN
A y B son unitarios:
* A = {a + b; a + 2b − 3; 12}
a + b = 12
a + 2b − 3 = 12
a + 2b = 15
como: a + b = 12
b = 3 → a = 9
* B = {xy
; yx
; 16}
xy
= yx
= 24
→ x = 2 ; y = 4
∴ x + y + a² + b = 90
RPTA.: E
6. Calcular el número de
subconjuntos binaros del conjunto
D, si:
D = {(x² −1)∈Z / 0 < x ≤ 4}
A) 132 B) 126 C) 105
D) 124 E) 120
RESOLUCIÓN
D = {(x² −1)∈Z / 0 < x ≤ 4}
0 < x ≤ 4 → 0 < x² ≤ 16
→ −1 <x² − 1≤ 15
D = {0; 1; 2; 3; ...;15} → n(D)= 16
( )
#Subconjuntos 16 16!
C
2! 14!
2
Binarios de D
15x16
2
 
= =
 
 
= 15x8
120
=
=
RPTA.: E
7. Si:
n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y
n [P(A∩B)] = 8
Halle el cardinal de P(A∪B) sumado
con el cardinal de:
C = ( )
5
3x 1 Z x
3
+
 
+ ∈ <
 
 
A) 521 B) 517 C) 519
D) 512 E) 520
RESOLUCIÓN
* nP(A) = 128 = 27
→ n(A) = 7
nP(B) = 32 = 25
→ n(B) = 5
nP(A∩B) = 8 = 23
→ n(A∩B) = 3
⇒ n(A∪B) = 7 + 5 − 3 = 9
⇒ nP(A∪B) = 29
= 512
* C = ( )
5
3x 1 Z x
3
+
 
+ ∈ <
 
 
5
x
3
5
x 3 1 3 1
3
<
+ < +
i i
(3x + 1) < 6
C = {1; 2; 3; 4; 5}
n(C) = 5
∴ nP(A∪B) + n(C) = 517
RPTA.: B

3. 8. Oscar compra 9 baldes de
pinturas de diferentes colores. Los
mezcla en igual proporción.
¿Cuántos nuevos matices se
pueden obtener?
A) 512 B) 246 C) 247
D) 503 E) 502
RESOLUCIÓN
# de colores = 9
# de nuevos matices= 29
− 1 − 9
= 512 − 10
= 502
RPTA.: E
9. El conjunto A tiene 200
subconjuntos no ternarios.
¿Cuántos subconjuntos quinarios
tendrá?
A) 64 B) 56 C) 48
D) 21 E) 35
RESOLUCIÓN
Sea n(A) = x
( )
( )( )
 
= − =
 
 
− =
−
− −
− =
=
 
= =
 
 
= =
x x
3
x
x
Subconjuntos
2 C 200
no ternarios
x!
2 200
3! x 3
x 2 x 1 x
2 200
6
x 8
Luego :
#Subconjuntos 8 8!
C
5! x 3!
5
Quinarios
8 x 7 x 6
56
6
RPTA.: B
10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1)
elementos y (2P + 3)
subconjuntos propios; además:
n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y
n(A∩B) = 2P − 2
Halle n(A∆B)
A) 14 B) 16 C) 18
D) 17 E) 20
RESOLUCIÓN
n(C) = P + 1
# subconjuntos
2P 3
propios de C
 
 
= +
 
 
 
 
P + 1
2P + 1
− 1 = 2P + 3
P = 2
Luego:
n(A) = 4(2) + 2 = 10
n(B) = 3(2) + 6 = 12
n(A∩B) = 2
n (A∆B) = 18
RPTA.: C
11. Sean los conjuntos A ⊂ E ; B ⊂ E
y C ⊂ E; E conjunto universal, tal
que:
E = {x ∈Z+
/ x < 10}
A = { }
x E x 7
∈ <
A∪B = {x ∈ E / x ≤ 9 ∧ x > 2}
B∩C = {3}
B∪C = {x ∈ E / x ≤ 7}
A∩C = A B C
∩ ∩ = φ
Determinar n(A) + n(B) + n(C)
A) 9 B) 12 C) 10
D) 13 E) 11
´
´ ´ ´
10
2
8
A = 10 B = 12

4. RESOLUCIÓN
E={x∈Z+
/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}
{ } { }
A x E / x 7 1,2,3,4,5,6
= ∈ < =
⇒ A = {7, 8, 9}
De:
A C
∩ = ( )
A B C A B C ′
′ ′ ′
∩ ∩ = ∪ ∪ = φ
A ∪ B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
B ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11
RPTA.: E
12. Sean A, B y C tres conjuntos no
vacíos que cumplen las
condiciones:
* A ⊂ B ∧ B ⊄ A
* si x ∈ C → x ∉ B
Determinar el valor de verdad de
las siguientes proposiciones.
I) A y B son disjuntos
II) (A ∪ B) ⊂ C
III) C ⊂ (A ∆ B)
IV) C ∉ (A ∪ B)
A) FVVF B) FFVV C) FFFF
D) VFVF E) FFFV
RESOLUCIÓN
A ⊂ B ∧ B ⊄ A
x ∈ C → x ∉ B
Graficando las dos condiciones:
I) A y B son disjuntos (F)
II) (A ⊂ B) ⊂ C (F)
III) C ⊂ (A ∆ B) (F)
IV) C ∉ (A ∪ B) (V)
RPTA.: E
13. Sean A y B dos conjuntos finitos
tales que:
* A ∩ B = φ
* n(B) = 2 . n(A)
* B′ tiene 128 subconjuntos.
El número de subconjuntos de B
excede al número de subconjuntos
propios de A en 993.
¿Cuántos subconjuntos propios
tiene A′ ?
A) 28
−1 B) 210
−1 C) 211
−1
D) 212
−1 E) 213
−1
RESOLUCIÓN
Sean n(A) = x → n(B) = 2x
# subconjuntos # subconjuntos
993
de B propios de A
   
− =
   
   
22x
− (2x
−1) = 993
2x
(2x
−1) = 992 = 25
x 31
x = 5
Luego:
# subconjuntos de 7
B 128 2
′ = =
12
#subconjuntos propios de A 2 1
′
∴ = −
RPTA.: D
14. Dados los conjuntos:
{ }
3x 5
A x N / N
4
x 1 x
B N / N
2 2
C x N / 2x 25
+
 
= ∈ ∈
 
 
+
 
= ∈ ∈
 
 
= ∈ >
Halle: n[(A∆B)∩C ]
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6
´
´
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
. 6
. 7
. 8
. 9
C
B
A
´
C
B
A
2
5 10
B = 10
A = 5
U

5. RESOLUCIÓN
*
3x 5
A x N / N
4
+
 
= ∈ ∈
 
 
3x 5 4N 5
N x
4 3
+ −
= → =
N = 2; 5; 8 ......
X = 1; 5; 9 ......
A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}
*
x 1 x
B N / N
2 2
+
 
= ∈ ∈
 
 
NATURAL
x 1 x 1
No existe natural
2 2 2
+
= + =
⇒ B = φ
* { }
C x N / 2x 25
= ∈ >
C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}
n(A∆B) ∩ C′ ⇒ A ∆ B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)
n (A ∩ C′ ) = n(A − C)
= n {1, 5, 9}
= 3
RPTA.: B
15. Para los conjuntos A, B y C
afirmamos:
I. Si A ⊂ B ⊂ C → C B A
⊂ ⊂
II. A ∩ A = φ
III. ( )
A B A B
− = ∪
IV. Si A B B A
⊂ → ⊂
V. ( )
A B A B A
∪ ∩ = ∪
Son verdaderas:
A) todas
B) solo II y III
C) todas excepto V
D) solo II, III, IV y V
E) solo I, II y V
RESOLUCIÓN
I. Si A ⊂ B ⊂ C → C B A
′ ′ ′
⊂ ⊂ (V)
II. A ∩ A′ = φ (V)
III. ( )
A B A B
− = ∪ (V)
IV. Si A B B A
⊂ → ⊂ (V)
V. ( )
A B A B A
∪ ∩ = ∪ (V)
RPTA.: A
16. Si A y B son dos conjuntos finitos,
tal que, el número de
subconjuntos de A y de B suman
320, los conjuntos A y B tienen 2
elementos comunes; determine
n(A∆B)
A) 14 B) 13 C) 12
D) 11 E) 10
RESOLUCIÓN
320 = n(PA) + n (PB)
320 = 2n(A)
+ 2n(B)
320 = 26
+ 28
Luego:
n(A) = 6 n(B) = 8
⇒ n(A∆B) = 10
RPTA.: E
17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos
diferentes dos a dos, tales que:
B A ; C B
A C
⊂ ∩ = φ
∩ = φ
Al simplificar:
[B∩(C − A)] ∩ [A ∪ (B − C)] se
obtiene:
A) A B) B C) A ∪ B
D) A ∪ C E) φ
´ ´ ´
´
´
´
´ ´
´
´
´ ´ ´
´
4 6
2
A B
2
´
´
´
´
´
´
´ ´
´ ´

6. RESOLUCIÓN
B A ; C B ; A C
A B ; C B ; A C
⊂ ∩ = φ ∩ = φ
⊂ − = φ − = φ
Graficando y enumerando las
regiones:
( ) ( )
B C A A B C
   
∩ − ∩ ∪ −
   
[2] ∩ [1; 3] = φ
RPTA.: E
18. Sean A y B dos conjuntos
cualesquiera, simplificar:
( ) ( ) ( )
{ }
A B A B A B
∪ ∩ ∩ ∪ ∩
A) A ∩ B B) A ∩ B
C) A B
∩ D) ( )
A B
∩
E) φ
RESOLUCIÓN
Graficando los conjuntos A y B
( ) ( ) ( )
A B A B A B
 
 
′ ′
∪ ∩ ∩ ∪ ∩
 
 
(A − B) (B−A)
{ } { }
{ } { } { }
1,2,3 2,3
1,2,3 1,4 1 A B
∩
∩ = = ∩
RPTA.: A
19. En el gráfico, las zonas
sombreadas están representadas
por:
I) [A−(B−C)] ∪ [C ∩ D]
II) (A ∪ B) − (B − C)
III) [(A ∪ D) − C] ∩ [A − (B−C)]
A) solo I B) solo II
C) solo I y II D) solo II y III
E) todos
RESOLUCIÓN
I) [A−(B−C)] ∪ [C ∩ D]
[{1,2,3} − {2,6,5}] ∪ {7}
= {1,3,7}: si
II) (A ∪ B) − (B − C)
{1,2,3,4,5,6,7} − {2,5,6} =
{1,3,4,7} no
III) [(A ∪ D) − C] ∩ [A − (B−C)]
{1,2,5} ∩ {1,3} = {1} no
RPTA.: A
20. Dado 3 conjuntos A; B y C:
Si n(A) = m ; n(B) = m + r
n(C) = m + 2r ; además:
n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896
Se sabe además que A, B y C son
disjuntos.
Calcule n(A ∪ B ∪ C)
A) 16 B) 22 C) 24
D) 32 E) 48
B
C
D
A
´
´
´
´´
´
B
C
A
1
2 3
´ ´ ´
´
2 3
1
4
A B
´
´
B
C
D
A
1 2 3
4
5
6
7

7. RESOLUCIÓN
n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r
( ) ( ) ( )
A B C
nP nP nP 896
+ + =
2m
+ 2m+r
+ 2m+2r
= 896
2m
[1 + 2r
+ 22r
] = 896 = 27
x 7
m = 7
r = 1
A B C
⇒ 7 8 9
n(A ∪ B ∪ C) = 24
RPTA.: C