Una transformación lineal f entre espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m se puede asociar a una matriz A de dimensión m x n. La matriz representa la transformación y su rango es igual a la dimensión de la imagen de f. Cambiar la base de un vector equivale a multiplicar sus coordenadas por una matriz de cambio de base.

1. MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

2. A toda transformación línea f: v ->w de espacios vectoriales de dimensiones finitas n y m, respectivamente, se le puede asociar a una matriz A € M mxn, tal que f(x) = Ax, donde x = Recíprocamente a toda matriz se le puede asociar con una transformación lineal: f: v -> w Esto es de extrema utilidad considerando que: DimIm(f) = Rango f = Rango A

4. Notación: V: espacio vectorial de salida W: espacio vectorial de llegada v: vector de la base del espacio vectorial de salida f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida B1: Base del espacio vectorial de salida B2: Base del espacio vectorial de llegada (v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2 A Matriz Asociada de B1 enB2 Gráfico: V W f f(v) B2 v B1

5. Datos: 1 Base de cada espacio vectorialProcedimiento: Tomamos los vectores de la base B1, sacamos sus respectivas imágenes con la transformación lineal dada, expresamos los vectores de la base B2 como combinación lineal de las imágenes obtenidas multiplicándolos por escalares, encontramos los escalares colocándolos en columna junto con los vectores de la base B2 formando una matriz ampliada, resolvemos la matriz hasta llegar a la matriz identidad, a los escalares obtenidos los colocamos en columna en la matriz asociada.

6. Notas Cuando trabajamos con las bases canónicas los escalares son las coordenadas de la imágende los vectores. La imagen se relaciona con el vector atravezde la matriz asociada. Si multiplico las matrices obtengo la transformación lineal

7. MATRIZ CAMBIO DE BASE ¿Qué debo hacer para obtener un mismo vector expresado en diferentes bases?

9. Notación: V: espacio vectorial de salida W: espacio vectorial de llegada v: vector de la base del espacio vectorial de salida f(v): imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida B1: Base del espacio vectorial de salida B2: Base del espacio vectorial de llegada (v)B1: Coordenada del vector de la base del espacio vectorial de salida f(v)B2: Coordenada de la imagen del vector de la base del espacio vectorial de salida respecto a B2 A Matriz Identidad de B1 enB2 Gráfico: W V Id v B1 F(v)=v B2

10. Ejercicios Resueltos

11. 2)

13. Ejercicios Resueltos