Clase N° 1 Geometría métrica del plano

1. GEOMETRÍA MÉTRICA DEL PLANO
MATEMÁTICA - Cátedra:Arqta.Goity - UnidadN° 2: GEOMETRÍADELPLANO

2.  LA GEOMETRÍA ES BASE TEÓRICA DE LA
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA O DEL DIBUJO TÉCNICO
• GEOMETRÍA: ¿PARA QUÉ?
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3. • GEOMETRÍA: ¿PARA QUÉ?
 LA GEOMETRÍA ES FUNDAMENTO PARA LA
CREACIÓN DE INSTRUMENTOS COMO EL COMPÁS,
EL PANTÓGRAFO, EL TEODOLITO.
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4. • GEOMETRÍA: ¿PARA QUÉ?
 LA GEOMETRÍA ES LA PARTE DE LA MATEMÁTICA
QUE ESTUDIA LAS PROPIEDADES Y MEDIDAS DEL
PLANO Y DEL ESPACIO.
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5. ; 𝐀 ; 𝛂
A
𝛼
B
• ¿QUÉ ES UN ÁNGULO?
Punto A: vértice
Semirrectas y : lados
Un ÁNGULO es la parte del
plano comprendida entre dos
semirrectas que tienen el mismo
punto de origen o vértice.
●
C
AB AC
El ángulo dibujado es
ó donde los puntos:
B y C: pertenecen a las
semirrectas que lo forman.
A: vértice del mismo.
CAˆB
𝛂
convexo
CAˆB
cóncavo
CAˆB
B
A
𝛼
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• NOTACIÓN 1:
CAˆB
• NOTACIÓN 2:
[ ] ; [𝐀] ; [𝛂]CAˆB
• UNIDADES:
•sistema sexagesimal
(°, ´ y ´´);
•sistema radián o
•sistema centesimal.

6. • ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
SEGÚN SU AMPLITUD
CAˆB
CAˆB
NOTA:
Salvo que se indique lo contrario, la notación
significará ÁNGULO CONVEXO.
= 90°CONVEXOS RECTOS:
CÓNCAVOS
AGUDOS: 0º < < 90º
OBTUSOS: 90º < < 180º
180º < < 360º
CAˆB
CAˆB
CAˆB
agudos
rectos
obtusos
cóncavosconvexos
(Menos de 180°)
(Más de 180°)
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7. Los lados son
semirrectas
perpendiculares.
Si es recto:
= 0º: ÁNGULO NULO
Representación gráfica SEMIRRECTA
= 180º: ÁNGULO LLANO
Representación gráfica SEMIPLANO
Lados: SEMIRRECTAS OPUESTAS
= 360º: ÁNGULO DE UN GIRO
Representación gráfica PLANO.
• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
SEGÚN SU AMPLITUD
CAˆB
●
●
B
A
C

CAˆB
A
B
C
● ●
●
CAˆB
A
B
C●
●
recto si = 90°CAˆB
 ÁNGULO NULO: 0º
 ÁNGULO LLANO: 180º
 ÁNGULO RECTO: 90º
CAˆB
CAˆB 
●
 ÁNGULO DE 1 GIRO: 360º
CASOSDEBORDE
𝐀𝐁 𝐀𝐂
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8. 
𝜶 y son consecutivos
ÁNGULOS CONGRUENTES:
Los que al superponerlos coinciden en
todos sus puntos; además dos ángulos
congruentes tienen la misma AMPLITUD.
ÁNGULOS CONSECUTIVOS:
Los que tienen, exclusivamente, UN LADO
en común. Este concepto se extiende a
más de 2 ángulos.
BISECTRIZ:
Semirrecta interior a un ángulo que lo
divide en DOS ÁNGULOS
CONGRUENTES.
• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
PARES DE ÁNGULOS
A Q
60º
P
M
C60ºB ● ●
● ●
●
QMˆP
𝐛 𝛂 𝛃  𝛅
𝐛 𝛂 es la bisectriz de 𝜶
●
ˆ
ˆ
𝛂
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𝛂
ˆ
𝛅
CAˆB

9. ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Los que suman 90º.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Los que suman 180º.
ÁNGULOS ADYACENTES:
Son dos ángulos que son CONSECUTIVOS
y SUPLEMENTARIOS a la vez.
• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
PARES DE ÁNGULOS
30º 60º
Son COMPLEMENTARIOS
120º 60º
Son SUPLEMENTARIOS
𝜶 𝛃
𝜶 y 𝛃 son ADYACENTES
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10. ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
Son dos ángulos tales que los lados de uno de
ellos son las semirrectas opuestas de los lados
del otro.
Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son
CONGRUENTES.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS:
Dos rectas paralelas a y b dividen al plano en
dos regiones: INTERIOR y EXTERIOR.
Si se traza una tercera recta secante “t”, ésta
divide al plano en dos SEMIPLANOS y quedan
dibujados 8 ÁNGULOS que reciben nombres
según su posición.
• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
PARES DE ÁNGULOS
𝛂 𝛃
a
t
interior
a
b
b
𝛂 y 𝛃 son OPUESTOS
POR EL VÉRTICE
exterior
exterior
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11. 𝛂
𝛂 y 𝛃
conj. externos
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
Son dos ángulos que pertenecen al mismo semiplano
respecto a “t”, y es uno exterior y uno interior. LOS
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE
PARALELAS SON CONGRUENTES.
ÁNGULOS ALTERNOS:
Son dos ángulos que pertenecen a distinto semiplano
respecto a “t” y son los dos exteriores ÁNGULOS
ALTERNOS EXTERNOS o los dos interiores ÁNGULOS
ALTERNOS INTERNOS. LOS ÁNGULOS ALTERNOS
ENTRE PARALELAS SON CONGRUENTES.
ÁNGULOS CONJUGADOS:
Son dos ángulos que pertenecen al mismo semiplano
respecto a “t” y son los dos exteriores ÁNGULOS
CONJUGADOS EXTERNOS o los dos interiores
ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS. LOS
ÁNGULOS CONJUGADOS ENTRE PARALELAS SON
SUPLEMENTARIOS.
• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
PARES DE ÁNGULOS
𝜶 y 𝛃 son correspondientes
𝛚
𝛃
𝛂 y 𝛚
alt. externos
𝛂
𝛆 y 𝜷 alt.
internos
𝜺
𝞪
𝛆 y 𝛚 conj.
internos
𝛃
𝜺
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𝛃

12. Escriba aquí la ecuación.
• ¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO?
UN TRIÁNGULO ES UNA FIGURA
CERRADA DE TRES LADOS
𝛄
C
B
A 𝛂
𝛃
Los puntos A, B y C son los VÉRTICES.
Los segmentos 𝐀𝐁, 𝐀𝐂 y 𝐁𝐂 son los LADOS
Los ángulos 𝐁𝐀𝐂, 𝐀𝐁𝐂 y 𝐁𝐂𝐀 son ÁNGULOS
INTERIORES
Los ángulos 𝛂, 𝛃 y 𝛄 son ÁNGULOS EXTERIORES
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THALES fue quien enunció
por vez primera que “Los
ángulos opuestos por el
vértice que se forman al
cortarse dos rectas son
iguales”. Aunque descubrió
el teorema, seguramente no
lo probó de manera
rigurosa. Fue EUCLIDES
quien lo hizo en su
Proposición XV del Libro I
de sus Elementos.

13. • ¿QUÉ SABEMOS DE LOS TRIÁNGULOS?
𝐀𝐁𝐂 + 𝐁𝐂𝐀 + 𝐂𝐀𝐁 = 𝟏𝟖𝟎°
PROPIEDADES
C
B
A
 La SUMA de los ÁNGULOS INTERIORES es
siempre igual a 180°.
 Cada ÁNGULO EXTERIOR es igual a la SUMA
de los dos INTERIORES NO ADYACENTES a él.
 La SUMA de los ÁNGULOS EXTERIORES es
siempre igual a 360°.
𝛄
𝛂
𝛃
𝛂 + 𝛃 + 𝛄 = 𝟑𝟔𝟎°
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𝛂 = 𝐁 + 𝐂
𝛃 = 𝐀 + 𝐂
𝛄 = 𝐀 + 𝐁

14. • ¿QUÉ SABEMOS DE LOS TRIÁNGULOS?
PROPIEDADES
C
B
A
 Al MAYOR LADO se le opone el MAYOR
ÁNGULO (ídem con el menor).
 A LADOS CONGRUENTES se le oponen
ÁNGULOS CONGRUENTES y a la inversa.
𝛄
𝛂
𝛃
BCABAC 
ACBCAB 
ABCABC 
Si 𝐀𝐁𝐂 < 𝐁𝐀𝐂 < 𝐁𝐂𝐀
Entonces: ABBCAC 
Si entonces
𝐁𝐂𝐀 = 𝐁𝐀𝐂
y recíprocamente.
BCAB 
 CADA LADO es MENOR que la suma de los
OTROS DOS (condición de existencia) y
MAYOR que su diferencia.
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ABBCAC 
BCACAB 
ABACBC 

15. La suma de los ángulos interiores es siempre igual a 180°.
• CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
THALES (el del teorema)
enunció y demostró
“Los ángulos de la base
de todo triángulo
isósceles son iguales”.
En realidad, usó el término
“semejantes” en vez de
“iguales” (parece que no
concebía la amplitud del
ángulo como una magnitud,
sino como una figura que
tiene una determinada
forma).
El teorema aparecería
después como la
Proposición V del Libro I de
los Elementos de
EUCLIDES.
SEGÚN SUS LADOS
(tres lados congruentes
y tres ángulos congruentes)
(3 lados y 3 ángulos
no congruentes)
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(2 lados congruentes
y 2 ángulos congruentes)
EQUILÁTERO
ISÓSCELES ESCALENO
Todo triángulo
EQUILÁTERO
es ISÓSCELES

16. La suma de los ángulos interiores es siempre igual a 180°.
SEGÚN SUS ÁNGULOS
(tres ángulos agudos)
(un ángulo obtuso)(un ángulo recto)
cateto
cateto
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ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO
El SISTEMA SEXAGESIMAL
(base 60) fue creado
por los BABILONIOS
hacia el año 200 a.C.
y se usa todavía
para medir el TIEMPO
y los ÁNGULOS.
• CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

17. FIN
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