Sistemas octal, hexadecimal y binario

1. Sistema Decimal
El sistema decimal se usa en forma rutinaria para las representaciones de
cantidades mediante los siguientes 10 caracteres diferentes:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Para expresar cantidades más allá de este número es necesario introducir la
representación posicional, es decir, a cada cifra se le asigna un valor posicional
determinado de acuerdo con el lugar que ocupa dentro del número.
Por ejemplo:
El número decimal 836.74 se compone en la parte entera de la cifra 8 con el valor
posicional 100, la cifra 3 con el valor posicional 10 y la cifra 6 con el valor
posicional 1, y en la parte fraccionaria de la cifra 7 con el valor posicional 0.1 y la
cifra 4 con el valor posicional 0.01.
Usando exponentes esto se puede representar como:
836.74= 8 x 10² + 3 x 10¹ + 6 x 10° + 7 x 10 + 4 x 10
A esta forma de representación se le llama representación exponencial.
La representación exponencial es esencialmente importante porque por medio de
ella se puede convertir una cantidad representada en cualquier sistema numérico
al sistema decimal.
Sistema binario, octal y hexadecimal
Sistema binario
En el sistema binario sólo hay dos cifras: 0 y 1. Como sucede en el sistema decimal,
en este sistema binario también se utilizan exponentes para expresar cantidades
mayores. Mientras que en sistema decimal la base es 10, en el sistema binario la
base es 2.
Como ya mencionamos anteriormente la representación exponencial se utiliza
para convertir una cantidad de un sistema numérico cualquiera al sistema decimal.
Ejemplo:
Convertir el número binario 10011.01 a decimal.
10011.01 (2) = 1 x 24 + 0 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 = 16 + 0
+ 0 + 2 + 1 + 0 + 0.25 = 19.25 (10)
Si se desea convertir una cantidad que tiene parte entera y otra fraccionaria de
base diez a base dos, la parte entera se divide sucesivamente entre 2 y el resultado

2. se toma de abajo hacia arriba. La parte fraccionaria se multiplica por 2 y el entero
del resultado conforma la parte fraccionaria en el orden en que fueron
encontrados.
Convertir el numero 27.025 (10) a binario.
Parte entera:
Residuo
27 / 2 = 13 1
Los residuos se toman en
13 / 2 = 6 1
6/2=3 0 orden contrario a como
3/2=1 1 fueron encontrados.
1/2=0 1
Parte fraccionaria:
Entero
0.025 x 2 = 0.05 0
0.05 x 2 = 0.1 0
0.1 x 2 = 0.2 0
Los enteros se toman en el
0.2 x 2 = 0.4 0
mismo orden que fueron
0.4 x 2 = 0.8 0
0.8 x 2 = 1.6 1 encontrados.
0.6 x 2 = 1.2 1
0.2 x 2 = 0.4 0
0.4 x 2 = 0.8 0
De esta forma, resultado es:
27.025 = 11011, 000001100
Sistema Octal
Las reglas descritas para los sistemas decimal y
El sistema de numeración binario, también son aplicables al sistema octal.
En los siguientes ejemplos se ilustra este
octal usa 8 dígitos (0, 1, 2,
planteamiento.
3, 4, 5, 6, 7) que tienen el
mismo valor que en el Ejemplo:
sistema de numeración
decimal. Convertir 37.6 (8) a binario.
Primero se convierte el número dado a decimal
y luego de decimal a binario.
Para convertir cualquier sistema numérico a decimal, se plantea su representación
en notación exponencial y se realizan las operaciones.

3. 37.6 (8) = 3 x 81 + 7 x 80 + 6 x 8-1 = 31.75 (10)
La conversión del número obtenido a binario es la siguiente:
Parte entera Residuo Parte fraccionaria Entero
31 / 2 = 15 1 0.75 x 2 = 1.5 1
15 / 2 = 7 1 0.5 x 2 = 1 1
7/2=3 1
3/2=1 1
1/2=0 1
La conversión de octal a binario y de binario a octal es relativamente fácil si se
utiliza la siguiente tabla de equivalencias.
OCTAL BINARIO Se puede apreciar que se utilizan
0 000 tres dígitos en binario, para cada
1 001 número en octal, debido a que la
2 010 cantidad mayor válida en el sistema
3 011
octal es el número 7, que ocupa tres
4 100
bits, por lo tanto, todos deberán usar
5 101
la misma cantidad de bits.
6 110
7 111
Ejemplo:
Convertir 37.6 (8) a binario usando la tabla de equivalencia.
3 7 . 6 (8)
011 111 . 110(2)
Sistema Hexadecimal
Con esto pueden formarse números según el
principio del valor posicional como en los demás
La base numérica del sistema
sistemas aritméticos. Los caracteres validos en
hexadecimal es 16 y para
hexadecimal son del 1 al 15, con la
representar cantidades en él se
particularidad de que a las letras se les asigna el
utilizan los diez dígitos del
siguiente valor: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E
sistema decimal (0, 1, 2, 3, 4, 5,
= 14, F = 15.
6, 7, 8, 9) así como las seis
primeras letras del alfabeto (A,
Ejemplo:
B, C, D, E, F).
Convertir 6BD a octal.
El número dado primero se convierte a decimal:
6BD (16) = 6 x 162 + 11 x 161 + 13 x 160 = 1725(10)
Ahora el número obtenido se convierte a octal:

4. Parte entera Residuo
1725 / 8 = 215 5
215 / 8 = 26 7
26 / 8 = 3 2
3 /8 = 0 3
De igual manera que en la conversión de binario a octal, se puede obtener la
siguiente tabla de equivalencias de binario a hexadecimal.
HEXADECIMAL BINARIO
0 0000
1 0001 Nuevamente el número mayor del
2 0010 sistema numérico es el que
3 0011
manda en relación con cuantos
4 0100
bits se deberán usar para
5 0101
6 0110 representar cada uno de los
7 0111 caracteres. En este caso F = 15 es
8 1000 el símbolo mayor y ocupa cuatro
9 1001 bits, por lo tanto todos los
A 1010 símbolos deberán representarse
B 1011 por cuatro bits.
C 1100
D 1101
E 1110
F 1111
Ejemplo:
Convertir 6BD a octal.
A diferencia del método general, en el que el sistema intermedio es el sistema
decimal, cuando utilizamos las tablas de equivalencias el sistema intermedio es el
binario. Por lo que primero se pasa la cantidad a sistema binario.
6 B D
0110 1011 1101
A continuación se pasa de binario a octal, agrupando la información en bloques de
tres bits, ya que en la tabla de equivalencia octal-binario utiliza solamente tres bits
para cada uno de los caracteres. En caso de no completarse los bloques de tres bits,
se deberán agregar los ceros necesarios en los extremos:
011 010 111 101
3 2 7 5

5. Suma, Resta, Multiplicación y división
Suma de Binarios
Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:
0+0 0
0+1 1
1+0 1
1+1 0 y llevo 1
Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la
izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que
da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente
posición.
Ejemplos:
100111 10011000
+ 11101 + 00010101
1000100 10101101
Resta de números binarios
El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero
conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que
es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y
diferencia.
Las posibles combinaciones al restar:
0-0 0
1-0 1
1-1 0
0-1 1 y llevo uno
La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad
prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en
el sistema decimal, 2 - 1 = 1.
Ejemplos:
11101011 10001
-1011101 - 01010
10001110 00111
Complemento a uno y complemento a dos
En realidad, el complemento a uno de un número binario es el número resultante
de invertir los UNOS y CEROS de dicho número. Por ejemplo si:

6. N = 110100101
obtenemos su complemento a uno invirtiendo ceros y unos, con lo que resulta:
C1N = 001011010
y su complemento a dos es:
C2N = C1N + 1 = 001011011
Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede
obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.
Ejemplo:
La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:
1011011 1011011
-0101110 el C2 de 0101110 es 1010010+1010010
0101101 10101101
En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el
número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se
desprecia.
Multiplicación de números binarios
La multiplicación en binario es más fácil que en cualquier otro sistema de
numeración. Como los factores de la multiplicación sólo pueden ser CEROS o
UNOS, el producto sólo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de
multiplicar del cero y del uno son muy fáciles de aprender:
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Ejemplo:
100111
x 101
100111
000000
+ 100111
11000011

7. División de Binarios
La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de
hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.
Ejemplo:
Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):
100010010 |1101
-0000 010101
10001
-1101
01000
- 0000
10000
- 1101
00111
- 0000
01110
- 1101
00001