Demostración de una propiedad fundamental de los radicales

1. Radicales. Matemáticas Académicas
 Marta Martín Sierra 1
DEFINICIÓN DE RAÍZ ENÉSIMA
Llamaremos raíz enésima de "a" y lo representaremos así n a a otro número real "x" tal
que cumpla la condición de que elevado a "n" sea igual a "a":
n a = x / xn
= a
Al número "n" se le llama índice de la raíz.
Al símbolo " " se le llama radicando.
Al conjunto n a se le llama "raíz enésima de a".
Ejemplo:
3
8 = x
Habrá que buscar un número que elevado al cubo obtengamos 8:
x3
= 8
x3
= 23
x = 2
NÚMEROS RADICALES
Los números radicales son números irracionales dados por raíces de números racionales.
Ejemplo: 5 , 7 , 215. , etc. son números radicales:
¿ 4 es un número radical?
No, pues 4 = 2
PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE LOS RADICALES
Si a * y n, m  N, demuestra que n a =
mn m
a

DEMOSTRACIÓN:
x = n a
Aplicando la definición de raíz enésima
xn
= a
Elevamos ambos miembros a "m"
(xn
)m
= am
Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia
xn·m
= am
Aplicando la definición de raíz enésima
x =
mn m
a

Sustituimos
n a =
mn m
a

c.s.q.d.
Ejemplos:
3 2
5 =
53 52
5
 
=
15 10
5
5 =
32 3
5

=
6 3
5
Aplicando esta propiedad podremos SIMPLIFICAR expresiones radicales cuando el índice y
los exponentes de las potencias que se encuentren dentro del radicando sean divisibles por un
mismo número:
12 3
5 =
Tanto el índice (12) como el exponente (3) son divisibles por 3:
=
3
12
3
3
5 =
=
4 1
5 =
4
5