Este documento resume los conceptos fundamentales de la factorización y la división de polinomios. Explica cómo factorizar expresiones algebraicas utilizando el factor común, la agrupación de términos, y la factorización de términos cuadrados perfectos y trinomios. También cubre la factorización de diferencias y sumas de cuadrados y cubos, así como el cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Por último, introduce las fracciones algebraicas y la regla de Ruffini para la división sinté

1. UNIDAD III:
FACTORIZACIÓN, CASOS FACT.
Este documento fue elaborado por Ricardo Rosado en enero del 2011, tomando como referencias las siguientes fuentes:
Báez de Erazo, Melba y Taveras de Frías, Reyita. (2006). Matemática Básica I. República Dominica: Ediciones dominicana.
Peña Geraldino, Rafael. (2011). Matemática Básica Superior. República Dominica: Editorial Antillana.

2. Factor común de
una expresión
algebraica
Para sacar el factor
común de una
expresión algebraica:
Ejemplo:
Sacar los factores de
diferentes términos de la
expresión.
Determinar el factor que se
repite en los diferentes
términos de la expresión para
sacarlo como factor común.

3. Factorización por
agrupación de
términos:
En la factorización por agrupación
de términos, debemos agrupar
aquellos términos que tienen
factores comunes y luego
procedemos a factorial los
mismos.

4. Factorización de un
término cuadrado
perfecto:
Para factorial un término
lo primero que debemos
hacer es determinar si es
un trinomio cuadrado
perfecto, para ello :
Verificar que el primero
y tercer término sean
positivos
Tengan raíces
cuadradas exactas
Que el segundo
término sea el
Doble de la
multiplicación de las
raíces
Ejemplo:

5. Factorización de un
trinomio de la forma
que no es un término
cuadrado perfecto.
Aquí nos vamos a encontrar
con varios casos:
1er caso: cuando el
coeficiente del primer término
es igual a 1
A) Se descompone en 2 binomios el
trinomio dado, en los que el primer
término en cada binomio es la raíz
cuadrada de: .
B) En el primer factor después de x se
escribe el signo del segundo término
del trinomio y en el segundo factor
después de x se escribe el signo que
resulta de la multiplicación de los
signos del segundo y tercer término del
trinomio.
C) Si los signos de los factores binarios en el
medio son iguales se buscan los números que
sumados sean igual al valor absoluto del
segundo término y multiplicados sea igual al
valor absoluto a el tercer término del trinomio.
Estos números serán la segunda parte de los dos
binomios.
D) Si los signos de los factores binomios en el
medio son distintos, se buscan dos números que
restados sean igual al valor absoluto del segundo
término y que multiplicado sean igual al valor
absoluto del tercer término del trinomio. El mayor
de esos números es el segundo término del
primer binomio y el menor el segundo término
del segundo binomio.
Ejemplo:

6. En estos casos se procede de
dos formas diferentes:
2do caso: cuando el coeficiente
del primer término es diferente
de 1; a ≠ 1
1) cuando tenemos una expresión como esta

7. Teniendo la misma expresión algebraica anterior
podemos proceder de la forma siguiente:

8. Factorización de una diferencia de cuadrados se extrae las raíces
de los cuadrados y el resultado sería igual a la suma por la
diferencia de las raíces.
Factorización de una
suma de cubos:
La suma de cubo de dos cantidades es
igual a dos factores; el primer factor
está formado por la suma de sus
raíces cubicas y el segundo será igual
al cuadrado de la primera raíz menos
el producto de las raíces más el
cuadrado de la segunda raíz.
La diferencia de dos cubos se
descompone en dos factores; el
primer factor es igual a la diferencia
de sus raíces cubicas y el segundo,
factor está formado por el cuadrado
de la primera cantidad más el
producto de raíces más el cuadrado
de la segunda cantidad.
Factorización de una
diferencia de cubos:

9. Máximo común
divisor
Números primos:
son aquellos números que
son divisibles únicamente
por ellos mismos y la
unidad, o sea, sus factores
son la unidad y ellos
mismo.
Ejemplo:
El # 2, 3, 5,7, 11 etc.El máximo común divisor de varias expresiones
algebraicas es la mayor expresión que es divisor
o factor de las expresiones algebraicas dadas.
Para hallar el M. C .D. se procede
de la forma siguiente:
1
• Descomponemos en factores primos
las expresiones dadas.
2
• El M. C. D. son todos los factores
comunes a las expresiones dadas
con su menor exponente.

10. Mínimo común
múltiplo
Para determinar el M. C. M. de varias
expresiones se procede de la forma siguiente:
El mínimo común múltiplo
de varias expresiones, es
la menor expresión
algebraica que es
divisible por cada una
de las expresiones
dadas.
1
• Se descompone en factores primos cada una de las expresiones.
2
• El M.C.M. será el producto de todos los factores comunes y los no comunes de
las expresiones dadas con su mayor exponente y sin repetir los que sean
comunes.

11. Fracciones
algebraicas
Una fracción algebraica es el
cociente indicado de dos expresiones
algebraicas, en la que el divisor
siempre será diferente de cero.
Es importante destacar que: podemos dividir
0 multiplicando, tanto el numerador como el
denominador de unas fracción, por una
cantidad diferente de ceso y la fracción que
resulte será equivalente a la fracción
original.

12. Regla de Ruffini o
división sintética
La regla de Ruffini o división sintética
es un procedimiento abreviado que se
utiliza para determinar el cociente y el
resto al dividir un polinomio f(x) entre
un binomio lineal (x-a)
Es importante destacar que cuando dividimos un
polinomio f(x) que llamamos dividendo, entre un
binomio lineal que denominamos divisor, el
resultado es un polinomio de grado menor que el
dividendo, al que llamamos cociente.
Para dividir un polinomio f(x) de tercer grado
entre un binomio lineal (x-a), se procede de la
forma siguiente:
F) Los coeficientes obtenidos B0, B1,
B2, se multiplican por la incógnita x a
partir de un exponente de grado una
unidad menor que f(x), hasta llegar a
un grado cero.
A) Se escriben horizontalmente los coeficientes
de f(x), incluyendo los coeficientes cero de las
potencias que no están, si el polinomio no es
completo.
B) Dejar un espacio y bajar una línea de suma
escribiendo a su izquierda o derecha el termino
independiente del binomio con su signo (a).
C) Bajar el primer coeficiente de f (x), o sea A
o, que es igual a Bo o primer coeficiente del
polinomio cociente.
D) Multiplicar B0 por a y sumarlo a
A1. Esta suma va da B1, segundo
coeficiente del polinomio cociente.
E) Repetir esta operación tantas veces
como sea necesario. El último
resultado obtenido es el resto de la
división, que es cero o una constante
numérica.

13. Regla de Ruffini o
división sintética
Ejemplo: