El documento trata sobre conceptos básicos de trigonometría como resolución de triángulos rectángulos, área de regiones triangulares y el cálculo de ángulos de elevación y depresión. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos sobre estas temáticas.

1. CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2017-II (Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación) Pág. - 18 -
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO II
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.-
Los elementos de un triángulo rectángulo son sus
ángulos interiores y sus respectivos lados opuestos.
Luego, en un triángulo rectángulo, si tenemos uno de los
tres lados y un ángulo agudo podemos expresar los
demás elementos del triángulo en función a estos.
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR.-
Sea el triángulo ABC de lados a, b y c respectivamente.
Para calcular el área del triángulo ABC (en términos
trigonométricos) necesitamos dos lados del mismo y el
ángulo que estos forman.
A B
C
a
b
c
S
ÁREA DE REGIÓN TRIANGULAR RECTANGULAR
2
ABC
c sen2A
S
4
∆
×
=
ABC
a b
S
2
∆
×
=
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ADICIONALES
Triángulos Pitagóricos: Son triángulos rectángulos
cuya medida de sus lados está expresado en números
enteros.
Ejemplos
ÁNGULO DE ELEVACIÓN.-
Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado
por la línea horizontal y la visual que pasan por el punto
de observación cuando el punto observado está por
encima de la horizontal.
O: Ojo del observador
A: Punto observado
ÁNGULO DE DEPRESIÓN.-
Se denomina de esta manera al ángulo vertical formado
por la línea horizontal y la visual que pasan por el punto
de observación cuando el punto observado está por
debajo de la horizontal.
O: Ojo del observador
B: Punto observado
13
12
5
25
24
7
15
23º 61 60
11
17
8
TRIGONOMETRÍA 04 CIENCIAS
ABC
a b.senC
S
2
∆
×
=
A C
B
c
a
b
S

2. Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 04
CEPREUNTELS – Ciclo Académico 2017-II (Queda prohibida la reproducción total o parcial de esta publicación) Pág. - 19 -
α
a
c
b
x
A
C
B D
A
B
C
D
θ
θ
EJERCICIOS DE CLASE
1. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en C, se
traza la ceviana BD talque m BAC m DBC
= = θ
  .
Si AD 2(BC)
= , calcule tg 2
θ − .
A) ‒1 B) 2 C) 1
D) 1,2 E) 1,5
2. En el triángulo ABC, calcule “x”.
A)
ab
sen
c
α
B)
ac
sen
b
α
C) abc senα
D) bc senα
E)
bc
sen
a
α
3. En la figura mostrada, calcule sen2
θ, siendo AB = p
y AC = q.
A)
q p
p
−
B)
q p
q
−
C)
q p
q p
−
+
D)
q p
2q
−
E)
q p
2q
−
4. En la figura mostrada. Calcule el área de la región
sombreada.
A) 2
ab
cos θ
2
B) 2
ab
senθ cos θ
2
C) 2 2
2absen θcos θ
D) 2
2absenθcos θ
E) 2
ab
sen θ
2
5. De la figura mostrada, halle Rsec θ si R es un
número entero múltiplo de 5,
n 1
sec
n
+
θ = , n +
∈ y
de
81
OE
80
= .
A) 1
B)
1
2
C)
3
2
D)
15
2
E)
5
2
6. De la figura mostrada, BM MC
= , calcule
M 7 3 tan 1
= θ +
A) 3 1
+
B) 4
C) 2
D) 2 3
E) 5 1
+
7. En el grafico mostrado ABCD es un cuadrado, ADC
es un sector circular con centro en D, m ABM = θ
 y
m ADM = ϕ
 . Calcule tanθ en términos de ϕ.
A)
1 sen
1 cos
+ ϕ
+ ϕ
B)
1 cos
1 sen
+ ϕ
+ ϕ
C)
2 cos
2 sen
− ϕ
− ϕ
D)
1 sen
1 cos
− ϕ
− ϕ
E)
1 cos
1 sen
− ϕ
− ϕ
8. Jorge se dirige a un edificio y observa la parte más
alta del mismo con un ángulo de elevación θ,
después de avanzar 10 m, en la misma dirección,
observa otra vez la parte más alta del edificio con un
ángulo de elevación φ. Si la altura del edificio es
de 40 m, halle el valor de
( )
1
G 3 tan . cot
4
 
= θ φ +
 
 
.
A) 6 B)
3
2
C) 3 D)
7
2
E) 4
A
B
C
D E
b
a
θ

3. Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 04
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9. Desde un avión se observa un punto en tierra con un
ángulo de depresión θ. Cuando el avión se desplaza
horizontalmente una distancia igual al cuádruple de
la altura a la que se encuentra, el nuevo ángulo de
depresión para el mismo punto es ( )
90º −θ . Halle el
valor de 2 2
R cot tan
= θ + θ .
A) 10 B) 24 C) 18
D) 20 E) 14
10. En la figura mostrada, AP 1
= y PB 2
= además se
sabe que el área de la región triangular PQB es el
triple del área de la región cuadrangular APQC.
Halle el valor de
tan
M .
tan
φ
=
θ
A)
3 3
2
B)
1
2
C)
3 3
4
D)
2
3
E)
3
4
EJERCICIOS DE EVALUACIÓN
1. Desde un punto en tierra se observa la parte más
alta de un poste con un ángulo de elevación θ. Si
nos acercamos al poste un distancia igual al doble
de su altura, el ángulo de elevación es el
complemento de θ. Calcular tan θ.
A) 2 B) 3 C) 2 1
−
D) 4 E) 2 3
−
2. En la figura,
2
AB CD.
3
= Calcule Tg Tg
α + θ.
A)
2
3
B)
1
3
C)
3
4
D)
4
5
E)
5
6
3. Si a y b son ángulos agudos tales que 4a 3b 90º,
+ =
calcular
sec(a 2b) csc(3a b)
tg15º.
csc(90º a 2b)
+ + +
−
− −
A) 3 1
− B) 3 2
+ C) 3
D) 3 2
− E) 3 1
+
4. En la figura, el rectángulo ABCD tiene área igual a
2
48u , AP 2 17 u
= y BP 4 5 u
= . Calcule Ctgα .
A) 6/5
B) 7/6
C) 6/7
D) 2/5
E) 5/6
5. Si 0 x
9
π
< < y
1
Sen2x Tg(3x 10º )
2
= + , Tg(80º 3x),
−
evaluar 2 2
4(Sen 3x Sen 4x)
+ .
A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
6. Para los ángulos α y β de la figura, diga a que es
igual 2 2
2Cos Sec
α + β.
A) 3
B) 7/2
C) 4
D) 5/2
E) 3.2
7. Sean α y β ángulos complementarios.
Si 4tg(90 ) 9tg(90 ) 9
°−β
= °−α − ,
halle ctg sec(90 )
β + ° − α .
A) 3 B) 3/2 C) 5/2
D) 2 E) 4
8. Sean los ángulos agudos α y β que miden (3x 8)
+ °
y (2x 68)
− ° respectivamente. Si cos sen
α
= β ,
calcular tg(x 45 ) tg(x 15 )
+ ° + − ° .
A) 2 3 B) 1 C)
3 3
2
D)
5
4
E) 4

4. Trigonometría Teoría y ejercicios – Semana 04
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9. Si 2α y 6β son ángulos complementarios, hallar el
valor de la expresión
3sen(2 6 60 ) 2cos( 3 15 ) ctg( 3 )
α + β − ° + α + β + ° − α + β
A) 1/2 B) 9/2 C) 7/2 D) 5/2 E) 3/2
10. En la figura, AB = 6 y BC = 2 , halle 4Senα .
A) 1
B) 3
C) 2
D) 5
E) 6
11. Simplifique
2
4sen x y tg y x tg sen
2 2 4 3
ctg(15 )ctg x y cos(x y)ctg (x y)
2
 
π π π π
       
− + − + +
       
 
       
 
π
 
° + − − −
 
 
A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3
12. Halle el valor de la expresión
2 2 2
2 2 2
sen 1º sen 2 ... sen 89
cos 1º cos 2 ... cos 89
F (cos120º )
 
+ °+ + °
 
−
 
+ °+ + °
 
=
A) 0.5 B) 1 C) – 2 D) 1/4 E) 1/2
13. Si sen(2x y z) cos(y z) 0
− + − + =,
2sen(x z 4) 1 0
+ − − = .
Halle tg(2x 2z y) tg(x y z)
+ − − + + .
A) 6 B) 5 C) 4 D) 2 E) 3
14. En la figura, PQRS es un rectángulo. Si
RM = MT = 2 cm y PQ = 6 cm. Hallar Secα .
A) 2
B) 1.5
C) 3
D) 2
E) 2 2
15. En la figura, AB 12cm
= , AD 8 cm
= y
5
3Cos( ) 2Sen( )
4
α − α = . Halle CP.
A) 3
B) 3/2
C) 5/2
D) 2
E) 4
45º
α
A
B
C
D
2
α
A
B C
D
P