Fundamentos esenciales para fenómenos de transporte

1. Operadores entre escalares, vectores y tensores
Tipos de tensores Orden Nomenclatura
Escalares (temperatura,
energía)
0 a
Vectores (velocidad,
aceleración)
1 u (cuando no sea viable poner la
línea arriba o abajo, verán que
tacharé la letra)
Tensores (esfuerzo de corte,
velocidad de deformación)
2 𝜏 ≜ (se les escribe con dos
rayitas arriba o abajo de la letra,
en estos apuntes verás que los
tensores son letras griegas)
Tipo de producto (o multiplicación)
Ninguno Σ 2 (orden 0) * 2 (orden 0) = 4 (0 + 0 = Orden
cero: Escalar)
Producto punto • Σ – 2 a • b →orden 1 + orden 1 – 2 = 1 + 1 – 2 = 0:
Resultado escalar
Doble producto punto : Σ – 4 v : b → orden 1 + orden 1 – 4 = 1 + 1 - 4 = – 2:
IMPOSIBLE
ψ: χ → orden 2 + orden 2 – 4 = 2 + 2 – 4 = 0 :
Resultado escalar
Producto cruz x Σ – 1 a x b →orden 1 + orden 1 – 1 = 1 + 1 – 1 = 1:
Resultado vectorial
Donde Σ es la suma de los órdenes de las cantidades multiplicadas
u v orden del resultado: 2
u • v orden del resultado: 0
𝜏 • v Producto vectorial entre tensor y un vector: 1
𝜏 x v Producto vectorial entre tensor y un vector:2
𝜏 ∶ ψ Producto vectorial entre tensor y un vector:0

2. Es conmutativo (A∙B) = (B∙A) y
distributivo, pero no asociativo
Producto escalar
A ∙ B = |A| |B| cos θ Es el área obtenida con la proyección de B en el plano de A.
¿Qué área se forma si son perpendiculares ambos vectores, y aplica hacer coseno de 90°? Cero.
Producto vectorial o cruz
A × B = |A| |B| sin θ ei ei representa un vector unitario normal al plano formado por A y B
El producto vectorial de dos vectores que forman un ángulo θ es otro vector, de dirección
perpendicular al plano formado por los dos vectores originales, sentido el que da la regla de la mano
derecha y módulo el que se especifica a continuación:
¿Qué pasa si en este caso ambos vectores son paralelos?
El producto vectorial es nulo.

3. Es distributivo, pero no asociativo ni
conmutativo.
A × B = - B × A
Desde el punto de vista analítico
Distintos operadores y fórmulas pueden expresarse usando la delta de Kronecker, δi,j, y el índice de
permutación, εijk.
δ i, j = 1, si i = j,
0, si i ≠ j
Ejemplos:
δ2, 5 = δ5, 2 = 0, δ4, 4 = 1, δ−3, −3 = 1, δ7, 1 = δ1, 7 = 0
+1 si ijk, jki, kij i, 1 -1
εijk 0 si se repite algún subíndice +1
-1 si ikj, kji, jik j, 2 k, 3
Σ Σ εijk εhjk = 2δi,h Estas reglas adicionales se usan
Σ Σ εijk εmnk = δi,m δj,n - δi,n δj,m en demostraciones.
¿Se puede resolver algo con esto?
Ejemplo: El determinante de una matriz cuadrada 3x3 se define
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
= ∑ ∑ ∑ 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑎 𝟏𝑖 𝑎 𝟐𝑗 𝑎 𝟑𝑘
3
𝑘=1
3
𝑗=1
3
𝑖=1
= 𝑎11[𝑎22 𝑎33 − 𝑎23 𝑎32] − ⋯ + ⋯
Cómo resolver... hacemos la combinación en orden de los subíndices ijk, sabiendo que se aplica el índice
de permutación con ellos.
111, 112, 113, 121, 122, 123, 131, 132, 133,
211, 212, 213, 221, 222, 223, 231, 232, 233,

4. 𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
311, 312, 313, 321, 322, 323, 331, 332, 333
Una vez listados, podemos identificar todos los que se anulan por duplicar un índice. De las combinaciones
“sobrevivientes” identificaremos signos y reescribimos el término completo 𝑎1𝑖 𝑎2𝑗 𝑎3𝑘
123 → +1: +a11a22a33 estos términos deben coincidir con la regla clásica
132 → -1: -a11a23a32 con la que se obtienen los determinantes
213 → -1: -a12a21a33
231 → +1: +a12a23a31
312 → +1: +a13a21a32
321 → -1: -a13a22a31
Magnitud de vectores
|𝑢| = √𝑢1
2
+ 𝑢2
2
+ 𝑢3
2
= √∑ 𝑢𝑖
2
3
𝑖∗1
Suma o resta de vectores
u = ∑ 𝑒𝑖 𝑢𝑖
3
𝑖=1
v = ∑ 𝑒𝑖 𝑣𝑖
3
𝑖=1
𝑢 + 𝑣 = ∑ 𝑒𝑖 𝑢𝑖
3
𝑖=1
+ ∑ 𝑒𝑖 𝑣𝑖
3
𝑖=1
= ∑ 𝑒𝑖(𝑢𝑖 + 𝑣𝑖)
3
𝑖=1
Producto escalar entre dos vectores
Definición: (𝑒𝑖 • 𝑒𝑗) = (𝛿𝑖𝑗)
𝑢 • 𝑣 = ∑ 𝑒𝑖 𝑢𝑖
3
𝑖=1
• ∑ 𝑒𝑗 𝑣𝑗
3
𝑗=1
= ∑ ∑(𝑒𝑖 • 𝑒𝑗)
3
𝑗=1
3
𝑖=1
𝑢𝑖 𝑣𝑗 = ∑ ∑(𝛿𝑖𝑗)
3
𝑗=1
3
𝑖=1
𝑢𝑖 𝑣𝑗
Pero ya sabemos que la delta de Kronecker sólo tiene valor si los subíndices son iguales, así que sólo
consideramos esa opción.
𝑢 • 𝑣 = ∑ 𝑢𝑖 𝑣𝑖
3
𝑖=1
= 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3

5. 𝑢1 𝑣1
𝑢2 𝑣2
𝑢3 𝑣3
= 𝑢1 𝑣1 + 𝑢2 𝑣2 + 𝑢3 𝑣3
¿Recuerdan la pregunta del producto punto cuando se trataba de dos vectores perpendiculares? El
producto punto se vuelve cero, igual que sucede cuando los subíndices son distintos pues representan el
mismo concepto.
Producto cruz entre dos vectores
Definición: (𝑒𝑖 x 𝑒𝑗) = 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑒 𝑘
𝑢 x 𝑣 = ∑ 𝑒𝑖 𝑢𝑖
3
𝑖=1
x ∑ 𝑒𝑗 𝑣𝑗
3
𝑗=1
= ∑ ∑(𝑒𝑖 x 𝑒𝑗)
3
𝑗=1
3
𝑖=1
𝑢𝑖 𝑣𝑗 = ∑ ∑ ∑ 𝜀𝑖𝑗𝑘 𝑢𝑖 𝑣𝑗
3
𝑘=1
3
𝑗=1
3
𝑖=1
𝑒 𝑘
𝑖 𝑗 𝑘
𝑢1 𝑢2 𝑢3
𝑣1 𝑣2 𝑣3
= 𝑢2 𝑣3 𝑒𝑖 − 𝑢3 𝑣2 𝑒𝑖 + ⋯
Operaciones con tensores
Diada unitaria: Representa dos direcciones en los ejes coordenados eiej
Productos entre diadas unitarias
eiej : ekel = (ei •el) (ek •ej) = δil δjk
ei •ejek = δijek
eiej x ek = eiεjkel donde por cierto εjk es un tensor.
La suma y resta es idéntica a la suma y resta vectorial
Operaciones diferenciales con vectores y tensores
Operador gradiente (nabla) 
∇= 𝑒 𝑥
𝜕
𝜕𝑥
+ 𝑒 𝑦
𝜕
𝜕𝑦
+ 𝑒 𝑧
𝜕
𝜕𝑧
= ∑
𝜕
𝜕𝑖
𝑒𝑖
3
𝑖=1
No es conmutativa ni asociativa pero sí distributiva.
Gradiente de un campo escalar
∇s = 𝑒 𝑥
𝜕𝑠
𝜕𝑥
+ 𝑒 𝑦
𝜕𝑠
𝜕𝑦
+ 𝑒 𝑧
𝜕𝑠
𝜕𝑧
= ∑
𝜕𝑠
𝜕𝑖
𝑒𝑖
3
𝑖=1

6. Divergencia de un campo vectorial
La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo saliente y el flujo entrante de un
campo vectorial sobre la superficie que rodea a un volumen de control. Si el campo tiene "fuentes" la
divergencia será positiva, y si tiene "sumideros", la divergencia será negativa.
La divergencia mide la rapidez neta con la que se conduce la materia al exterior de cada punto, y en el
caso de ser la divergencia idéntica a cero, describe al flujo incompresible del fluido. Esto será útil más
adelante en el curso.
∇ • u = (∑ 𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑖
) • (∑ 𝑒𝑗 𝑢𝑗
𝑗
) = ∑ ∑
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝛿𝑖𝑗
𝑗𝑖
= ∑
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑖
𝑖
Rotacional de un campo vectorial
∇ x u = (∑ 𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑖
) x (∑ 𝑒𝑗 𝑢𝑗
𝑗
) = ∑ ∑ ∑ 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝑘𝑗𝑖
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝑒 𝑘
𝑒𝑖 𝑒𝑗 𝑒 𝑘
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜕
𝜕𝑥 𝑘
𝑢𝑖 𝑢𝑗 𝑢 𝑘
Divergencia de campo tensorial
∇ • τ = (∑ 𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑖
) • (∑ ∑ 𝑒𝑗 𝜏𝑗𝑘 𝑒 𝑘
𝑘𝑗
) = ∑ ∑ ∑ 𝛿𝑖𝑗
𝑘
𝜕𝜏𝑗𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝑒 𝑘 = ∑ ∑
𝜕𝜏𝑖𝑘
𝜕𝑥𝑖
𝑒 𝑘
𝑘𝑖𝑗𝑖
Laplaciano de un campo escalar
∇ • ∇s = (∑ 𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑖
) • (∑ 𝑒𝑗
𝜕𝑠
𝜕𝑥𝑗
𝑗
) = ∑
𝜕2
𝑠
𝜕𝑥𝑖
2
𝑖
Operador Laplaciano: 2
(escalar)
Este operador fue nombrado así en honor a Pierre-Simón Laplace.
Laplaciano de un campo vectorial
∇ • ∇u = (∑ 𝑒𝑖
𝜕
𝜕𝑥𝑖
𝑖
) • (∑ 𝑒𝑗
𝜕𝑢 𝑘
𝜕𝑥𝑗
𝑒 𝑘
𝑗
) = 𝛿𝑖𝑗
𝜕2
𝑢 𝑘
𝜕𝑥𝑖 𝑥𝑗
𝑒 𝑘 =
𝜕2
𝑢 𝑘
𝜕𝑥𝑖
2 𝑒 𝑘 = ∇2
u