documento

1. Leyes de Exponentes
Demetrio Ccesa Rayme

2. 1.1 Definición
Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números
iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama
“base”, la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama
“exponente” y el resultado se denomina “potencia”.
1. Potencia
an = a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ …
a ∙ ∙ a
n veces
Ejemplo:
73 = 7 ∙ 7 ∙ 7 =
(-6)2 = (-6) ∙ (-6)= 36
343

3. -32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y
(-3)2 = (-3)·(-3) = 9
=
2
3
3
23
3
ya que:
y =
23
3
= 2∙2∙2
3
8
3
2
3
3
= = 8
27
2
3
2
3
2
3
∙ ∙

4. 1.2 Propiedades
• Multiplicación de Potencias:
Producto de bases iguales
Se conserva la base y se suman los exponentes.
an+m
an ∙ am =
Ejemplo:
5x+3x
5x ∙ 53x = = 54x

5. De igual exponente:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)n
an ∙ bn =
Ejemplo:
85 ∙ 42 ∙ 22 = 85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙82 = 87

6. • División de Potencias:
Cociente de bases iguales:
Se conserva la base y se restan los exponentes.
an-m
an : am =
Ejemplo:
923
96
= = 917
923-6

7. De igual exponente:
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
(a : b)n
an : bn =
Ejemplo:
75 :
42
282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73

8. • Potencia de Potencia:
Se multiplican los exponentes.
(an )m = am ∙ n
Ejemplo:
(210 )4 = 210 ∙ 4
= 240

9. • Potencia de Exponente Negativo:
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.
Potencia de exponente negativo
y base entera:
1
a-n =
a
n
(Con a, distinto de cero)
Ejemplo:
5-2 ∙ 15
3
2
= ∙ (5)2
5
2
1 =
25
1
∙ 25 = 1

10. 33 =
43
Potencia de exponente negativo
y base fraccionaria:
a
b
-n
=
b
a
n
(Con a distinto de cero
y b distinto de cero)
Ejemplo:
3
4
-3
=
3
4
3 =
64
27

11. • Potencias de exponente cero:
a0 = 1
(para todo a, distinto de cero)
00 : indeterminado
Ejemplo:
x
3
- 4y
7 – (15-8)
=
x
3
- 4y
0
= 1

12. 1.3 Potencias de base 10
• Con exponente cero y positivo:
101 = 10
102 = 100
103 = 1000…
Ejemplo:
54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000
= 54 ∙ 106
100 = 1

13. 4 ∙ 10 -5
• Con exponente negativo:
Ejemplo:
10
=
1 0,1
100
=
1 0,01
10-3
= 1
1.000
= 0,001…
10-1
=
10-2
=
0,00004 = 4
100.000
=

14. 1.4 Signos de una potencia
• Potencias con exponente par:
Las potencias con exponente par, son siempre positivas.
Ejemplo:
(-11) ∙ (-11) = 121
2) -3
5
4
= 81
625
5
(-3)
4
4
=
1) (-11)2
= (-11) ∙ (-11) =

15. • Potencias con exponente impar:
En las potencias con exponente impar, la potencia
conserva el signo de la base.
Ejemplo:
1) (-12)3
= (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) = -1.728
2) -2
3
-5
=
3
-2
5
=
(3)
5
(-2)
=
5
243
-32
= 243
32
-
No existe una regla para sumar o restar
potencias.

16. 3
16
1 3
4
-2
=
2)
x
xb
a
= a
b
64
5
Toda radical corresponde a una potencia con exponente
fraccionario.
2.Radicales
Ejemplos:
2.1 Definición
=
3
4
2
=
4
2
3
85
2
=
1) 8
5
=
2
(Con b, distinto de cero)
b: índice
x : cantidad subradical
a

17. 9∙3 =
3
2.2 Propiedades
• Multiplicación de radicales de igual índice:
Al multiplicar radicales de igual índice, se multiplican las
partes radicandos conservando el índice que tienen en
común.
n
∙ b
n
= a∙b
a
n
Ejemplo:
9
3
3
3
=
∙ 3
=
3
27

18. 512:2
4
=
• División de radicales de igual índice:
Al dividir radicales de igual índice, se dividen las
partes radicandos conservando el índice que tienen
en común.
Ejemplo:
a:b
n
a
n
b
n
=
:
4
512
4
: 2 = 256 =4
4

19. 4
162
• Composición y Descomposición de radicales:
Composición:
Se utiliza para ingresar un factor a una raíz.
a b = a ∙ b
n
n
n
Ejemplo:
2
3 =
4
3 ∙ 2
4 =
4 4
81∙2
=

20. Descomposición:
Se utiliza cuando un factor de la cantidad radicando tiene
raíz exacta.
Ejemplo:
162 = 81 2
∙ = 2
9
81 2
∙ =

21. • Raíz de Raíz:
a =
m
a
n m∙n
2 =
5 4
2
5∙4
= 2
20
Ejemplo:

22. 2.3 Racionalización
Cuando tenemos fracciones con raíces en el denominador
conviene obtener fracciones equivalentes pero que no
tengan raíces en el denominador. A este proceso se le
llama racionalización.
Ejemplos:
1) Racionalizar
4
3
=
∙ 3
3
3
4 = ?
( )2
4 3
3
= 4
3
3

23. =
3 - 2
3
4
+ 2
∙ 3 - 2
2) Racionalizar
=
5 5
3
4
3
∙
3
3
3
2
5
3
3
4 =
5
3
5 5
4
3
27
5
4
5 2
3
= ?
3) Racionalizar
3
4 = ?
+ 2
4( - 2
3 )
3 - 2
= 4( - 2
3 )
1

24. Potencias
Leyes de Exponentes
Propiedades
Raíces
Definición:
b a
b
a
x
x 
Definición:



veces
n
n
a
a
a
a ···
·

n
n
n
b
a
b
a )
·
(
· 
m
n
m
n
a
a
a 

·
m
n
m
n
a
a
a 

:
n
n
n
b
a
b
a )
:
(
: 
  mn
m
n
a
a 
0
,
1
1










a
a
a
a n
n
n
0
,
, 














b
a
a
b
b
a
n
n
0
,
1
0

 a
a
Signos en las
potencias
  Z
n
a
a
n
n



 ,
2
2
  Z
n
a
a
n
n






,
1
2
1
2
0
,
,
0
2


 a
Z
n
a n
0
,
,
,
1
2



a
base
la
de
signo
el
conserva
Z
n
a n
Propiedades
n
n
n
b
a
b
a ·
· 
0
,
:
: 
 b
b
a
b
a n
n
n
n n
n
b
a
b
a ·
· 
mn
m n
a
a 
Racionalización
Denominador monomio
n x
n
n x
n
n x
a
a
a 

·
1
Denominador binomio
con uno o dos términos con
raíces cuadradas
b
a
b
a
b
a 

·
1

Potencias de
base 10



ceros
n
n
Z
n
Si 0
...
00
1
10
, 
 



cifras
n
n
Z
n
Si 01
...
00
,
0
10
, 
 