Paradoja de Zenon: Explicación

1. LAS PARADOJAS DE
MOVIMIENTO DE ZENÓN
JUANJO PANTORRILLA JIMÉNEZ
SAIRA SÁNCHEZ

2. INTRODUCCIÓN:
• Las paradojas de Zenón so un conjunto de
problemas filosóficos planteados (se cree) por el
filósofo de la Antigua Grecia Zenón de Elea (490-
430ª a.c)
• En ellas se afirma que la creencia en el pluralismo y
el cambio es errónea, y lo más importante:
• Se afirma que el movimiento no es más que una
ilusión de los sentidos.

3. INTRODUCCIÓN:
• El principal argumento de Zenón gira entorno a la pregunta de si el mundo
puede ser dividido en unidades discretas o si por el contrario es una unidad
continua.
• Si es divisible conduce al problema de que o todo es divisible infinitamente o
deben existir unos cuantos elementales de espacio y tiempo.

4. AQUILES Y LA TORTUGA
• Se enuncia de la siguiente forma:
• En una carrera, el corredor más rápido nunca puede superar al más lento, ya que
el perseguidor debe primero llegar al punto donde comenzó el perseguido, de
modo que el más lento siempre debe tener una ventaja.
Como se puede deducir en la imagen:
cada vez que Aquiles se encuentra en movimiento para alcanzar la ultima
posición de la tortuga, la tortuga ha avanzado la distancia correspondiente
Entonces… ¿Alcanzará alguna vez Aquiles a la tortuga?

5. LA CARRERA DESDE UN PUNTO DE VISTA MATEMÁTICO
• Para simplificar, Aquiles será 10 veces más rápido que la tortuga.
• La tortuga tendrá una ventaja de 10 metros.
• Empieza la carrera…
• Aquiles pasa los 10 metros pero la tortuga ha avanzado 1/10 parte : 1 metro. 
• Cuando Aquiles recorre ese metro… La tortuga ha avanzado 10cm!!
• Cuando Aquiles recorre esos 10 cm… La tortuga ha avanzado 1cm!! 
• ¿Cuando acaba esta carrera?

6. LA CARRERA DESDE UN PUNTO DE VISTA
MATEMÁTICO
• La resolución de la paradoja viene dada por el concepto del calculo infinitesimal y el concepto de serie
convergente.
• Ahora la paradoja reside en la idea de que la suma de infinitos términos pueda tener un resultado finito
• Y de hecho es así es, el problema es resuelto con una simple serie geométrica:
• Así pues después de que el matemático James Gregory (1638-1675) demostrase que la suma de infinitos
término puede tener un resultado finito la paradoja de Zenón estaba en condiciones de ser resuelta.

7. PARADOJA DE LA DICOTOMÍA
• “Lo que se está moviendo debe llegar a la etapa
intermedia antes de llegar a la meta” - Aristóteles
• Supóngase que Homero desea caminar hasta el
final de un camino. Antes de que pueda llegar allí,
debe recorrer la mitad del camino. Y antes de que
pueda llegar a la mitad del camino, debe caminar
una cuarta parte del mismo. Y antes de recorrer una
cuarta parte, debe completar una octava parte; y
antes de la octava parte, una dieciseisava; y así
indefinidamente.

8. • La secuencia resultante se puede representar como:
• Esta descripción requiere que se complete un número infinito de tareas, lo que Zenón sostiene
que es imposible.
• Segundo problema: la secuencia imposibilita la existencia de una primera distancia por recorrer
Dado que cualquier primera distancia posible podría dividirse por la mitad y, por lo tanto, no sería
la primera después de todo. Por lo tanto, el viaje ni siquiera puede comenzar.
• Conclusión paradójica: el viaje a través de cualquier distancia finita no se puede completar ni
comenzar, por lo que todo movimiento debe ser una ilusión.

9. POR QUÉ ‘DICOTOMIA’ ?
• El argumento de Zenón se denomina dicotomía, porque implica dividir
repetidamente una distancia en dos partes. Contiene algunos de los mismos
elementos que la paradoja de "Aquiles y la tortuga", pero con una conclusión más
evidente de inmovilidad.
• También se conoce como la paradoja del
"Estadio". Algunos, como Aristóteles, consideran
que el caso de la dicotomía es simplemente una
versión más de "Aquiles y la Tortuga"

10. PUNTO DE VISTA MATEMÁTICO
• Zenón está a ocho metros de un árbol.
Llegado un momento, lanza una piedra,
tratando de dar al árbol.
La piedra, para llegar al objetivo, tiene que
recorrer antes la primera mitad de la
distancia que lo separa de él (tiempo finito
en hacerlo).
Después los cuatro metros... De este
modo, la piedra nunca llegará al árbol.

11. • Para plantear una serie que modele la paradoja de la piedra se hace una serie que
sume la mitad, luego la mitad de la mitad, luego la mitad de la mitad de la mitad
y así, hasta el infinito:
La serie que se plantea es una serie geométrica con solución 1.

12. CONCLUSION
• Entonces se tiene que la suma de la mitad de «algo» más la mitad de la mitad de
«algo» y así sucesivamente da 1, «algo» completo.
• Esto también es aplicable a la paradoja, la mitad de la distancia, más la mitad de
la mitad de la distancia y así sucesivamente da como resultado la distancia entera.
• Por lo tanto se concluye que, recorriendo infinitas mitades es posible recorrer
toda la distancia.