3. Datos/Observaciones
Logro de la sesión:
Al finalizar la sesión de aprendizaje, el estudiante conoce la idea de integral
definida, el segundo teorema fundamental del cálculo y aplica la integral
definida para la solución de ejercicios y problemas de contexto.
4. Utilidad
La integral definida nos permite medir longitudes, calcular área, volúmenes, etc. ya que así nos
permite dar un resultado útil y preciso.
Algunas de sus aplicaciones son:
• Cálculo de estructuras y áreas. A través del 2do teorema fundamental del cálculo
podemos conocer áreas de terrenos o volúmenes de sólidos en revolución.
• Trabajo realizado. A través de la integral definida se puede determinar el trabajo
realizado sobre un objeto desde un inicial hasta un punto final.
• Circuitos. Calcular resistencias y amperajes, objetos que están conectados a un solo
polo y este se encuentre aislado.
• Administración y economía. Cuando una empresa vende un producto esta aplica un
función para relacionar la cantidad de productos que ofrecerá al mercado y calcular su
precio unitario.
https://www.ididactia.com/2017/05/10/software-para-el-calculo-de-estructuras-en-tres-dimensiones-lo-conoces/
5. Datos/Observaciones
Integral Definida
Teorema
Sea 𝑓: 𝑎, 𝑏 → ℝ una función continua, entonces 𝑓 es integrable sobre el
intervalo 𝑎, 𝑏
Segundo teorema fundamental del cálculo
Si 𝑓: 𝑎; 𝑏 → ℝ es continua en [a; b] y la función F es cualquier antiderivada de 𝑓 en dicho
intervalo, es decir 𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥 entonces:
න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
න
1
3
10𝑥4𝑑𝑥 = න
0
𝜋
2
𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 =
8. Datos/Observaciones
Aplicaciones de la Integral Definida
Áreas de regiones planas
En el cálculo de áreas de regiones planas se consideran dos casos:
1° Caso
Si 𝑓: 𝑎; 𝑏 → ℝ es continua en [a; b] y 𝑓 𝑥 ≥ 0 para todo 𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. El área de la región 𝑅
limitada por la curva 𝑓, el eje 𝑥 y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 está dado por:
𝐴 𝑅 = න
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
x
y 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
𝑹
𝑑𝑥
𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
9. Datos/Observaciones
Observación.
Si la región 𝑅 está limitada por la curva
𝑥 = 𝑔(𝑦) y las rectas 𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Calcule el área limitada por 𝑦 = 2 − 𝑥2
, y el eje de las abscisas.
x
y
x
y
𝑹
𝑑
𝑐
𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝐴 𝑅 = න
𝑐
𝑑
𝑔 𝑦 𝑑𝑦
10. Datos/Observaciones
2° Caso
Consideremos 𝑓, 𝑔 funciones continuas en [a; b] y 𝑓 𝑥 ≥ 𝑔(𝑥) para todo
𝑥 ∈ [𝑎; 𝑏]. El área de la región 𝑅 limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) , 𝑦 = 𝑔 𝑥
y las rectas verticales 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 está dado por:
𝐴 𝑅 = න
𝑎
𝑏
[𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥
x
y
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
𝑹
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
𝑑𝐴 = 𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
𝑦 = 𝑔(𝑥)
11. Datos/Observaciones
Observación.
Si la región 𝑅 está limitada por la
curva 𝑥 = 𝑔 𝑦 , 𝑥 = ℎ(𝑦)y las rectas
𝑦 = 𝑐, 𝑦 = 𝑑
𝑬𝒋𝒆𝒎𝒑𝒍𝒐:
Calcule el área limitada por 𝑦 = 2 − 𝑥2
, y la recta 𝑦 = 𝑥.
x
y
𝐴 𝑅 = න
𝑐
𝑑
[ℎ 𝑦 − 𝑔 𝑦 ]𝑑𝑦 x
y
𝑥 = 𝑔(𝑦) 𝑥 = ℎ(𝑦)
𝑹
𝑑
𝑐
12. Datos/Observaciones
Ahora pongamos en práctica lo aprendido, para ello
deberás hacer lo siguiente:
1. Desarrollarás con tu docente los ejercicios 1 y 2.
2. Se resolverá el ejercicio 3 de forma individual o grupal, una vez
terminado, subirá la solución del ejercicio al foro de la sesión 1 de la
semana 15 para que el docente valide el desarrollo y realice la
retroalimentación.
16. Datos/Observaciones
Ejercicio 3
A un ingeniero civil se le encarga construir un edificio en un terreno que
tiene la forma de la siguiente región plana, limitada por las curvas
𝑦 = 3 − 𝑒𝑥
, 𝑦 = ln(𝑥 + 1) y la recta 𝑥 = 0. ¿Cual es el área de la región
limitada?
17. • Las integrales son básicamente lo contrario a las
derivadas, con la ayuda de las integrales podemos
encontrar el área bajo una curva definida, en el
mundo de las integrales tenemos a las integrales
definidas y las indefinidas.
• La integral definida únicamente obedece a los
valores que muestra la gráfica nos este
proporcionando dentro de sus parámetros
convencionales, sin importar que los valores sean
variables.
Conclusiones:
18. Consulte, desarrolle las
actividades y practique……
Muchas gracias!
“Hay dos maneras de vivir la vida:
una como si nada fuese un
milagro, la otra como si todo
fuese un milagro.”
Albert Einstein
