1. GUÍA DE APRENDIZAJE No.2
ÁREA DE MATEMÁTICAS - GRADO OCTAVO
Colegio
Nombre del Estudiante: Curso DD MM AA
2011
Período:
Asignatura: MATEMÁTICAS Administrador (es) De Programa:
PRIMERO
 MARITZA MÉNDEZ REINA
Tema: NÚMEROS IRRACIONALES
NÚMEROS IRRACIONALES Y LOS PITAGÓRICOS
IRRATIONAL NUMBERS AND PYTHAGOREANS
TIEMPO - TIME: 2 Unidades.
RECURSOS - RESOURCES: Guía de aprendizaje, calculadora, hoja milimetrada, regla, compás y pliegos de papel
periódico.
APRENDIZAJES ESPERADOS - EXPECTED LEARNING:
 Asociar representaciones gráficas y numéricas a cantidades inconmensurables e identificarlas como
pertenecientes al conjunto de los números irracionales.
 Vincular históricamente y actualmente la necesidad del trabajo con conjuntos diferentes al de los números
naturales, enteros y racionales.
 Utilizar el método empleado por los pitagóricos para representar números irracionales en la recta numérica.
1. INDUCCIÓN - INDUCTION
En el trabajo de hoy aprenderás algo sobre la historia acerca de cómo se resolvieron problemas utilizando cantidades
que no pueden ser medidas exactamente con otra unidad y utilizarás diversas estrategias que te permitirán identificar
las mismas manejando diversas representaciones gráficas y numéricas.
1.1 AMBIENTACIÓN - CLASS SETTING
ALGO DE HISTORIA…
La Escuela Pitagórica descubrió la existencia de números que no eran naturales (1,2,3,...), ni enteros
(...-3,-2,-1,0,1,2,3,...) ni racionales ( ), Los pitagóricos los llamaron números
inconmensurables.
Aparentemente Hipaso, un estudiante de Pitágoras, descubrió éstos números intentando escribir la
raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría). Pero en su lugar demostró que no se
puede escribir como fracción, así que no es un número racional.
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran tales números, porque creía que todos los números tienen valores
perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales" de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la
borda y se ahogó!
1.2 CONOCIMIENTOS PREVIOS - PREVIOUS KNOWLEDGE
1.2.1 Si se tiene las medidas del área o una de las medidas de los lados de determinados cuadrados , completa
el siguiente cuadro:
MEDIDA DE LOS LADOS ÁREA MEDIDA DE LOS LADOS ÁREA
2
15 cm 40 cm
6 cm 7,5 cm
2 2
81 cm 70 cm
Responde en tu cuaderno:
a. Si me dan la longitud de los lados de cualquier cuadrado ¿cómo hallo su área?
b. Si me dan el área de cualquier cuadrado ¿cómo hallo la longitud de cualquiera de sus lados?
1.2.2 Dentro de un cuadrado de lado 2 cm hay que insertar otro, de manera tal que los vértices del cuadrado
más pequeño coincidan con los puntos medios de los lados del cuadrado que lo contiene.
a. Dibuja la situación en tu cuaderno.
b. ¿Cuánto mide el lado del cuadrado interior? ________ ¿Cómo lo hiciste? __________________________
_________________________________________________________________________________
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2. 1.3 INFORMACIÓN - INFORMATION
Uno de los teoremas milenarios más importantes que crearon los pitagóricos es sin duda alguna el teorema de Pitágoras. Gracias a
éste, se ha resuelto infinidad de problemas prácticos que han contribuido en el mejoramiento del nivel de vida de la humanidad.
Para entrar en materia, es necesario recordar un par de ideas:
 Un triángulo rectángulo es un triángulo que tiene un ángulo recto, es decir de 90º.
 En un triángulo rectángulo, el lado más grande recibe el nombre de hipotenusa y los
otros dos lados se llaman catetos.
Ahora, enunciemos el Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de
la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Recuerda: Este Teorema sólo se
cumple para triángulos rectángulos.
La expresión matemática que representa este Teorema es:
2 2 2
Hipotenusa = cateto + cateto
2 2 2
c = a + b
Para comprobar este Teorema se debe construir un cuadrado sobre cada cateto y sobre la hipotenusa y
luego calcular sus áreas respectivas, puesto que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa de
un triángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.
c
Un ejemplo para aplicar a este teorema es: se tiene un triangulo rectángulo cuyas medidas de los catetos
son 3cm y 4cm respectivamente, si se construye un cuadrado sobre los dos catetos se tendría:
2
a: mide 3 cm , el área del cuadrado construido sobre a = 9 cm
2
b: mide 4 cm , el área del cuadrado construido sobre b = 16 cm
Por teorema de Pitágoras se tiene que el área del cuadrado construido sobre c es igual a:
2
el área del cuadrado construido sobre a es 9 cm + 2 2 2
2 c = a + b
el área del cuadrado construido sobre b = 16 cm 2 2 2
c = 9cm + 16 cm
EL ÁREA DEL CUADRADO CONSTRUIDO SOBRE C ES 2
c = 25 cm
2
2
IGUAL A 25 cm
Con ésta información si utilizas la estrategia que empleaste en el numeral 1.2.1. Responde: ¿Cuánto mide la longitud
del lado C?________, ¿Por qué? ________________________________________________________________
1.3.1 Dibuja una representación los triángulos con las medidas indicadas y halla la longitud de las hipotenusas
de los siguientes triángulos:
Área del Área del Área del
Longitud del Longitud cuadrado cuadrado cuadrado Longitud del
Dibujo
lado a del lado b construido construido construido lado c
sobre a sobre b sobre c
5 cm 12 cm
8 cm 15 cm
2 2
36 cm 48 cm
1 cm
1 cm
1 cm 2 cm
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3. Retomando la situación que te propusimos en el numeral 1.2.2 y con ayuda de la información anterior lee
el siguiente caso y responde en tu cuaderno:
1.3.2 Andrea y Valentina no tenían calculadora y, después de pensar un rato, llegaron a la conclusión
de que la medida del lado del cuadrado interior era un número entre 1,41 y 1,42. Juan obtuvo
en su calculadora 1,414213 y Rocío 1,414213562. ¿Cómo te parece que razonaron Belén y
Valentina para obtener esa aproximación?
1.3.3 Al día siguiente, los chicos seguían discutiendo cuánto medía el lado exactamente. Aunque
habían utilizado una calculadora que daba más cifras decimales que las que habían obtenido
Juan y Rocío, no encontraban en ellas un período. Luego de un rato, Andrea dijo: “No vale la
pena que sigamos discutiendo: Ningún número racional al cuadrado dará 2 justo. Fíjense por
ejemplo en el resultado de Andrés: basta con mirar las cifras decimales, no podrá jamás dar
ceros al hacer la multiplicación. Todas las calculadoras están aproximando el resultado”.
¿Puedes explicar lo que dijo Andrea?
Los números irracionales son números que tienen infinitas cifras decimales y no aparece en ellas ningún
período. Surgen al resolver raíces (de cualquier índice) de algunos números racionales. No es correcto
expresarlos con una cierta cantidad de decimales, puesto que el número exacto tiene infinitos decimales.
La exactitud que requiere la Matemática, hace que estos números se deban indicar con el símbolo radical.
También son irracionales algunos números especiales surgidos del análisis matemático como el número “π”
que se aplica al cálculo de longitud de circunferencias, superficies de círculos; y superficies y volúmenes de
sólidos de revolución.
1.3.4 Observa y completa la siguiente tabla: Utiliza tu calculadora para hallar la representación
decimal y clasifica los siguientes números son Racionales o Irracionales, colocando una X en la
casilla según corresponda:
Número Representación decimal Q I Número Representación decimal Q I
480468/99000 √3
237/100 Π
√5 122/99
1.4 META DE APRENDIZAJE - LEARNING GOAL:
Escribe tu meta de aprendizaje para estas dos unidades: ________________________________________
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
2. APRENDIZAJE INDIVIDUAL - INDIVIDUAL LEARNING
2.1 En tu cuaderno soluciona las situaciones planteadas en el numeral 6 de la pág. 16 de tu libro.
2.2 Observa los siguientes triángulos rectángulos y escribe las medidas posibles para los catetos:
b=
a= c= √5 a= c= √15 a=
c= √10
b= b=
2.3 Observa en la imagen, el procedimiento seguido para ubicar √2
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4. Ahora, en la hoja de papel milimetrado, ubica en la recta numérica según las indicaciones de tu
profesor √3, √5, utilizando el compás para transportar medidas.
2.4 Con ayuda de la calculadora realiza el numeral 1 de la página 16 de tu libro.
3. APRENDIZAJE DE GRUPO - GROUP LEARNING
3.1 Podrían ubicar en la recta numérica, utilizando un procedimiento similar, los números
- √5, 2 √2 y 1 + √2?
Plasmen sus procedimientos en los pliegos de papel y preparen una exposición para todo el grupo.
4. APRENDIZAJE EN CASA – HOME LEARNING
4.1 Realiza los numerales 3 y 5 de la página 16 del Libro Delta 8º.
4.2 Revisa el siguiente artículo y redacta en un párrafo de mínimo 5 líneas de dónde salen los números
irracionales trascendentes en la cotidianeidad:
http://www.sabercurioso.com/2009/02/13/numeros-trascendentes/
5. EVALUACIÓN - MAKE UP ACTIVITIES AND EVALUATION
5.1 Completa la siguiente tabla retomando los aprendizajes esperados, escribe si cumpliste o no con
ellos justificando el porqué de tu elección. Si es necesario redacta las acciones de mejora que crees
pertinentes a emprender:
¿CUMPLISTE
APRENDIZAJES ESPERADOS CON ELLOS? JUSTIFICACIÓN
Si No
 Asocias representaciones
gráficas y numéricas a
cantidades inconmensurables y
las identificas como
pertenecientes al conjunto de
los números irracionales.
 Utilizas el método empleado
por los pitagóricos para
representar números
irracionales en la recta
numérica.
 Vinculas históricamente y
actualmente la necesidad del
trabajo con conjuntos
diferentes al de los números
naturales, enteros y racionales.
Acciones de mejora: ______________________________________________________________________
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BIBLIOGRAFÍA – BIBLIOGRAPHY
Números Trascendentes. (s.f.). Recuperado el 10 de febrero de 2011, de
http://www.sabercurioso.com/2009/02/13/numeros-trascendentes/
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