1. Profesor:
alvino mato Denis .

2. Sea f(x) una función con una antiderivada que denotamos
por F(x). Sean a y b dos números reales tales que f(x) y
F(x) existen para todos los valores de x en el intervalo
cerrado con puntos extremos a y b. Entonces la Integral
definida de:
∫
∫∫
−=
==
b
a
b
a
aFbFdxxf
pordefineseydxxfpordenotasebxaaxdexf
).()()(
)()(
a y b se denominan los límites de integración, en donde
a es el Límite Inferior.
b es el Límite Superior
Definición
Cuando evaluamos una Integral definida, se acostumbra utilizar
por conveniencia unos paréntesis rectangulares grandes en el
lado derecho, de la manera siguiente:
] )()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a −==∫
Por lo tanto, podemos definir que la Integral definida nos
indica el área bajo la curva, gráficamente esto es así:
y
x
Y = f(x)
Area
a b0

3. Gráficamente lo podemos
representar de la
siguiente manera.
.
2
cudradoal
unidadesu =
Ejercicio 1
Calcular el área y hacer gráfico:
652
≤≤= xparaxy
∫=
6
5
2
dxxA
6
5
3
3 


=
x
3
5
3
6 33
−=
2
3
91
3
125216
u=
−
= y
x5 6
2
3
91 u
Ejercicio para desarrollar
12)( 2
≤≤−= xParaxya
2
3)(
.
ua
Solución
=

4. Ejercicio 2
Calcular el área y hacer gráfico:
4252 23
≤≤+−= xParaxxy
En estos ejercicios,siempre es conveniente en primer lugar
graficar, ya que nos permite visualizar nuestra función.
2 3 4
y
x
En segundo lugar desarrollamos
nuestra función a través de
división sintética.
37821
14311
5001
5021
4
3
2
−
ba ⇒
Y =
Una vez desarrollada la división
trasladamos los valores de “y” al
gráfico y desarrollamos la
Integral
2 3 4
y
x
37
14
5
4
2
34
4
2
23
5
3
2
4
)52( 


+−=+−=∫ x
xx
dxxxA
b - a






+−−+−= 10
3
16
4
16
20
3
128
4
256
A






+−−+−= 10
3
16
420
3
128
64A
10
3
16
420
3
128
64 −+−+−=A
3
112
70 −=A 2
3
98
uA =
2 3 4
y
x
37
14
5 2
3
98
uA =
Por tanto, el área comprendida bajo la curva es el resultado
de la integral.
Ejercicio 2.a Calcular área:
31
9)2
40
16)1.
2
2
≤≤−
−=
≤≤
−=
xPara
xya
xPara
xya

5. Ejercicio 3
36
ππ
≤≤= xParaSenxy
Recuerda, Graficar primero.
0
y
ππππ
236
∫
3
6
π
π Senxdx
] 3
6
3
6
π
π
π
π
CosxSenxdx −=∫
63
ππ CosCos +−=
2
3
2
1
+−=
2
13 −
=
2
3660,0 u=
2
3660,0 u=

6. Ejercicio 4
Hallar el área limitada por las siguientes curvas en el primer cuadrante.
73
353
2
2
3
1
++=
+−=
xxy
xxy
No olvides graficar.
¿Cual es el primer cuadrante?
y
0
x
25613
17512
11411
7310
731
¿En qué punto convergen las
curvas?
=1y
=2y
1 2 3
Y2=7
Y1=3
x
y
0
∫ −
2
0
12 )( dxyy
∫ −
2
0
12 )( dxyy
∫ +−−++
2
0
32
))353(73( dxxxxx
∫ +++−
2
0
23
)483( dxxxx
2
0
234
4
2
8
34
3



+++−= x
xxx
816
3
8
12 +++−=
2
3
44
u=
2
3
44
u=

7. Ejercicio 5
Hallar el área de la superficie limitada por la parábola.
2
46 xxy −+=
Y la recta que pasa por los puntos )6;4()6;2( =−−= ByA
2
46 xxy −+=
6014
9113
10212
9311
6410
1511
6612
641
−
−
−
−
−
−−
−−−
−
La recta pasa por:
)( 1
12
12
1 xx
xx
yy
yy −
−
−
=−
))2((
)2(4
)6(6
)6( −−
−−
−−
=−− xy
)2(
6
12
6 +=+ xy
426 +=+ xy
22 −= xy
B= (4;6)
A= (-2;-6)
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
10
9
6
4
3
2
1
∫−
−−++−
4
2
2
))22(64( dxxxx
∫−
+−++−
4
2
2
)2264( dxxxx
4
2
23
)8
2
2
3
(
−



++−= x
xx
)164
3
8
(3216
3
64
−+−++−=
2
36124824 u=++−=
El área de la superficie limitada por la
parábola, es de 2
36u=
Y la recta pasa por el punto en donde
x = 1
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
10
9
6
4
3
2
1

8. Ejercicio 6
Determine el área acotada por el eje “x”, la curva , y
las líneas
92
−= xy
43
30
3
9
2
1
2
≤≤
≤≤
=∴
−=
xSix
xSix
x
xy
Solución
40 21 == xyx
¿Por donde va x1 y x2 en el
gráfico, encima o abajo?
x1 va por abajo, en cambio x2 va por encima.
∫ ∫ −+−−
3
0
3
4
22
)9()9( dxxdxx
4
3
33
0
3
9
3
9
3 





−+





+−= x
x
x
x
4
3
33
0
3
9
3
9
3 





−+





+−= x
x
x
x






−−





−+





+−−





+−= 27
3
3
36
3
4
0
3
0
27
3
3 3333
( ) ( )279
3
44
0279 −−





−+−+−=
18
3
44
18 +−= 2
3
64
u=
Veamos nuestro
gráfico.
-1
-9
9
7
5
4
3
2
1
1 2 3 4 x
y
-3 -2 -1
7414
0313
5212
8111
9010
8111
5212
0313
901
−
−
−
−−−
−−−
−−
−
2
3
64
u=