Este documento presenta el Teorema de Pitágoras, que establece que en un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Explica varias demostraciones geométricas y algebraicas de este teorema a lo largo de la historia, incluyendo demostraciones de Pitágoras, Platón, Euclides y otros. También incluye puzzles visuales que ilustran el teorema de Pitágoras.

1. TEOREMA DE PITÁGORAS
En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los catetos.
a2
+ b2
= c2
Cada uno de los sumandos, representa el área de un cuadrado de lado, a, b, c. Con lo que la expresión anterior, en términos de áreas se expresa en la forma siguiente:
El área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo
rectángulo, es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre los catetos.
Teorema de Pitágoras generalizado
Si en vez de construir un cuadrado, sobre cada uno de los lados de un triángulo rectángulo, construimos otra figura, ¿seguirá siendo cierto,
que el área de la figura construida sobre la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de las figuras semejantes construidas sobre los
catetos?
(Pinchando en los dibujos siguientes se accede a la comprobación numérica en las figuras que se representan)

2. DEMOSTRACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
A lo largo de la historia han sido muchas las demostraciones y pruebas que matemáticos y amantes de las matemáticas han dado sobre este
teorema. Se reproducen a continuación algunas de las más conocidas.
DEMOSTRACIONES GEOMÉTRICAS
PITÁGORAS.
Una de las demostraciones geométricas mas
conocidas, es la que se muestra a continuación, que
suele atribuirse al propio Pitágoras.
A partir de la igualdad de los
triángulos rectángulos es evidente la
igualdad
a2
+ b2
= c2
PLATÓN.

3. La relación que expresa el teorema de Pitágoras es especialmente intuitiva si se
aplica a un triángulo rectángulo e isósceles. Este problema lo trata Platón en sus
famosos diálogos.
EUCLIDES.
La relación entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo,
aparece ya en los Elementos de Euclides.
Elementos de Euclides. Proposición I.47.
En los triángulos rectángulos el cuadrado del lado que subtiende
el ángulo recto es igual a los cuadrados de los lados que
comprenden el ángulo recto.
Para demostrarlo, Euclides construye la figura que se representa a la derecha.
La prueba que da Euclides consiste en demostrar la igualdad de las áreas
representadas en el mismo color.
BHÂSKARA

4. ¡ Mira !
PUZZLES PITAGÓRICOS.
A continuación se presentan algunas demostraciones visuales del teorema de Pitágoras en forma de puzzles. En todos ellos, las
piezas en que se se han dividido los cuadrados construidos sobre los catetos, completan el cuadrado construido sobre la hipotenusa.
1.- Los siguientes disecciones son válidas para cualquier triángulo rectángulo.
Se han ordenado de menos a mayor número de piezas que lo forman.
1. Ozanam 2.- Perigal 3.-

5. 4. Anaricio 5. Bhâskara 6.-
7.- 8.-

6. 2.- Los puzzles siguientes sólo son validos en el caso de que el triángulo rectángulo inicial sea el que se indica.
Triangulo Rectángulo Isósceles
Triangulo rectángulo 3,4,5 Cateto mayor / cateto menor = 2

7. Hipotenusa /cateto menor =3 Hipotenusa/cateto menor = 2
3.- Finalmente, dos puzzles especialmente interesantes. No solo prueban el teorema de Pitágoras, también el del cateto.
Son validos para triángulos rectángulos con los ángulos (excluido el recto) en el intervalo que se indica en cada caso.

8. Para ampliar el intervalo de validez, hay que aumentar el número de piezas, y no puede generalizarse con un número finito.
Ángulos A y B mayor o igual que 30 y menor o igual que 60.
30 ≤ A ≤ 60;
45 ≤ A ≤ 60; por tanto 30 ≤ B ≤ 45
Estas dos disecciones muestran gráficamente las demostraciones de Euclides y de Pappus. Con la limitación que se ha expresado anteriormente.
DEMOSTRACIONES ALGEBRAICAS.
Valiéndose de la construcción que se representa en cada caso, se han dado a lo largo de la historia
excelentes y originales demostraciones, no tan visuales como las anteriores, pero si tanto o más
elegantes.
Estás son algunas de las mas populares.
Pappus Ibn Qurra

9. Leonardo de Vinci Garfield Vieta
Otras demostraciones algebraicas.

10. Se ha dejado para el final una prueba (posiblemente desarrollada por el propio Pitágoras), que no precisa de figuras auxiliares. Es
suficiente con un triángulo rectángulo.
Algunos autores, hablan de la existencia de hasta mil demostraciones diferentes del Teorema de Pitágoras. En 1927, E. S. Loomis
publica The Pitagoream Proposition donde aparecen 367 pruebas.

11. PÁGINAS SOBRE EL TEOREMA DE PITÁGORAS.
http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm La Gacetilla Matemática dedica un amplio espacio a este teorema.
http://personal.telefonica.terra.es/web/imarti22/pitagoras/pitagoras.htm del departamento de matemáticas del IES Maria Moliner, Valladolid. Con Animaciones en Flash muy
interesantes.
http://almez.pntic.mec.es/~jdec0000/geometria_dinamica_del_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm con applet Descartes.
http://www.utp.ac.pa/articulos/pitagoras.html
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/1y2_eso/Teorema_de_Pitagoras/Pitagoras.htm Con applet Descartes.
http://www.ctv.es/USERS/pacoga/bella/htm/pitagora.htm de la excelente página Bella Geometría.
http://www.personal.us.es/rbarroso/trianguloscabri/Pit.pdf amplio e interesante documento.
Los sellos postales también rinden homenaje a Pitágoras y al teorema:

12. Alguna de las demostraciones y datos expuestos se han tomado de :
-GONZALEZ URBANEJA, Pedro M., Pitágoras el filósofo del número. La Matemática en sus personajes, 9. Ed. Nivola. Madrid
2001. http://www.nivola.com/categorias.asp?cat=matensuspersonajes