Geometría métrica del plano: ángulos y triángulos

GEOMETRÍA MÉTRICA DEL PLANO
MATEMÁTICA - Cátedra:Arqta.Goity - UnidadN° 2: GEOMETRÍADELPLANO

 LA GEOMETRÍA ES BASE TEÓRICA DE LA
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA O DEL DIBUJO TÉCNICO
• GEOMETRÍA: ¿PARA QUÉ?

 LA GEOMETRÍA ES FUNDAMENTO PARA LA
CREACIÓN DE INSTRUMENTOS COMO EL COMPÁS,
EL PANTÓGRAFO, EL TEODOLITO.

 LA GEOMETRÍA ES LA PARTE DE LA MATEMÁTICA
QUE ESTUDIA LAS PROPIEDADES Y MEDIDAS DEL
PLANO Y DEL ESPACIO.

; 𝐀 ; 𝛂
A
𝛼
B
• ¿QUÉ ES UN ÁNGULO?
Punto A: vértice
Semirrectas y : lados
Un ÁNGULO es la parte del
plano comprendida entre dos
semirrectas que tienen el mismo
punto de origen o vértice.
●
C
AB AC
El ángulo dibujado es
ó donde los puntos:
B y C: pertenecen a las
semirrectas que lo forman.
A: vértice del mismo.
CAˆB
𝛂
convexo
CAˆB
cóncavo
CAˆB
B
A
𝛼
• NOTACIÓN 1:
CAˆB
• NOTACIÓN 2:
[ ] ; [𝐀] ; [𝛂]CAˆB
• UNIDADES:
•sistema sexagesimal
(°, ´ y ´´);
•sistema radián o
•sistema centesimal.

• ¿CÓMO SE CLASIFICAN LOS ÁNGULOS?
SEGÚN SU AMPLITUD
CAˆB
CAˆB
NOTA:
Salvo que se indique lo contrario, la notación
significará ÁNGULO CONVEXO.
= 90°CONVEXOS RECTOS:
CÓNCAVOS
AGUDOS: 0º < < 90º
OBTUSOS: 90º < < 180º
180º < < 360º
CAˆB
CAˆB
CAˆB
agudos
rectos
obtusos
cóncavosconvexos
(Menos de 180°)
(Más de 180°)

Los lados son
semirrectas
perpendiculares.
Si es recto:
= 0º: ÁNGULO NULO
Representación gráfica SEMIRRECTA
= 180º: ÁNGULO LLANO
Representación gráfica SEMIPLANO
Lados: SEMIRRECTAS OPUESTAS
= 360º: ÁNGULO DE UN GIRO
Representación gráfica PLANO.
SEGÚN SU AMPLITUD
CAˆB
●
●
B
A
C

CAˆB
A
B
C
● ●
●
CAˆB
A
B
C●
●
recto si = 90°CAˆB
 ÁNGULO NULO: 0º
 ÁNGULO LLANO: 180º
 ÁNGULO RECTO: 90º
CAˆB
CAˆB 
●
 ÁNGULO DE 1 GIRO: 360º
CASOSDEBORDE
𝐀𝐁 𝐀𝐂


𝜶 y son consecutivos
ÁNGULOS CONGRUENTES:
Los que al superponerlos coinciden en
todos sus puntos; además dos ángulos
congruentes tienen la misma AMPLITUD.
ÁNGULOS CONSECUTIVOS:
Los que tienen, exclusivamente, UN LADO
en común. Este concepto se extiende a
más de 2 ángulos.
BISECTRIZ:
Semirrecta interior a un ángulo que lo
divide en DOS ÁNGULOS
CONGRUENTES.
PARES DE ÁNGULOS
A Q
60º
P
M
C60ºB ● ●
● ●
●
QMˆP
𝐛 𝛂 𝛃  𝛅
𝐛 𝛂 es la bisectriz de 𝜶
●
ˆ
ˆ
𝛂
𝛂
ˆ
𝛅
CAˆB

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS:
Los que suman 90º.
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS:
Los que suman 180º.
ÁNGULOS ADYACENTES:
Son dos ángulos que son CONSECUTIVOS
y SUPLEMENTARIOS a la vez.
PARES DE ÁNGULOS
30º 60º
Son COMPLEMENTARIOS
120º 60º
Son SUPLEMENTARIOS
𝜶 𝛃
𝜶 y 𝛃 son ADYACENTES

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE:
Son dos ángulos tales que los lados de uno de
ellos son las semirrectas opuestas de los lados
del otro.
Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son
CONGRUENTES.
ÁNGULOS ENTRE PARALELAS:
Dos rectas paralelas a y b dividen al plano en
dos regiones: INTERIOR y EXTERIOR.
Si se traza una tercera recta secante “t”, ésta
divide al plano en dos SEMIPLANOS y quedan
dibujados 8 ÁNGULOS que reciben nombres
según su posición.
PARES DE ÁNGULOS
𝛂 𝛃
a
t
interior
a
b
b
𝛂 y 𝛃 son OPUESTOS
POR EL VÉRTICE
exterior
exterior

𝛂
𝛂 y 𝛃
conj. externos
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES:
Son dos ángulos que pertenecen al mismo semiplano
respecto a “t”, y es uno exterior y uno interior. LOS
ÁNGULOS CORRESPONDIENTES ENTRE
PARALELAS SON CONGRUENTES.
ÁNGULOS ALTERNOS:
Son dos ángulos que pertenecen a distinto semiplano
respecto a “t” y son los dos exteriores ÁNGULOS
ALTERNOS EXTERNOS o los dos interiores ÁNGULOS
ALTERNOS INTERNOS. LOS ÁNGULOS ALTERNOS
ENTRE PARALELAS SON CONGRUENTES.
ÁNGULOS CONJUGADOS:
Son dos ángulos que pertenecen al mismo semiplano
respecto a “t” y son los dos exteriores ÁNGULOS
CONJUGADOS EXTERNOS o los dos interiores
ÁNGULOS CONJUGADOS INTERNOS. LOS
ÁNGULOS CONJUGADOS ENTRE PARALELAS SON
SUPLEMENTARIOS.
PARES DE ÁNGULOS
𝜶 y 𝛃 son correspondientes
𝛚
𝛃
𝛂 y 𝛚
alt. externos
𝛂
𝛆 y 𝜷 alt.
internos
𝜺
𝞪
𝛆 y 𝛚 conj.
internos
𝛃
𝜺
𝛃

Escriba aquí la ecuación.
• ¿QUÉ ES UN TRIÁNGULO?
UN TRIÁNGULO ES UNA FIGURA
CERRADA DE TRES LADOS
𝛄
C
B
A 𝛂
𝛃
Los puntos A, B y C son los VÉRTICES.
Los segmentos 𝐀𝐁, 𝐀𝐂 y 𝐁𝐂 son los LADOS
Los ángulos 𝐁𝐀𝐂, 𝐀𝐁𝐂 y 𝐁𝐂𝐀 son ÁNGULOS
INTERIORES
Los ángulos 𝛂, 𝛃 y 𝛄 son ÁNGULOS EXTERIORES
THALES fue quien enunció
por vez primera que “Los
ángulos opuestos por el
vértice que se forman al
cortarse dos rectas son
iguales”. Aunque descubrió
el teorema, seguramente no
lo probó de manera
rigurosa. Fue EUCLIDES
quien lo hizo en su
Proposición XV del Libro I
de sus Elementos.

• ¿QUÉ SABEMOS DE LOS TRIÁNGULOS?
𝐀𝐁𝐂 + 𝐁𝐂𝐀 + 𝐂𝐀𝐁 = 𝟏𝟖𝟎°
PROPIEDADES
C
B
A
 La SUMA de los ÁNGULOS INTERIORES es
siempre igual a 180°.
 Cada ÁNGULO EXTERIOR es igual a la SUMA
de los dos INTERIORES NO ADYACENTES a él.
 La SUMA de los ÁNGULOS EXTERIORES es
siempre igual a 360°.
𝛄
𝛂
𝛃
𝛂 + 𝛃 + 𝛄 = 𝟑𝟔𝟎°
𝛂 = 𝐁 + 𝐂
𝛃 = 𝐀 + 𝐂
𝛄 = 𝐀 + 𝐁

• ¿QUÉ SABEMOS DE LOS TRIÁNGULOS?
PROPIEDADES
C
B
A
 Al MAYOR LADO se le opone el MAYOR
ÁNGULO (ídem con el menor).
 A LADOS CONGRUENTES se le oponen
ÁNGULOS CONGRUENTES y a la inversa.
𝛄
𝛂
𝛃
BCABAC 
ACBCAB 
ABCABC 
Si 𝐀𝐁𝐂 < 𝐁𝐀𝐂 < 𝐁𝐂𝐀
Entonces: ABBCAC 
Si entonces
𝐁𝐂𝐀 = 𝐁𝐀𝐂
y recíprocamente.
BCAB 
 CADA LADO es MENOR que la suma de los
OTROS DOS (condición de existencia) y
MAYOR que su diferencia.
ABBCAC 
BCACAB 
ABACBC 

La suma de los ángulos interiores es siempre igual a 180°.
• CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
THALES (el del teorema)
enunció y demostró
“Los ángulos de la base
de todo triángulo
isósceles son iguales”.
En realidad, usó el término
“semejantes” en vez de
“iguales” (parece que no
concebía la amplitud del
ángulo como una magnitud,
sino como una figura que
tiene una determinada
forma).
El teorema aparecería
después como la
Proposición V del Libro I de
los Elementos de
EUCLIDES.
SEGÚN SUS LADOS
(tres lados congruentes
y tres ángulos congruentes)
(3 lados y 3 ángulos
no congruentes)
(2 lados congruentes
y 2 ángulos congruentes)
EQUILÁTERO
ISÓSCELES ESCALENO
Todo triángulo
EQUILÁTERO
es ISÓSCELES

SEGÚN SUS ÁNGULOS
(tres ángulos agudos)
(un ángulo obtuso)(un ángulo recto)
cateto
cateto
ACUTÁNGULO
RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO
El SISTEMA SEXAGESIMAL
(base 60) fue creado
por los BABILONIOS
hacia el año 200 a.C.
y se usa todavía
para medir el TIEMPO
y los ÁNGULOS.
• CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS

FIN

BISECTRIZ - INCENTRO
B
C A
Q
Aˆb
Cˆb
Bˆb
Las tres BISECTRICES de los ÁNGULOS
INTERIORES del triángulo se cortan en un punto que
es centro de una circunferencia que EQUIDISTA de
los LADOS del TRIÁNGULO (tangente a sus lados) .
INCENTRO: Centro de una circunferencia inscripta
en el triángulo cuyas bisectrices se cortan en él.
●
LOS CUADRADOS
MÁGICOS
Están formados por N°
colocados de tal forma que
sus sumas en filas, columnas
y diagonales son iguales.
Esta suma común se llama
NÚMERO MÁGICO.
El cuadrado mágico represen
tado por Alberto Durero en su
célebre Grabado
"Melancolía" fue descubierto
en las ruinas
de la ciudad
de Khajuraho
(siglos X y XI),
en la India.
• RECTAS Y PUNTOS NOTABLES

MEDIATRIZ
La MEDIATRIZ de un segmento es una
PERPENDICULAR al mismo en su punto medio.
Cada lado del triángulo tiene su MEDIATRIZ.
AB
m
A
B
P
Cada punto de la MEDIATRIZ equidista de los
extremos del segmento.
CUADRADO MÁGICO de la
BASÍLICA de la SAGRADA
FAMILIA de BARCELONA
Fachada de la pasión
Josep María Subirachs
PAPB 
Para cualquier ubicación
de P sobre la mediatriz.

MEDIATRIZ - CIRCUNCENTRO
Las tres MEDIATRICES se cortan en un punto que
es centro de una circunferencia que EQUIDISTA de los
VÉRTICES del TRIÁNGULO.
CIRCUNCENTRO: Centro de una circunferencia que
circunscribe (rodea) al triángulo cuyas mediatrices se
cortan en él.
A
B
C
T
B
A
C●T
A
B
C
●
T
●
De momento hay
calculados 12,1
BILLONES DE
DECIMALES de 
(12.100.000.000.000).
El último dígito calculado
es un 5. Si suponemos
que una persona puede
leer unos 120
DECIMALES POR
MINUTO, necesitaría más
de 191 MIL AÑOS para
leer los 12,1 BILLONES
DE DECIMALES.
¿ ?

MEDIANA - BARICENTRO
Las tres MEDIANAS de un triángulo se cortan en un
punto que es centro de gravedad de la figura y que
se llama BARICENTRO o CENTROIDE.
BARICENTRO: es el CENTRO DE GRAVEDAD del
triángulo y en donde se cortan las tres MEDIANAS.
A
B
C
MEDIANA: segmento que une el punto medio de un
lado con el vértice opuesto.
𝐦 𝐁𝐂
𝐦 𝐀𝐁
𝐦 𝐀𝐂
PROPIEDAD:
BARICENTRO
a 1/3 del lado
y 2/3 del vértice.
●
P

ALTURA - ORTOCENTRO
Las tres ALTURAS de un triángulo se cortan en un
punto que se llama ORTOCENTRO.
ORTOCENTRO: es el punto de intersección de las
tres ALTURAS de un triángulo.
ALTURA DE CADA LADO: perpendicular al lado
(o su prolongación), que pasa por el vértice opuesto.
A
B
C
●
A
B
C
B
A
C
●
P
●
P
En la posición 672
del número 
aparecen seis 9
seguidos:…7713099605187
0721134999999… Se
conoce como "Punto
Feynman", pues fue el
PREMIO NOBEL de
FÍSICA RICHARD
FEYNMAN quien se dio
cuenta de ello.
La secuencia: 123456789…
se encuentra en la posición
17.387.594.880
de los decimales
del número 

EN EL TRIÁNGULO EQUILÁTERO
En el TRIÁNGULO EQUILÁTERO coinciden:
BISECTRIZ, MEDIATRIZ, MEDIANA y ALTURA, y
por lo tanto también coinciden:
INCENTRO, CIRCUNCENTRO, BARICENTRO
y ORTOCENTRO.
30°
A
B
C
30°
30°
30°
30°
30°
●
P
http://www.facade.com/leg
acy/amiinpi/
Ingresa MES, DÍA Y 2
ÚLTIMAS CIFRAS DE TU
AÑO DE NACIMIENTO y
te dirá en qué POSICIÓN
de cifras decimales del
número  aparece tu fecha.
Y cada uno es EJE de SIMETRÍA de la figura.

EN EL TRIÁNGULO ISÓSCELES
En el TRIÁNGULO ISÓSCELES coinciden:
BISECTRIZ, MEDIATRIZ, MEDIANA y ALTURA
correspondientes al lado y al ángulo desigual.
A
B
CM
ε ω
Con valor
aproximado
de 6,28,
EL DOBLE
DE PI, sus
defensores dicen que
simplifica los cálculos y la
resolución de problemas
matemáticos. Aseguran que
es más preciso y elegante,
matemáticamente hablando.
Es el EJE de SIMETRÍA de la figura.

IGUALDAD DE TRIÁNGULOS
CRITERIO: A L A
𝛂
𝛂´ 𝛃´
𝛃
a
a´
Si: es igual a𝛂 𝛂´
es igual a𝛃 𝛃´
a es igual a a´
A´
B´ C´
A
B C

ABC = ´C´B´A

• TRIÁNGULOS DE A PARES
RECTA DE EULER
El ORTOCENTRO, el
BARICENTRO y el
CIRCUNCENTRO de un
triángulo NO EQUILÁTERO
están alineados (pertenecen a la
misma recta, llamada RECTA
DE EULER). Y en ella la
distancia entre el BARICENTRO
y el ORTOCENTRO es el DOBLE
de la distancia del BARICENTRO
al CIRCUNCENTRO.

CRITERIO: L A L
𝛂
𝛂´
a
a´
Si: es igual a𝛂 𝛂´
a es igual a a´
A´
B´ C´
A
B C
=
b
b´
b es igual a b´

ABC ´C´B´A

TERNA PITAGÓRICA:
Tres números naturales a,
b, c, que cumplen que
a² + b² = c². La TERNA
PITAGÓRICA más
conocida es 3, 4, 5 . Se
escribe (3, 4, 5). Se hacían
nudos a esas distancias y
así se construían
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS.

CRITERIO: L L L
b
b´
a es igual a a´
A´
B´ C´
A
B C
a
a´
b es igual a b´
c es igual a c´
c´
c

ABC = ´C´B´A

En MESOPOTAMIA se
conocía mucho la
GEOMETRÍA, en la
TABLILLA PLIMPTON (se
cree de 1800 años a C), y
que no se conserva entera,
se pueden identificar con
dificultad TERNAS
PITAGÓRICAS (muy
anteriores a PITÁGORAS).

• ¿QUÉ SON LOS CUADRILÁTEROS?
UN CUADRILÁTERO ES UNA
FIGURA CERRADA DE CUATRO
LADOS.
●
●
CUADRILÁTERO
CONVEXO
CUADRILÁTERO
CÓNCAVO
A
B
C
D
M
N
P
Q
●
●
Los NÚMEROS DECIMALES:
Matemático belga Simón
Stevin (1548-1620):
923 (0) 4 (1) 5 (2) 6 ( 3)
Ej: 923,456
Matemático suizo Jobst Bürgi
(1552-1632):
Matemático escocés John
Napier (1550-1617):
923,456
Actualmente en los países
anglosajones se popularizó el
punto en reemplazo de la
coma:
923.456
923°456

B
C
D
A
ˆ
ˆ
𝐁𝐃 y 𝐀𝐂  DIAGONALES
PROPIEDADES
𝐁𝐀𝐃 + 𝐀𝐃𝐂 + 𝐃𝐂𝐁 + 𝐂𝐁𝐀 = 𝟑𝟔𝟎°
𝝰 + 𝛃 + 𝛄 + 𝛅 = 𝟑𝟔𝟎°
𝑺𝒊 = 𝟑𝟔𝟎°
𝐒 𝐞 = 𝟑𝟔𝟎°
𝐁𝐀𝐃 + 𝝰 = 𝐀𝐁𝐂 + 𝛃 = 𝐁𝐂𝐃 + 𝛄 = 𝐀𝐃𝐂 + 𝝳 = 𝟏𝟖𝟎°
CADA LADO es MENOR
que la suma de los demás
• CUADRILÁTEROS CONVEXOS
dˆ
gˆ

• CLASIFICACIÓN DE LOS CUADRILÁTEROS
PARALELOGRAMOS
(dos pares de lados opuestos
paralelos)
NO PARALELOGRAMOS
(uno o ningún par de lados
opuestos paralelos)
ROMBOS
(cuatro lados
congruentes)
RECTÁNGULOS
(ángulos
congruentes)
TRAPECIOS
(un par de lados
paralelos)
TRAPEZOIDES
(ningún par de
lados paralelos)
CUADRADOS
(4 lados congruentes
y 4 ángulos
congruentes)
TRAPECIO
RECTÁNGULO
(un lado  a las
bases)
TRAPECIO
ISÓSCELES
(2 lados no paralelos
congruentes)
ROMBOIDE
(2 pares de lados
no paralelos
congruentes)
CUADRILÁTEROS
CONVEXOS

• PARALELOGRAMO
A
CB
D
O
h
b
●
PROPIEDADES
2) ÁNGULOS opuestos congruentes.
1) LADOS opuestos congruentes.
3) ÁNGULOS no opuestos suplementarios.
4) DIAGONALES se cortan en partes congruentes.
𝐁𝐂 = 𝐀𝐃 y 𝐀𝐁 = 𝐂𝐃
𝐁𝐀𝐃 = 𝐁𝐂𝐃 y 𝐀𝐁𝐂 = 𝐀𝐃𝐂
𝐁𝐀𝐃 + 𝐀𝐃𝐂 = 𝟏𝟖𝟎°
𝐀𝐁𝐂 + 𝐁𝐂𝐃 = 𝟏𝟖𝟎°
𝐁𝐎 = 𝐎𝐃 y 𝐀𝐎 = 𝐎𝐂
SUPERFICIE DEL
PARALELOGRAMO:
b . h
𝐁𝐀𝐃 + 𝐀𝐁𝐂 = 𝟏𝟖𝟎°
𝐀𝐃𝐂 + 𝐁𝐂𝐃 = 𝟏𝟖𝟎°

• ROMBO
90° 90°
90°
●
d
A
90°

D
C
B
M
 Por ser paralelogramos tienen sus 4 propiedades.

5) DIAGONALES perpendiculares.
6) DIAGONALES bisectrices de los ángulos.
7) Cada DIAGONAL es eje de simetría.
8) Los 4 TRIÁNGULOS determinados por las
diagonales son congruentes.
PROPIEDADES
= = =
𝐀𝐂 𝐁𝐃
𝝴 =  y ̂ = 𝛅
SUPERFICIE DEL ROMBO:
D . d
2

ABM

BMC

CMD

AMD

• RECTÁNGULO
●
B
A
C
D
M
 Por ser paralelogramos tienen sus 4 propiedades.
5) DIAGONALES congruentes.
PROPIEDADES
𝐀𝐂 = 𝐁𝐃
SUPERFICIE DEL
RECTÁNGULO:
b . h
b
h

• CUADRADO
45°
45°
45°
45°
45°
45°45°
45°
90°
90°
90°
90°
M
B
A
C
D
●
 Posee todas las propiedades de los
paralelogramos, del rombo y del rectángulo:
4 LADOS congruentes, 4 ÁNGULOS rectos
y DIAGONALES congruentes y
perpendiculares, bisectrices de los ángulos y
ejes de simetría.
PROPIEDADES
𝐀𝐌 = 𝐌𝐂 y 𝐁𝐌 = 𝐌𝐃
SUPERFICIE DEL
CUADRADO:
L . L = 𝐋𝟐
=
𝐃 𝟐
𝟐

• ROMBOIDE
C
M
DB
A
ε π
ωϕ
πε
A
B
C
D
φ = ω
ε = π
DIAGONAL PRINCIPAL
M
ϕ ω
1) Los ÁNGULOS en cuyo vértice se cortan lados
no congruentes, son congruentes. NO así los otros
dos.
2) La diagonal principal corta a la otra en partes
congruentes y es bisectriz. Puede ser mayor, menor
o igual que la otra. Es eje de simetría.
3) Las diagonales son perpendiculares.
SUPERFICIE DEL
ROMBOIDE:
D.d
2
PROPIEDADES
𝐂𝐁𝐀 = 𝐂𝐃𝐀
𝐁𝐌 = 𝐌𝐃
𝐀𝐂 𝐁𝐃
𝝴 =  y  = 
●
●

• TRAPECIO
h
A
B C
D
A
B C
D A
B M
C
D
N
SUPERFICIE DEL
TRAPECIO:
(B + b) . H
2
𝐀𝐁 = 𝐂𝐃
Trapecio isósceles:
𝐀𝐁𝐂 + 𝐁𝐀𝐃 = 180°
𝐀𝐃𝐂 + 𝐁𝐂𝐃 = 180°
𝐌𝐍 eje de simetría
TRAPECIO ISÓSCELESTRAPECIO RECTÁNGULO
PROPIEDADESb
B

A B
N
CD
M
M y N
puntos
medios
 La BASE MEDIA PRINCIPAL de un TRAPECIO
es el segmento que une los puntos medios de
sus lados no paralelos.
 La medida de la BASE MEDIA PRINCIPAL de
un TRAPECIO es igual a la mitad de la suma de
las 2 bases (SEMISUMA DE LAS BASES o
promedio de las bases).
 La BASE MEDIA PRINCIPAL de un TRAPECIO
es PARALELA a sus BASES.
BASE MEDIA DE UN
TRAPECIO
B + b
2
𝐃𝐂 + 𝐀𝐁
2
BASE MEDIA DEL
TRAPECIO ABCD
• BASE MEDIA DE UN TRAPECIO
B
b

𝐌𝐍 =
A B
N
CD
M
M y N
puntos
medios
 La BASE MEDIA de un TRIÁNGULO es el
segmento que une los puntos medios de dos de
sus lados. El triángulo tiene 3 bases medias.
 Cada BASE MEDIA de un TRIÁNGULO es
paralela al tercer lado y su medida es igual a la
mitad de ese lado.
BASE MEDIA DE UN
TRIÁNGULO
B
2
A
B
C
M N
𝐀𝐂
2
𝐌𝐍 // 𝐀𝐂
• BASE MEDIA DE UN TRIÁNGULO
B

LOS POLÍGONOS SON LAS
FIGURAS COMPUESTAS POR 3 O
MÁS LADOS
POLÍGONO
CONVEXO
POLÍGONO
CÓNCAVO
A
B
C
D
M
N
E
●
O
R
Q
P ●
●
●
LOS SÍMBOLOS
NUMÉRICOS
Y LOS ÁNGULOS
• ¿QUÉ SON LOS POLÍGONOS?

• POLÍGONOS CONVEXOS


g

d D
E
A
C
B
A, B, C, D, E vértices
𝐀, 𝐁, 𝐂, 𝐃, 𝐄 ángulos
interiores
𝝰, 𝛃, 𝛄, 𝝳, 𝝴 ángulos
exteriores
PROPIEDADES
1) La suma de los ángulos interiores es 180°(n–2)
Suma áng int =180°(n– 2)
2) La suma de los ángulos exteriores es 360°
4) La cantidad de diagonales es
Suma áng ext = 360°
n. (n-3)
2
n. (n-3)
2
N° diagonales =3) La cantidad de diagonales en cada vértice: n-3
5) Cada lado es menor que la suma de los demás

• POLÍGONOS REGULARES
PROPIEDADES
Todos sus LADOS son
CONGRUENTES
Todos sus ÁNGULOS
INTERIORES son
CONGRUENTES
Todo POLÍGONO REGULAR
puede inscribirse en una
CIRCUNFERENCIA.

• POLÍGONOS REGULARES
360°
n
ÁNGULO CENTRAL =
APOTEMA: perpendicular
al lado, trazada desde el
centro de la circunferencia
PÉRIMETRO: n . lado
perímetro x apotema
2
Sup =
TRIÁNGULO EQUILÁTERO3
CUADRADO
HEXÁGONO REGULAR
PENTÁGONO REGULAR
HEPTÁGONO REGULAR
OCTÓGONO REGULAR
ENEÁGONO REGULAR
DECÁGONO REGULAR
4
5
6
7
8
9
10

C
A
B
D
E
●
r
r
r
r
r
O
36° 54°
72°
M
APOTEMA
𝐀𝐁 = 𝐁𝐂 = 𝐂𝐃 = 𝐃𝐄 = 𝐄𝐀
ÁNGULO CENTRAL = = 72°360°
5

AOB = = = =

EDA

BOC

COD

DOE
y son triángulos isósceles.
La APOTEMA: coincide con
la altura de los triángulos.
Entonces divide al lado en
partes congruentes y es
bisectriz del ángulo central.
54°
●
●
●
●
●
• PENTÁGONO REGULAR

• HEXÁGONO REGULAR
A B
C
DE
F
60°
60°60°
30°
30°
r
M
APOTEMA
rr
r
r r
ÁNGULO CENTRAL = = 60°360°
6

 EOFDOECODBOCAOBFOA
O●
y son triángulos equiláteros.
La APOTEMA: coincide con
la altura de los triángulos.
Entonces divide al lado en
partes congruentes y es
bisectriz del ángulo central.
𝐀𝐁 = 𝐁𝐂 = 𝐂𝐃 = 𝐃𝐄 = 𝐄𝐅 = 𝐅𝐀
El HEXÁGONO es el único
polígono en el que el LADO
es IGUAL al RADIO.

• FIGURAS CIRCULARES
b
● c
a
●
●
B
C
●
●
● A
CIRCUNFERENCIA C (O, r):
conjunto de los puntos del plano
que equidistan (están a igual
distancia) de O. La
CIRCUNFERENCIA es una curva.
O
r
ELEMENTOS
RADIO: distancia del
centro O a cualquier punto
de la circunferencia.
A: punto interior de la
circunferencia.
B: punto perteneciente a la
circunferencia.
C: punto exterior.
a: recta exterior.
b: recta tangente. Es al r y
corta en 1 punto a la circunf

c: recta secante. Corta en 2
puntos.
𝐂𝐎 > r
𝐀𝐎 < r
𝐁𝐎 = r
●
E F
D

: es el arco
abarcado por
• CIRCUNFERENCIA
A B
P
M Nr
O
𝐀𝐁: CUERDA. Segmento
que une dos puntos de la
circunferencia.
𝐌𝐍: DIÁMETRO. Es la
mayor de las cuerdas y es
el doble del radio.
: parte de la
circunferencia comprendida
entre 2 puntos de la misma.

APBARCO
ARCO

APB
𝛂
𝛂.
𝛂: ÁNGULO CENTRAL.
Tiene su vértice en el centro
de la circunferencia.
𝐌𝐍 = d
𝐌𝐍 = 2. r
LONGITUD DE LA
CIRCUNFERENCIA =  d
LONGITUD DEL ARCO =
.d. 𝛂
360°
●
●●
●●

• TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA
●
S
O
𝐎𝐒 𝐒𝐓t
r

●T
𝐎𝐒: Es una distancia, por lo
tanto es perpendicular al
radio.
●
P
O
●
Donde este arco corta a la
primera, marcar los 2
puntos y unir con P.
M
●
●
TANGENTE DESDE UN
PUNTO EXTERIOR:
●
●
Unir el centro de la
circunferencia O con el punto
exterior P.
Encontrar el punto medio M.
Con centro en M trazar un
arco de circunferencia con
radio 𝐎𝐌.

180°
90°
 SEMICIRCUNFERENCIA:
es el arco abarcado por
un ángulo llano.
 CUADRANTE:
es el arco abarcado por
un ángulo recto.
• FIGURAS CIRCULARES

 CÍRCULO:
es el conjunto de puntos
de la circunferencia y todos
sus puntos interiores.
C (O, r)
r
SUPERFICIE DEL CÍRCULO = 𝛑 . 𝐫 𝟐
PERÍMETRO DEL CÍRCULO = 𝛑 . d
O
●
• CÍRCULO

 SECTOR CIRCULAR:
es la parte del círculo
comprendida entre dos
radios.
Si son perpendiculares
por lo que el ángulo
comprendido es recto,
entonces el SECTOR
CIRCULAR es un
CUADRANTE.
r
r
𝛂
SUPERFICIE DEL SECTOR
CIRCULAR =
. 𝒓 𝟐
. 𝛂
360°
PERÍMETRO DEL SECTOR
CIRCULAR =
. d. 𝛂
360°
+ 2. r
O
• SECTOR CIRCULAR

 CORONA CIRCULAR:
parte del plano
comprendida entre dos
circunferencias
concéntricas (tienen el
mismo centro).
R
SUPERFICIE DE LA CORONA
CIRCULAR =  . 𝐑 𝟐 -  . 𝐫 𝟐
PERÍMETRO DE LA CORONA
CIRCULAR =  . D +  . d
r
O
●
• CORONA CIRCULAR
D = 2. R
d = 2. r

 TRAPECIO CIRCULAR:
parte de la CORONA
CIRCULAR comprendida
entre dos radios.
SUPERFICIE DEL TRAPECIO
CIRCULAR =
PERÍMETRO DEL TRAPECIO CIRCULAR =
r
R
(. 𝑹 𝟐
-  . 𝒓 𝟐
) . 𝛂
360°
. D. 𝛂
360°
𝛂
. d. 𝛂
360°
+ + 2. (R – r)
O
• TRAPECIO CIRCULAR
D = 2. R
d = 2. r

A
P
B
 ÁNGULO INSCRIPTO:
un ángulo está inscripto
en un arco de
circunferencia si su
VÉRTICE es un punto
cualquiera de la
circunferencia y sus
LADOS pasan por los
extremos del mismo.
 Ej:
𝛂 está inscripto en el
arco .

AB
 ÁNGULO CENTRAL:
tiene centro en O y sus
lados pasan por los
extremos del arco.
●

●
• ÁNGULOS INSCRIPTOS EN UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
O
●
●

• ÁNGULOS INSCRIPTOS

A
P
B

O
90°
●O
180°
● ●
●
Un ÁNGULO INSCRIPTO
en un arco es igual a la
mitad del ángulo central
correspondiente.
PROPIEDADES
𝛂 =
𝛃
𝟐
Todo ÁNGULO
INSCRIPTO en una
SEMICIRCUNFERENCIA
es RECTO, porque el
ángulo central
correspondiente mide 180°.
Un ARCO CAPAZ es el
lugar geométrico de los
puntos que unidos con los
extremos de un segmento
(CUERDA) forman
siempre un mismo ángulo.
●
●
●
●

β
α
A
B
C
Un ÁNGULO es SEMI
INSCRIPTO cuando tiene su
vértice en un punto de la
circunferencia, uno de sus
lados es tangente a ella y el
otro lado la corta en otro
punto.
Ej:
𝛃 está semi inscripto en el
arco .
P●

CPA
Un ÁNGULO SEMI
INSCRIPTO en un arco es
igual a la mitad del ángulo
central correspondiente.
Un ÁNGULO INSCRIPTO y
un SEMI INSCRIPTO en un
mismo arco de circunferencia
SON IGUALES.
• ÁNGULO SEMI INSCRIPTO
●
●
𝛂 =
𝛃
𝟐
α

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