Propiedades de la potenciación

1. POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
Para mayor comprensión de esta temática, es necesario recordar lo siguiente:
La potenciación es un producto abreviado, de factores iguales, que se define, así:
Dados a, b y n ∈ z , se define la potenciación como: 𝐚𝐧
= 𝐚 × 𝐚 × 𝐚 × … × 𝐚 = 𝐛
𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
Donde
- 𝒂 es la base: Factor que se multiplica por sí mismo.
- 𝒏 es el exponente: indica el número de veces que se multiplica la base.
- 𝐛 es la potencia: resultado de multiplicar la base tantas veces como lo indica el exponente.
Exponente
𝟑 × 𝟑 × 𝟑 × 𝟑 = 𝟑𝟒
= 𝟖𝟏
Base Potencia
POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
La potencia de un número entero es otro número entero, si está elevado a un exponente positivo.
Ejemplos. 𝟔𝟑
=6 x 6 x 6 = 216 (−𝟑)𝟒
= (-3) (-3) (-3) (-3) = 81
En la potenciación de números enteros se aplica las siguiente leyes y propiedades:
- Ley de los signos.
- Ley de los exponentes.
- Propiedades de la potenciación
LEY DE LOS SIGNOS
Esta imagen explica claramente la ley de los
signos que dice:
Al multiplicar o dividir números enteros con signos
iguales o con el mismo signo dan más o sea el
resultado es positivo y con signos contrarios dan
menos o sea el resultado es negativo.

2. LEY DE LOS EXPONENTES.
Si la potencia tiene exponente par el resultado es positivo, sin importar el signo de la base, ya sea
positiva o negativa.
Ejemplos. 24
= 2 x 2 x 2 x 2 = 16 (- 9) 2
= (- 9) x (-9) = 81
2.
Se presentan dos casos así:
1) Si la potencia tiene exponente impar y la base positiva el resultado es positivo.
Ejemplo: 5 3
= 5 x 5 x 5 = 125
2) Si la potencia tiene exponente impar y la base es negativa el resultado es negativo.
Ejemplo: (- 4) 3
= (- 4) X (- 4) X (- 4) = - 64
PROPIEDADES DE LA POTENCIACIACION
En la potenciación de números enteros se aplican ciertas propiedades, que facilitan encontrar con
mayor facilidad los resultados, así:
1. 00
No existe.
2. EL CERO COMO BASE
0n
= 0, si n ≠ 0 El cero a cualquier potencia diferente de 0 da 0. Ej. 09
= 0
3. POTENCIA DE CERO.
n0
= 1, si n ≠ 0
Todo número diferente de elevado a la 0 da 1 por definición.
Ej. 70
= 1; (- 8)0
= 1
4. EL UNO COMO BASE
1n
= 1, ∀ n El 1 a cualquier potencia da 1. Ej. 113
= 1
5. POTENCIA DE UNO.
n1 =
n, ∀n
Todo número elevado a la 1 y da el mismo número
Ej. 181
= 18 (- 6)1
= - 6
6. POTENCIA DE UNO.
n =
n1
, ∀n
Todo número se puede expresar como potencia con
exponente
Ej. 34 = 341
-15 = (- 15)1
7. PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
an
x am
= an + m
El producto de potencias de igual base es otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.
Ej. (- 4 )2
x (- 4) = (- 4) 2 + 1 =
(- 4) 3 =
(- 4) x (- 4) x (- 4) = (- 64)

3. 8. COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.
an
÷ am
= an - m
El cociente de potencias de la misma base es otra potencia con la
misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.
Ej.78 ÷
76
= 78 – 6
= 72
= 49
9. POTENCIA DE UNA POTENCIA.
(𝐚𝐧)m
= an x m
La potencia de una potencia es otra potencia con la misma base y
cuyo exponente es el producto de los exponentes.
Ej. (𝟐𝟐
)3
= 𝟐𝟐𝐱𝟑
= 𝟐𝟔
=2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64
10.POTENCIA DE UN PRODUCTO.
(a x b x c)2
= an
x bn
x cn
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
Ej. (-2 x 3 x 1)2
= (-2)2
x (3) x (1)2
= 4 x 9 x 1 = 36
11.POTENCIA DE UN COCIENTE.
(
𝐚
𝐛
)
𝐧
=
𝐚𝐧
𝐛𝐧
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
𝐄𝐣. (
𝟗
𝟑
)
𝟐
=
𝟗𝟐
𝟑𝟐 =
𝟖𝟏
𝟗
= 𝟗

4. GUIA 7: POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
Analice cada afirmación, señale únicamente la respuesta correcta y la más completa (solo una).
Complete los espacios, los cuadros vacíos y las tablas, siguiendo la instrucción indicada.
I . Escribe en forma abreviada y halla la potencia. VI. Responda únicamente F o V a las afirmaciones
a. (-6) (-6) (-6) = __________ = _____ a. 45
b. (- 6)3
c. 23
d. 34
e. 00
f. 04 x 03
g. (-3)2
h. 62
i. (- 3)2
j. (- 2 )2
k. (- 1)n
l. 07
=
=
=
=
=
=
=
>
>
=
=
=
54
(- 6) x 3
2 x 2 x 2
3 + 3 + 3 + 3
no existe
07
- 3 2
(- 6)2
(- 2)2
- 8
- 1
- 0
---------
b. 1 x 1 x 1 x 1 = __________ = _____ ---------
---------
II. Escribe como producto de factores iguales
y su respectiva potencia.
---------
---------
a. (−𝟏𝟏)𝟑 = ________________ = _____ ---------
b. (−𝟏𝟎)𝟒 = ________________ = _____ ---------
---------
III.Aplica las propiedades y escribe la potencia: ---------
a. 0 = No existe d. 1 = n ---------
b.
n = 1
f.
7 = 0 ---------
---------
c. 𝟏𝟕𝟎 = g. 𝒂𝒏 = m. 45
x 43
x 4 = 45 +3+1 ---------
n. (- 4)2 es lo mismo que 42 ---------
IV.Escribe en forma de potencia cada
enunciado y calcula la potencia
VII. Encuentra la Potencia y completa la tabla con
los elementos siguiendo el ejemplo ya resuelto.
a. El cuadrado de - 3 = = Potenciación Base Exponente Potencia
b. La quinta potencia de – 10 = = (- 6)3
= - 216 - 6 3 - 216
34
= -------
V. Realiza las siguientes operaciones: (- 8)2
= -------
a. 72
x 70
x 7 = 7 = 7
=
___
VIII. Analiza, aplica las propiedades, cancela y
encuentra el resultado final.
b. 83
÷ 83
= 8 = 8
=
___
(- 4 x 5 x 6 )4
x 78
64
x 76
x 54
x (- 4)4 =
7
7 = 7 = 7
c. (- 23
)2
= (-2) = (-2)
=
___ Respuesta a. 625 b. 36 c. 49