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1. Cátedra: : Probabilidad y Estadística I Prof.: Lcda Depool Xioglennys 1
Unidad
Cátedra: Probabilidad y Estadística I
Prof.: Lcda Depool Xioglennys
Vamos a usar los siguientes ejemplos para explicar las propiedades o axiomas
de la probabilidad así como las reglas de la probabilidad, explicando como
resolverlo partiendo de los temas estudiados anteriormente.
A veces la
probabilidad se
expresa en
porcentajes (%). Por
ejemplo «La
probabilidad de que
al lanzar una
moneda salga sello
es de 50%» significa
que dicha
probabilidad es
50
100
,
es decir ½.
Calcule la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas de forma
consecutiva. Calcule las siguientes probabilidades:
a. Que salgan dos caras
b. Que al menos salga un sello
c. Que no salga dos sellos
d. Que salgan al menos un lado en blanco
Solución
¿Cuál es la
probabilidad de
que al lanzar tres
monedas salgan
una cara y dos
sellos?. Justifica
tu respuesta.
Vamos a describir cada uno de los pasos para la solución de este ejemplo:
1. Define el diagrama de árbol (queda a tu elección si lo haces de forma
Horizontal o Vertical ) y de allí el espacio muestral
Diagrama de árbol Horizontal
Moneda
Espacio Muestral
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}

2. Espacio Muestral
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}
Moneda
Diagrama de árbol Vertical
No importa si se
utiliza el diagrama
de árbol horizontal o
vertical dentro de un
un mismo ejercicio,
dado que el espacio
muestral será el
mismo para ambos
diagramas.
2. Una vez definido el diagrama de árbol y el espacio muestral, se procede a
calcular las probabilidades que se presentan teniendo como formula base
la Regla de Laplace y las Propiedades o Axiomas de la Probabilidad . Para
ello vamos a ir calculando una a una de las probabilidades.
Recuerda que la
REGLA DE LAPLACE,
se basa en el
cociente de los
CASOS FAVORABLES
entre los CASOS
POSIBLES dentro del
espacio muestral.
Y dicho resultado
solo pueden oscilar
entre cero (0) y uno
(1)
a. Que salgan Dos caras
Utilizaremos el Espacio Muestral ya previamente establecido:
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}
1 2 3 4
Número de combinaciones posibles
1
4
𝑃 2𝐶 =
Casos Favorables, basados en la condición
del ejercicio (Que salgan Dos caras)
Casos Posibles, basados en el total de
combinaciones del espacio muestral
Nombre del Evento,
basado en la condición
que se desea calcular,
puede usar acrónimos o
palabras en
MAYÚSCULAS
2
Cátedra: : Probabilidad y Estadística I Prof.: Lcda Depool Xioglennys

3. 3
1
4
𝑃 2𝐶 =
Para concluir la
probabilidad de un
evento, se be hacer
partiendo de la
condición y el
resultado en
porcentaje (%)
𝑃 2𝐶 = 0,25
⇒
El resultado de esta división
debe cumplir con el
Axioma I: 0≤P(A)≤1
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que salgan Dos caras es del 25%
𝑃 2𝐶 = 0,25 ∗ 100% ⇒ 𝑃 2𝐶 = 25%
Utilizaremos el Espacio Muestral ya previamente establecido:
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}
1 2 3 4
Número de combinaciones posibles
b. Que al menos salga un sello
3
4
𝑃 1𝑆 = 𝑃 2𝐶 = 0,75
⇒
El resultado de esta división
debe cumplir con el
Axioma I: 0≤P(A)≤1
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que sacar al menos un sello es del 75%
𝑃 2𝐶 = 0,75 ∗ 100% ⇒ 𝑃 2𝐶 = 75%
¿Cuántos
resultados
posibles obtienes
al lanzar dos
dados?
Justifica tu
respuesta.
3
4
𝑃 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑆 =
Casos Favorables, basados en la
condición del ejercicio (Que al
menos salga un sello)
Casos Posibles, basados en el
total de combinaciones del
espacio muestral
Nombre del Evento,
basado en la condición que
se desea calcular, puede
usar acrónimos o palabras
en MAYÚSCULAS
Se mantiene el total de casos posibles a lo largo del ejercicio ya que es el
mismo espacio muestral para cada evento.

4. 4
c. Que no salga dos sellos
Cuando exista un
evento negado,
siempre se debe
calcular primero la
probabilidad positiva
para luego negarla ,
restándole uno (1).
Utilizaremos el Espacio Muestral ya previamente establecido:
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}
1 2 3 4
Número de combinaciones posibles
1
4
𝑃 2𝑆 = 𝑃 2𝑆 = 0,25
⇒
Este es el valor para el
evento positivo o posible.
Estamos en presencia de un EVENTO NEGADO, para ello debemos CALCULAR
PRIMERO EL EVENTO POSITIVO O EVENTO POSIBLE DE LA CONDICIÓN, como
lo veníamos haciendo anteriormente con la regla de Laplace.
EVENTO POSITIVO O EVENTO POSIBLE DE LA CONDICIÓN:
Que Salgan Dos Sellos
Cuando se va a
calcular un evento
negado solo se
concluye el calculo
de la negación.
EVENTO NEGADO: Que Salgan Dos Sellos
Para ello recordemos al Axioma IV:
La probabilidad de un evento negativo o negado (pero no nulo) es igual a la d
iferencia del evento positivo o posible
P(𝐴) = 1 - P(A)
P(2𝑆) = 1 - P(2S)
Resultado del evento positivo
Valor constante dentro del axioma
Nombre del Evento,
el evento negado
debe llevar un
subraya superior
indicando la
negación

5. 5
d. Que salgan al menos un lado en blanco
P(2𝑆) = 1 - P(2S)
Cuando exista un
evento negado,
siempre se debe
calcular primero la
probabilidad positiva
para luego negarla ,
restándole uno (1).
⇒
El resultado del evento
positivo
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que no salgan dos sellos es del 75%
⇒
P(2𝑆) = 1 – 0,25
P(2𝑆) = 0,75
El resultado del evento negado
P(2𝑆) = 0,75 * 100% P(2𝑆) = 75%
Moneda
S={(cara, cara); (cara, sello); (sello, cara); (sello, sello)}
Son las únicas
combinaciones
posibles dentro
del espacio
muestral.
Como se puede apreciar dentro del espacio muestral no existe el evento
descrito, dado que ninguno de los lados de al moneda es blanco , es decir, se
cumple el
Axioma II: La probabilidad del espacio muestral NULO es cero (0)
P(S)= ∅ ∴ P(S)=0
Para esta condición evaluaremos el diagrama de árbol o el espacio
muestral
Un matrimonio
tiene tres hijos
¿Cuál es la
probabilidad de
que el mayor sea
hombre y la
menor sea mujer?
Justifica tu
respuesta.
∴ P(B)= ∅
0
4
𝑃 𝐵 = 𝑃 𝐵 = 0
⇒
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que sacar un lado blanco de la moneda en 0% o nulo
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6. Otra causa frecuente
de equivocaciones en
el cálculo de
probabilidades
consiste en suponer
que ciertos sucesos
tienen relación entre
sí cuando en realidad
no la tienen.
6
Regla Aditiva General y Sucesos Incompatibles
Se realiza una encuesta basada en el número de horas de estudio por día de
los estudiantes de la mención de Lengua Literatura y Latín, obteniendo los
siguientes datos :
Nº de estudiantes 6 20 15 2 1 8 3 4
Horas de Estudio 0 1 2 3 4 5 6 7
Basado en eso, calcule la probabilidad de que el numero de horas de
estudio sea mayor a cinco horas.
Solución
Vamos a describir cada uno de los pasos para la solución de este ejemplo:
Recordemos en que consiste esta regla. Si A y B son incompatibles,
P(A o B) = P(A) + P(B) ∴ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Para este ejercicio se debe conocer la cantidad de encuestados, es decir, los
estudiantes encuestados.
Nº de estudiantes 6 20 15 2 1 8 3 4 =59
Horas de Estudio 0 1 2 3 4 5 6 7
Luego solo serán tomados en cuenta las horas de estudio mayor a cinco horas
para calcular la probabilidad.
Nº de estudiantes 6 20 15 2 1 8 3 4 =59
Planteamos ahora desde términos de la probabilidad, por medio de la Regla
Aditiva General
P(A ∪ B) = P(6H) + P(7h)
Probabilidad de que estudien 7 horas
Probabilidad de que estudien 6 horas
Cuando se hable de
UNIÓN estamos
hablando de las
REGLAS ADITIVAS .
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7. 7
P(A ∪ B) = P(6H) + P(7h)
𝑃 7𝐻 =
4
59
𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛 7 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
El calculo se basara en la probabilidad individual de cada una para luego sumar
los resultados, es decir:
𝑃 7𝐻 =
3
59
𝑙𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛 6 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠
𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑢𝑑𝑖𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
P(A ∪ B) = P(6H) + P(7h) =
4
59
+
3
59
⇒ P(A ∪ B)
⇒ P(A ∪ B) = 0,06779 + 0,05084
⇒ P(A ∪ B) = 0,11863
⇒ P(A ∪ B) = 0,11863 * 100%
⇒ P(A ∪ B) = 11,863
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que el número de horas de estudio de los estudiantes de
Lengua Literatura y Latín sea mayor a cinco horas es del 11,8%
Cuando se hable de
Siempre debes
desarrollar cada
probabilidad
individual si no esta
establecida en el
enunciado
Regla Aditiva Especial
Las estudiantes Sandra y Carla tienen la probabilidad de aprobar el examen de
matemática es de ½ y ¼ respectivamente, la probabilidad de que ambas
aprueben el examen es de 1
10. Determine la probabilidad de que al menos
uno de las estudiantes apruebe el examen
Solución
Vamos a describir cada uno de los pasos para la solución de este ejemplo:
Recordemos en que consiste esta regla
P(A o B) = [P(A) + P(B)] - P(A y B) ∴ P(A ∪ B) = [P(A) + P(B)] - P(A ∩B)
P(S ∪ C) = [P(S) + P(C)] - P(S ∩C)
Probabilidad de que al menos una de las
estudiantes apruebe el examen
Probabilidad de que Susana apruebe el examen
Probabilidad de que Carla apruebe el examen
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8. 8
Regla Multiplicativa y Sucesos Independientes
En este ejercicio no es necesario calcular las probabilidades individuales,
dado que ya están dadas
P(S ∪ C) = [P(S) + P(C)] - P(S ∩C)
Probabilidad = 1
10
Probabilidad = ½
Probabilidad = ¼
P(S ∪ C) = [ ½ + ¼ ] - (1
10) ⇒ P(S ∪ C) = [ 0,5 + 0,25 ] - (0,1)
⇒ P(S ∪ C) = [ 0,75] - (0,1)
⇒ P(S ∪ C) = 0,65
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que al menos uno de las estudiantes apruebe el examen
de matemática es de 65%
⇒ P(S ∪ C) = 0,65 * 100%
⇒ P(S ∪ C) = 65%
Vamos a describir cada uno de los pasos para la solución de este ejemplo:
Recordemos en que consiste esta regla. Si A y B son independientes
↔ P(A y B) = P(A) * P(B) ∴ P(A ∩B) = P(A) * P(B)
Una clase consta de 10 hombre y 20 mujeres; la mitad de los hombres y
la mitad de las mujeres tienen ojos castaños. Determine la probabilidad
de que una persona elegida al azar sea un hombre y tenga los ojos
castaños
Cuando se hable de
INTERSECCIÓN
estamos hablando
de la REGLA
MULTIPLICATIVA
Solución
El símbolo ↔ se lee
"si y solo si"; se
indica que si se
cumple la expresión
que esta a la
izquierda del
símbolo, entonces
también se cumple la
que se encuentra a
la derecha de el y
viceversa. El otro
símbolo ∴ se lee
"por lo tanto",
indicando a modo de
conclusión.
Para desarrollar este ejercicio hay que tener en cuenta la cantidad de la
población, 10 hombre + 20 mujeres = 30 personas. También hay que tener el
cuenta lo siguiente:
Hombres => P(H)=
10
30
=>
1
3
Total de hombres
Total de personas
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9. 9
Regla Condicional o Probabilidad Condicional
Ojos Castaños => P(OC)=
(5 + 10)
30
15
30
1
2
Cantidad de hombres con ojos castaños
Total de personas
Cantidad de mujeres con ojos castaños
P(H ∩OC) = P(H) * P(OC) ⇒
⇒ ⇒
P(H ∩OC) =
1
3
∗
1
2
P(H ∩OC) = 0,33´ * 0,5
⇒
P(H ∩OC) = 0,25
⇒
P(H ∩OC) = 0,25 * 100%
⇒
P(H ∩OC) = 25%
⇒
Conclusión de la Probabilidad:
La probabilidad de que una persona elegida al azar sea un hombre y tenga
los ojos castaños es de 25%
La barra "/" expresa
la condición y pude
leerse como "DADO
QUE" o "SABIENDO
QUE"
A los habitantes de una determinada localidad le realizaron una encuesta
basada en la preferencia de una marca de champú X y Z, obteniendo los
siguientes resultados. Se totalizo que un 40% de la población ha usado el
champú X, que un 20% de la población a usado el champú Z y que un 5%
a usando tanto el champú X como el Z.
Partiendo de este supuesto determina la probabilidad de seleccionar un
sujeto que use el champú Z sabiendo que también usa el champú X.
Vamos a describir cada uno de los pasos para la solución de este ejemplo:
Recordemos en que consiste esta regla.
Solución
𝑃 𝐵
𝐴 =
(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
Establecemos las variables del ejercicio:
A= Champú marca X
Evento que ya sucedió
B= Champú marca Y
evento que va a suceder
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10. 10
⇒
Conclusión de la Probabilidad:
la probabilidad de seleccionar un sujeto que use el champú Z sabiendo que
también usa el champú X es de 12,5%
Cuando la
probabilidad es dada
en porcentajes, de
debe dividir entre
100 para que pueda
ser usada en el
calculo. Por
ejemplo:
36% equivale a
36
100
= 0,36
El resultado 0,36 es
lo que usara para el
calculo de la
probabilidad
Evento que ya
sucedió
evento que
va a suceder
𝑃 𝐵
𝐴 =
(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
Establecemos la probabilidades individuales de los eventos :
P(A )= 40% P(A)= 0.40 Evento que ya sucedió
P(B) = 20% P( B)= 0.20 Evento que va a suceder
P(𝐵
𝐴) = 5% P(𝐵
𝐴) = 0,05 Ambos eventos
⇒
⇒
⇒
𝑃 𝐵
𝐴 =
(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
𝑃 𝐵
𝐴 =
0,05
0,40
⇒
𝑃 𝐵
𝐴 = 0,125
⇒ 𝑃 𝐵
𝐴 = 0,125 ∗ 100%
⇒ 𝑃 𝐵
𝐴 = 12,5 %
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