Este tema sirve para matemática básica y también para matemáticas discretas, para los que llevan o estudian ingeniería en la universidad.

1. Lógica
Matemática
SEMESTRE 2012– 2
Prof. Daniel Quinto Pazce

2. Lógica
Matemática
Lógica Matemática
Proposición:
 Es una afirmación que puede ser V o F, esta es una cte. “F < V”.
 En álgebra de Boole representa la F = 0 y la V = 1
Afirmación: Pueden ser:





Declarativo: Un cuadrado tiene sus cuatro lados iguales.( P. simple)
Imperativo: Báñate todos los días.
Admirativo: ¡ Eso es grandioso !
Interrogativo: ¿Qué es eso?
Afirmaciones abiertas: Las espinacas son -----------------
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logica M.
 Lógica:
Es la Ciencia que estudia la formas de los pensamientos como medio,
para el logro de la corrección y verdad de los mismos.
 Lógica proposicional ó Lógica Simbólica :
 Estudia la validez del proceso de razonamiento basado en un
lenguaje de interpretación. Constituye una herramienta basada en
reglas y análisis.

3. Lógica
Matemática
Lógica Matemática
Proposición Compuesta (Afirmacion compuesta)
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logica M.
Tablas: n= # variables
= v

4. Lógica
Matemática
Lógica Matemática
Donde : 2n = 4, n es 2 variables
VARIACIONES
SALIDA
INTERPRETACIONES
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logica M.
Tabla Binaria: para n= 2

5. Lógica
Matemática
Lógica Matemática
Relaciones entre sus Sentencias y Compuertas Lógicas:
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logica M.
Lógica Simbólica

6. Lógica
Matemática
Lógica Matemática
 Aplicación:
Diseñar un sumador completo de 1 bit para ALU de una
Computadora de dos entradas

7. Lógica
Matemática
DISEÑO DE UN CHIP
Encapsulamiento :
Sumador de 1 bit :

8. Lógica
Matemática
DISEÑO DE UN CHIP
REGLAS DE LA SUMA BINARIA
1+
1
10
1+
0
1
0+
1
1
0+
0
0

9. Lógica
Matemática
DISEÑO DE UN MODELO LOGICA
 Ejemplos:
Si Juan toma el autobús(R), luego Juan pierde su
Cita(P), si el autobús llega tarde (Q). diseñar un modelo
lógico.

10. Lógica
Matemática
Principios Lógicos:
Son procesos de razonamiento, que a partir del principio se prueba su
valides.
Doble negación
¬(¬P)≡P
P^¬P≡F
P.P ≡ 0
Ley del tercio excluido P v ¬ P ≡ V P +¬ P ≡ 1
Ley de Contradicción
Ley de implicación
Ley de Morgan
P→Q ≡ ¬ P v Q
¬ ( P ^ Q) ≡ ¬ P v ¬ Q
¬ ( P v Q) ≡ ¬ P ^ ¬ Q

11. Lógica
Matemática
Principios Lógicos:
Ley de Equivalencia
Ley de Simplificación
Ley de Absorción
P ↔ Q ≡ (P→Q) ^ (Q→P)
P.P ≡ P
P+P ≡ P
P.1 ≡ P
P+1 ≡ 1
P.0 ≡ 0
P+0 ≡ P
P (P + Q) ≡ P
P + ( PQ ) ≡ P
P + PQ ≡ P + Q

12. Lógica
Matemática
Ejemplos

13. Lógica
Matemática
INFERENCIAS
Son formas de demostrar o deducir la validez de un proceso de
razonamiento basados en reglas de inferencias.
Métodos
Por reglas de inferencia
Por método del asterisco
por método de las clausulas
Por reglas de inferencias
Premisa E1
Premisa E2
.
.
.
Premisa En
.·. E
Formalizando: [E1 ^ E2 ^ E3 ... ^ En] → E

14. Lógica
Matemática
INDUCCION
Inducción:
Inferencias que pasa de lo particular a lo general
Heurística:
Reglas empíricas basadas en la experiencia
Para hacer deducciones
De
E1
E2
E3
...
En
E
1
E1
Premisa
2
E2
premisa
N
En
premisa
...
A
justificar
...
B
justificar
X
E
...

15. Lógica
Matemática
Reglas de Inferencia
 I : introducción
 E : eliminación

16. Lógica
Matemática
Reglas de Inferencia
1,

17. Reglas de Inferencia
(Cont…)
Lógica
Matemática
REGLA 5
I:
E:
E1
E1
E2 , E2
E1 E2
E1 E2
E2 , E2
E1
E1

18. Lógica
Matemática
Aplicación
 Demostrar por las reglas de inferencia:
De
P
Q
Q
P
1
P
Q
premisa
2
P
- E, 1
3
Q
- E, 1
4
Q
P
- I, 2, 3
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logica M.
1)

19. Lógica
Matemática
Aplicación
 Demostrar por las reglas de inferencia:
2)
De
1
2
3
4
5
P
P
Q
Q
P
Q
R Q
P (R Q)
P (R Q)
Premisa
- E, 1
- E, 1
- I, 3
- I, 2, 4

20. Lógica
Matemática
Aplicación
 Demostrar por las reglas de inferencia:
3)
De
P
¬(¬P)
1
P
Premisa
2
De
¬P
2.1
¬P
2.2
3
¬(¬P)
P
¬P
P
¬P
Premisa
- I, 1, 2.1
¬ - I, 2

21. Lógica
Matemática
A)
Ejemplo:
De
P
Q,Q
R
P
R
1
P
Q
premisa
2
Q
R
premisa
De
P
R
3.1
P
premisa
3.2
Q
- E, 3.1, 1
3.3
R
- E, 3.2, 2
3
4
P
R
definición
3

22. Lógica
Matemática
Ejemplo con enunciado
B)
Si Bernardo se casa, entonces Florida se suicida,. Florida se suicida sólo si Bernardo no se
hace monje luego si Bernardo se casa, entonces no se hace monje.
C : Bernardo se casa
De
C
S,S
¬M
C
¬M
S : Florida se suicida
M : Bernardo se hace monje
1
C
S
premisa
2
S
¬M
premisa
De
C
¬M
3.1
C
premisa
3.2
S
- E, 3.1, 1
3.3
¬
M
3
4
¬C
- E, 3.2, 2
¬ - I, 3
5
¬C
¬M
- I, 4
6
C
¬M
definición

23. Lógica
Matemática
C)
Ejemplo con enunciado
Juan esta enfermo o esta cansado, Juan esta cansado y entonces se
queda en casa. No se queda en casa. Luego esta enfermo.
P : Juan esta cansado
Q : Juan esta enfermo
R : Juan se queda en casa D P Q , P R, ¬R
Q
1
P
Q
premisa
2
P
R
premisa
3
¬R
premisa
De
R
4.1
4
¬
Q
¬
Q
Premisa
4.2
R
¬R
- E, 1, 2
R
4.3
5
Q
¬
R
- I, 4.2, 3
¬ - E, 4

24. Lógica
Matemática
METODO DEL ASTERISCO
Deducir el razonamiento siguiente
P
Q
R
P
Q
V
V
V
V
V
V
V
F
V
F*
V
F
V
V
V
V
F
F
V
F*
F
V
V
V
V
F*
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F*
F
F
F
F*
P
R
¬R
Q
F*
F*
V

25. Lógica
Matemática
Revision de algunos principios
Modus Ponens (MP)
Principio de Lewis
Modus Tolens (MT)

26. Lógica
Matemática
Principio contrario y contradictorio
Tautología (T)
Contradicción (F)
A
B
S
A
B
S
F
F
V
F
F
F
F
V
V
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
V
V
V
V
F

27. Lógica
Matemática
Teorema Recursivo
DIRECTA
P
Q
(condición necesaria)
RECIPROCA
Q
P
CONTRARIO
¬P
¬Q
CONTRA RECÍPROCA
¬Q
¬P
( condición suficiente)

28. Lógica
Matemática
PREDICADO
Un predicado es una función definida sobre un objeto o argumento
que se llama dominio.
Función (Objeto)
F: D1 x D2 x D3 x ... x Dm ---> S
(X1, X2, X3, … , Xn) ----> F(X1, X2, X3, … , Xn) = Y
argumentos
Dominio:
D = D1, D2, D3, ... , Dm
Todo predicado cumple con las mismas propiedades de una
proposición.

29. Lógica
Matemática
Ejemplos
a) María es una mujer
m
M
b) Si X
M(m)
N = {0, 1, 2, ...}
X es un numero par
P(x)
Si X = 1, P(1) es F
Si X = 2, P(2) es V
c) Alguien me conoce
x
C
C(x)

30. Lógica
Matemática
Ejemplos
d) Juan ama a Rosario
j
A
r
A(j, r)
diádico
e) Juan regala flores a María
j
R
f
R(j, f, m)
m
poliádico
f) Si a María le gusta escribir y a Carlos le gusta leer entonces
a Pedro le gusta jugar.
G(m , e)
G(c , l)
G(p , j)

31. Lógica
Matemática
SUSTITUCION
Si A es una fórmula, x una variable de A y a es un término que se
reemplaza entonces:
x
t ( A( x)) A( x / t )
Ejemplos:
x
y ( P( y )
a)
b)
c)
x
t (
P(x)
a
t (
Q( x))
Q(x))
P(a)
P(Y ) Q(Y )
P(t )
Q(a))
Q(t )
a
t ( P( a )
Q(a))
P(t ) Q(t )

32. Lógica
Matemática
d)
SUSTITUCION
H(x)
H(j)
M(x)
M(j)
De
1
2
3
4
H(x)
M(x), H(j)
H(x)
M(x)
H(j)
H(j)
M(j)
M(j)
M(j)
premisa 1
premisa 2
X A(x), 1
J
- E, 2, 3

33. Lógica
Matemática
CUANTIFICADORES
 Cuantificador Universal:
xP( x), para todos los predicados
( x : a x m : P( x)) P(a1) P (a2 ) P (a3 ) ... P (an )
 Cuantificador Existencial:
xP( x) Existe algunos predicados
( x : a x m : P( x)) P(a1) P(a2 ) P(a3 ) ... P(an )

34. Lógica
Matemática
CUANTIFICADORES
• Propiedades:
1)
2)
3)
4)
( xP ( x ))
x P(x )
( xP ( x ))
x P(x)
x(P ( x )
Q( x ))
xP ( x )
x(P ( x )
Q( x ))
xP ( x )
xQ( x )
xQ( x )
• Algunos Significados:
1)
2)
x(P(x)
x(P(x)
Q(x)); para todo x, los P son Q
Q(x)); para todo x, los P no son Q
3)
xP (x); algún x son P

35. Lógica
Matemática
CUANTIFICADORES
 Ejemplos:
a)
x P(x)
b)
x P(x)
x Q(x)
x Q(x)
x
x
z (P(x)
x (P(x)
Q(z))
Q(z))

36. Lógica
Matemática
PARTICULARIZACION
Regla:
1) Particularización UNIVERSAL:
UI : xA(x) Eliminación
x
a A( x )
2) Generalización Universal:
GU : A( x )
Introducción
xA( x )

37. Lógica
Matemática
Particularizacion Existencial
3) Particularización Existencial:
EI :
xA(x)
x
a A( x )
Eliminación
Nota:
a)
x A(x)  A(a)
Vx E y A( y)
x A(x)
a
A( f ( x))

38. Lógica
Matemática
FUNCION DE THORALF SKOLEN
ó
x A( x)
a

39. Lógica
Matemática
APLICACION
M(x)
M(j)
De
1
2
3
4
x H(x)
M(x), H(j)
x (H(x)
M(x))
H(j)
H(j)
M(j)
M(j)
M(j)
Premisa 1
Premisa 2
X
J
, 1, UI
- E, 2, 3
FISI- Daniel Quinto Pazce- lLogica M.
Aplicación:
1) x H(x)
H(j)

40. Lógica
Matemática
2)
De
x
y P(x, y)
1
x
y P(x, y)
2
y P(x, y)
3
P(x, y)
4
x P(x, y)
5
y
x P(x, y)
y
x P(x, y)
premisa 1
X
X
A( X )
Y
A( y )
Y
, 1, UI
, 2, UI
GU , 3
GU , 4

41. Lógica
Matemática
3)
De
x(
P(x))
1
x(
P(x))
2
x P(x)
premisa 1
X
X
P(x)
, 1, UI
De
x P(x)
3.1
Premisa 1
3
3.2
3.3
4
P(x)
x
P(x)
x P(x)
- E, 2,
3.1
GU, 3.2

42. Lógica
Matemática
PRINCIPIO DE DUALIDAD
DUALIDAD
Permite hallar la negación de una expresion logica
O argumentos.
REGLAS
 Eliminar el conectivo
↔
 Sustituir el conectivo v por
por v
 La negación solo afecta a las variables lógicas.

43. Lógica
Matemática
Razonamiento Clausular:
LITERAL ( L)
Un literal (L) es un predicado que puede ser
atómico (A(x)) y su negación (-A(x)).
No pude contener:
,↔
 Cláusula:
Una cláusula es la disyunción de literales,
L1 v L2 v L3 v … v Ln
C = { L1 , L2 , L3 , … , Ln }

44. Lógica
Matemática
Ejemplos
a) ¬P v Q v ¬R v S
Cláusula: {¬P, Q, ¬R, S}
b) P v ¬Q v (P v R) v ¬S
Cláusulas: {P, ¬Q, S}
{P}
{R}
c) (A  B) v ¬C
Cláusula: {¬A, B, ¬C}
d) ¬(¬A) > C = (A  C) v (C  A) = (¬A v C) v (¬C v A)
Cláusulas: {¬A, C}
{¬C, A}

45. Lógica
Matemática
DEMOSTRAR POR CONTRADICCION
Demostración por contradicción:
E1
E2
¬(E1
¬[E1
...
En
E2
E2
¬[¬(E1
( E1
...
...
E2
E2
C
Formalizo
En)
En
...
...
C
(1)
defino
negamos
C]
En)
C ]
En )
¬C
(2)
(3)
reenplazo
(2) en (3)
es una contradiccion.
Pasos:
Simplificación
Negar la conclusión
Obtener el resolvente por cláusulas
Si el resolvente es vacío, se ha demostrado la valides, por contradicción.

46. Lógica
Matemática
Resolvente:
a)
C
¬C
Ø
b) ¬P
Q
P
Q
R
R
¬R
¬Q
Q
Ø

47. Lógica
Matemática
Ejemplo:
{M, P, ¬N}
{¬M}
{P, ¬N}
{¬P, Q}
{¬N, Q}
{N}
{Q}
{¬Q}
Ø
Razonamiento Valido

48. Lógica
Matemática
a)
Aplicación
De
P, P
Q
Q
1
P
2
P
3
Q
4
¬P
5
¬Q
¬ - I, 3
6
{P}
cláusula 1, 1
7
{¬P, Q}
cláusula 2, 4
8
{¬Q}
cláusula 3, 5
9
{Q}
10 Ø
premisa 1
Q
premisa 2
conclusión
Q
definición
,2
resolvente, 6, 7
resolvente 8, 9

49. Lógica
Matemática
b)
Aplicación
De
P
Q, Q
R
P
R
1
P
Q
premisa 1
2
Q
R
premisa 2
3
P
R
conclusión
4
¬P
Q
definición
,1
5
¬Q
R
definición
,2
6
¬P
R
definición
,3
7
P
8
{¬P, Q}
cláusula 1, 4
9
{¬Q, R}
cláusula 2, 5
10
{P}
cláusula 3, 7
11
{¬R}
cláusula 4, 7
12
{¬P, R}
13
{R}
resolvente 10, 12
14
Ø
resolvente 11, 13
¬R
¬ - I, dual 6
resolvente, 8, 9

50. Lógica
Matemática
c)
Aplicación
De
A
B
C
A
B
C
D
A
B, B
C, C
D
A
D
1
B
premisa 1
2
D
A
B
C
premisa 2
3
C
D
premisa 3
4
¬A
5
A
6
¬A
B
definición
,1
7
¬B
C
definición
,2
8
¬C
D
definición
,3
9
{¬A, B}
cláusula 1, 6
10
{¬B, C}
cláusula 2, 7
11
{¬C, D}
cláusula 3, 8
12
{A}
cláusula 4, 5
13
{¬D}
cláusula 5, 5
14
{¬A, C}
resolvente, 9, 10
15
{¬A,D}
resolvente 14, 11
16
{D}
resolvente 15, 12
17
Ø
resolvente 16, 13
D
¬D
conclusión, definición
¬ - I, dual 4

51. Lógica
Matemática
d)
P
P
{P, Q}
{¬P, R}
{¬R}
{¬Q}
{P, Q}
{¬P, R}
{Q, R}
{¬R}
{Q}
{¬Q}
Ø
Razonamiento Válido
FISI- Daniel Quinto Pazce- Logca M
Q
R
¬R
Q

52. Lógica
Matemática
e)
De
y (y),
y ( (y)
(y))
x (x)
1
y (y)
premisa 1
2
y ( (y)
3
x (x)
conclusión
4
(y)
Y
Y
, UI, 1
5
(y)
Y
Y
, UI, 2
6
(x)
7
(X)
8
¬ (x)
9
{ (X)}
cláusula 1, 7
10
{¬ (x), (x)}
cláusula 2, 8
11
{¬ (x)}
12
{ (x)}
13
Ø
(y))
premisa 2
(y)
, UI, 3
X
X
Y
X
(x)
Def.
,
Y
X
,4
,5
cláusula 3, negación 6
resolvente, 9, 10
resolvente, 11, 12

54. Lógica
Matemática
EJERCICIOS DE LOGICA
 1.- Escriba una expresión lógica que sea verdadero en todos los casos,
salvo cuando las tres variables p, q y r son falsos.
 2.- Escriba una expresión lógica compuesta que sea :

a) verdadera cuando exactamente una de las variables P, Q y

R sean exactamente verdadero.

b) verdadero cuando exactamente dos de las tres variables

sean exactamente verdaderas.
 3.- De la persona apática porque ignoraba la alegría de estudiar
matemáticas Discretas. Dar el significado formal equivalente y traducir a un
lenguaje corriente del enunciado (A y/o B) y (no (A y B))
 4.- Si 4 es un número primo y 8 es un múltiplo de 2, entonces 4+8=12; o si
8 no es un múltiplo de 2, entonces 4+8=12 y 4 no es un número primo.
Determinar el valor de verdad de la expresión lógica formalizada.

55. Lógica
Matemática
EJERCICIOS DE LOGICA
P
Q
P
b)
P Q
R
c)
P
Q
Q
d) P
Q
P
Q
R
R
P
R
R
R
P
R
S
Q
S
R
Q
S
P
S
S
6.-Diga cual es la validez de las siguientes expresiones:
P
P
P
P
a)
P
P Q
P
b)
P Q
Q
P
c)
P
P Q P
P
Q
P
Q
Q
d)
P
P QP Q
Q
P
Q
P

56. Lógica
Matemática
EJERCICIOS DE LOGICA
7.- Si P y Q son primitivas distintas ¿cuál de las siguientes proposiciones es tautológicamente equivalentes a
P Q ?
a)
Q
b)
Q
c)
P
d)
P
P
P
Q
Q
Q
Q
P
8.- Preparar el algoritmo de
a)
b)
P Q
P
Q
P
R
R
P
R
9.- Simplificar por propiedades:
a)
P Q
b)
P Q
R
P
Q
R

57. Lógica
Matemática
EJERCICIOS DE LOGICA
10.-Deducir la validez, usando el método de tablas.
a) C
S ,
S
M
├ C
M
b) P Q , P
R ,
R ├
c) P
Q , R
Q , R P
d) P
e) P
Q , Q
Q
R , P Q ,
P R
S
S
T
Q