f

1. Problema 3 (Tomo I)
Demostrar que sen α · sen β · sen γ ≤ 1
8
. Siendo 2α, 2β y 2γ los ´angulos de un tri´angulo.
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2. Gu´ıa
⋆ sen β · sen γ =
1
2
cos(β − γ) − cos(β + γ)
⋆ sen α = cos
π
2
− α
2α
2γ
2β
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3. Soluci´on
2α + 2β + 2γ = π ⇐⇒ α + β + γ =
π
2
β + γ =
π
2
− α ⇐⇒ cos(β + γ) = cos
π
2
− α = sen α
P = sen α · sen β · sen γ =
1
2
sen α [cos(β − γ) −
sen α
cos(β + γ)]
Maximizamos esta expresi´on
P ≤
1
2
sen α(1 − sen α)
El producto de dos factores cuya suma es constante, es m´aximo, precisamente si ambos
factores son iguales, o sea:
sen α
∗
= 1 − sen α
sen α =
1
2
P ≤
1
2
·
1
2
·
1
2
=
1
8
La igualdad se da cuando α = β = γ =
π
6
.
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4. Soluci´on
[*] Demostraci´on



P = x · (a − x) ; x + (a − x) = a = cte
P ′ = a − 2x = 0 ; x =
a
2
P ′′ = −2 < 0 ⇒ Pm´aximo =
a
2
·
a
2
=
a2
4
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