Presentación complementaria

1. • El teorema de Carnot.
• La temperatura termodinámica.
• Composición de ciclos.
• La relación de Clausius. Definición de
entropía.
• La formulación del segundo principio.

2. Teorema de Carnot
“El rendimiento máximo de todas las máquinas
térmicas que operan entre dos fuentes
corresponde a la máquina reversible, el cual sólo
depende de las temperaturas de las fuentes”.
Este teorema abre las puertas para la
descripción termodinámica del calor y la
formulación del segundo principio.

3. Demostración I
• Procedamos a componer dos máquinas
térmicas, a y b, que operan con las
mismas fuentes.
• La condición de composición es que ambas
produzcan el mismo trabajo en cada ciclo:
• Veamos las siguientes composiciones:

4. Demostración II
0
q
Q 1
1 

1
1 Q
q 
1
1 q
W
Q
W


 b
a 

1) a = Reversible y b = Irreversible. Sólo
la máquina a puede invertirse:
irrever
rever 
 

5. Demostración III
0
q
Q 1
1 

1
1 q
Q 
1
1 q
W
Q
W


 b
a 

2) a = Irreversible y b = Reversible. Sólo
la máquina b puede invertirse:
rever
irrever 
 

6. Demostración IV
b
a 
 
3) a = Reversible y b = Reversible.
Ambas pueden invertirse y cumplir a la vez :
b
a 
 
que sólo se satisfacen si, y sólo si,:
)
(
)
( reversible
reversible b
a 
 
)
(
)
( cualquiera
reversible 
 
O sea, la condición general:

7. Demostración V
Las condiciones: .)
(
.)
(
.)
( irrev
rev
rev 

 b
a 

se han demostrado para cualquier máquina. El
rendimiento de las reversibles dependerá sólo de
las condiciones impuestas, es decir, de las
temperaturas: )
,
(
.)
(
.)
( 2
1 T
T
f
rev
rev 
 b
a 

donde f es una función universal porque se
cumple para todo ciclo reversible. Con ello,
queda demostrado el teorema de Carnot.

8. Corolarios
)
T
,
T
(
F
Q
Q
Q
Q
1
Q
W
)
T
,
T
(
f 2
1
1
2
1
2
1
2
1 







• El rendimiento de un ciclo reversible que
opera entre dos fuentes no depende de la
sustancia que recorre el ciclo.
• El cociente de los calores intercambiados en
un ciclo reversible con dos fuentes sólo
depende de las temperaturas. W
Q
Q 2
1 


9. Temperatura termodinámica
• Las temperaturas empírica y absoluta se
definieron como variables pasivas en el
equilibrio.
• Lord Kelvin definió la “temperatura
termodinámica” de las fuentes a partir del ciclo
reversible que opera entre ellas.
• La temperatura termodinámica toma la forma
de una variable potencial y posiva, capaz de
producir trabajo, como la velocidad y la altura.

10. Planteamiento de Lord Kelvin
Establecida la relación )
,
( 2
1
1
2 T
T
F
Q
Q


Lord Kelvin trató de encontrar la forma de la
función universal F sobre las siguientes bases:
Que F cumpliese las leyes de composición
de las máquinas reversibles.
Que F cumpliese el principio de Ockam:
“De todos los planteamientos científicos el
más sencillo es el más útil”.

11. Composición de ciclos
Sean tres fuentes de temperaturas empíricas q1 >
q2 > qo, y un ciclo reversible que opere entre las
dos primeras.
Componiendo este ciclo con otros, también
reversibles, que anulen los intercambios con las
primeras fuentes se consigue un ciclo compuesto
que opera con una sola fuente, qo.
A este mecanismo se le conoce como reducción de
un ciclo a la temperatura qo. A dicho ciclo se le
puede aplicar el segundo principio directamente.

12. Reducción de un ciclo sobre qo
Ciclo reversible a
entre q1 y q2.
Se añade el ciclo
reversible b con:
q1 + Q1 = 0
Se añade el ciclo
reversible g con:
q2 + Q2 = 0
Los ciclos a, b y g
componen un nuevo
ciclo que intercambia
sólo con la fuente qo.
Las fuentes q1 y q2 dejan
de intervenir. Como
todos los ciclos son
reversibles, el nuevo
también lo es.

13. La función universal I
Por ser reversibles, los ciclos anteriores cumplen
las ecuaciones siguientes:
0
h
h
y
0
q
Q
;
0
q
Q 2
1
2
2
1
1 





)
,
(
F
q
h
y
)
,
(
F
h
q
);
,
(
F
Q
Q
o
2
2
2
o
1
1
1
2
1
1
2
q
q
q
q
q
q 





Realizando operaciones:
1
)
,
(
)
,
(
)
,
( 2
1
2
1 

 o
o F
F
F q
q
q
q
q
q

14. La función universal II
El carácter universal de F y el criterio de
Ockam hacer tomar F como un cociente:
)
(
T
)
(
T
)
,
(
F
y
)
(
T
)
(
T
)
,
(
F
;
)
(
T
)
(
T
)
,
(
F
2
o
o
2
o
1
o
1
1
2
2
1
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q 


En ese caso:
1
)
(
T
)
(
T
)
(
T
)
(
T
)
(
T
)
(
T
2
o
o
1
1
2

q
q
q
q
q
q
1
)
,
(
)
,
(
)
,
( 2
1
2
1 

 o
o F
F
F q
q
q
q
q
q

15. Definición de temperatura
termodinámica
Ya que:
Donde se usa el calor intercambiado por un ciclo
reversible como variable termométrica.
1
2
1
2
2
1
1
2
T
T
)
(
T
)
(
T
)
,
(
F
Q
Q




q
q
q
q
Se define la temperatura termodinámica como:
1
2
1
1
2
1
2
Q
Q
T
)
(
T
)
(
T
T
T 


q
q

16. Propiedades
.
1
2
1
1
2
1
2
Q
Q
T
)
(
T
)
(
T
T
T 


q
q
• Ya que:
• Cualquier temperatura proporcional a la
temperatura termodinámica, también lo es.
• Si Q2 < Q1  T2 < T1
• Si Q2 = 0  T2 = 0. El cero absoluto.
• Es imposible un ciclo que opere con una fuente
en el cero absoluto.

17. Máquinas reversibles
0
T
Q
T
Q
2
2
1
1


• Todo ciclo reversible cumple:
• Los calores tienen signos distintos.
• El calor es proporcional a la temperatura.
• El calor tomado es diferente que el calor cedido:
0
W
Q
Q 2
1 



18. El ciclo de Carnot I
• El propio Carnot estableció el ciclo más sencillo
con las siguientes propiedades:
• Como su rendimiento es independiente de la
sustancia, lo recorre un gas ideal.
• El gas realiza dos procesos isotermos en
contacto con las dos fuentes.
• Cierran el ciclo dos procesos adiabáticos.

19. El ciclo de Carnot II
• El ciclo térmico reversible se recorre en el
sentido de las agujas del reloj entre las
temperaturas absolutas q1 y q2.
Líneas isotermas:
1. a  b ( con q1 )
2. c  d ( con q2 )
Líneas adiabáticas:
1. b  c
2. d  a

20. El ciclo de Carnot III
• El gas ideal cumple:
• y sus isotermas:
pdV
dU
dQ 

V
dV
nR
pdV
dQ q


0
d
C
dU V 
 q
q
nR
pV 









a
b
V
V
nR
Q ln
1
1 q 








c
d
V
V
nR
Q ln
2
2 q

Integrando:

21. El ciclo de Carnot IV
• Las adiabáticas del gas ideal
cumplen las ecuaciones:
1
2
1
1


 g
g q
q d
a V
V
g

V
p C
C
con y dividiendo:


















c
d
a
b
V
V
V
V
ln
ln
1
2
1
1


 g
g
q
q c
b V
V
d  a
b  c
c
d
b
a
V
V
V
V

o bien

22. El ciclo de Carnot V
 )
 ) 1
2
1
2
1
2 1
/
ln
/
ln
1
1
q
q
q
q
 





a
b
c
d
V
V
V
V
nR
nR
Q
Q
Sustituyendo los calores en el rendimiento:
Resulta que la temperatura del gas ideal es
proporcional a la temperatura termodinámica:
por lo que la temperatura absoluta es una
temperatura termodinámica
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
T
T
T
T
Q
Q








q
q
q
q


23. Reducción de ciclos
• Se han estudiado los ciclos con una y con dos
fuentes.
•Estudiemos ahora el caso general de un ciclo que
opera entre N fuentes térmicas de temperaturas Ti ,
con 1 i  N .
• Aceptamos que T1 es la temperatura más baja y
procedemos a reducir el ciclo sobre esa temperatura
inferior.

24. Reducción de un ciclo
El resultado de la reducción es:
Se elimina la fuente 2
Q2 + q2 = 0
Se elimina la fuente i
Qi + qi = 0
Se elimina la fuente N
QN + qN = 0
El resultado es un ciclo
que opera exclusivamente
con la fuente T1.
Dicho ciclo sólo tiene la
posibilidad de consumir
trabajo y ceder calor o
anular a ambos si es
reversible.

25. Cálculos I



N
1
i
i
Q
W
En los ciclos auxiliares: i
i
i '
q
q 

 0
T
'
q
T
q
1
i
i
i 

La composición de ciclos:
 
  






N
1
i
N
2
i
i
i
i
N
2
i
i )
'
q
q
(
Q
W
0 
En el ciclo original :
0
q
Q i
i 

En el ciclo final :

26. Utilizando y
i
i
1
i
1
i
i
i q
T
T
'
q
0
T
'
q
T
q





 
  






N
1
i
N
2
i
i
i
i
N
2
i
i )
'
q
q
(
Q
W
0 
0
q
Q i
i 

 
 











N
i
N
i
i
i
i Q
T
T
Q
1 2
1
1
0 
  
 













N
i
i
i
N
i
N
i
i
i
i
T
Q
T
Q
Q
T
T
Q
2
1
1 2
1
1
1
0

 




N
i
i
i
N
i
i
i
T
Q
T
Q
T
Q
1
2
1
1
0
Como
T1 > 0

27. La relación de Clausius
Ciclo reversible.
Igualdad de Clausius:



N
1
i i
i 0
T
Q
0
T
dQ


o bien



N
1
i i
i 0
T
Q
 


 

N
1
i i
i
N 0
T
dQ
T
Q
lím
ó
Ciclo irreversible.
Desigualdad de
Clausius:



N
1
i i
i 0
T
Q
0
T
dQ


ó

28. Definición de la entropía
La igualdad de Clausius: garantiza que
existe una nueva función de estado del sistema.
Queda definida sólo a lo largo de los procesos
reversibles y, por tanto, sólo tiene sentido en los
estados de equilibrio.
Esa función se llama “entropía”, S, y se define:
0
T
dQ


versible
Re
T
dQ
dS 







29. Formulación del principio
0
T
dQ
T
dQ
a
b
R
b
a
I
















 
 






















a
b
a
b
b
a
R
R
b
a
I
S
S
T
dQ
T
dQ
T
dQ
• Sea el ciclo adjunto, mitad
reversible y mitad
irreversible:
Como R es reversible:

30. Formulación diferencial



b
a
a
b
T
dQ
S
S
El resultado anterior:
No necesita especificar el tipo de proceso, el
signo “igual” corresponde al proceso reversible y
el “mayor que” al irreversible. En forma
diferencial el principio se escribe:
T
dQ
dS 

31. LECCIÓN 8
FIN